初中数学北师大八年级下册三角形的证明-三角形的证明PPT

等腰三角形知识回顾ABC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC(三线合一).

左边方框中的的格式,以后可以直接运用.ACBD12如图,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2(三线合一).轮换条件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三线合一的三种不同形式的运用.”三线合一“的三种语言及条件的轮换【性质定理的推论】等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称:“三线合一”)图形语言高线？符号语言中线？符号语言角平分线?符号语言1．知识目标：①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．4．教学重、难点重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．实践观察猜想证明画一画先画一个等腰三角形,ACB然后在等腰三角形中作出一些线段

(如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？小结顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).ACBDE图形语言已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.证明:12

∠2=(已知),又∵∠1=，∴∠1=∠2(等式性质).在△BDC与△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,

BC=CB（公共边）,

∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

例题欣赏1命题的证明已知：如图，在△ABC中，AB=AC，

BD、CE是△ABC的角平分线．1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成43EDCBA求证：BD=CE．一题多解证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，

∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中，AB=AC，

BM、CN是△ABC的中线．2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BM=CN．NMCBA

分析：要证BM=CN，就需证BM和CN所在的两个三角形的全等．驶向胜利的彼岸命题的证明

我能行1求证:等腰三角形两腰上的中线相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CM=AC,BN=

AB(已知),∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）,

CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.ACBMN大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中，AB=AC，

BP、CQ是△ABC的高．3.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BP=CQ．QPCBA

分析：要证BP=CQ，就需证BP和CQ所在的两个三角形的全等．驶向胜利的彼岸命题的证明

我能行2求证:等腰三角形两腰上的高相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).

在△BPC与△CQB中

∵∠BPC=∠CQB（已证）,

∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,∴△BPC≌△CQB（AAS）.∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.ACBPQ

刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?

把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?想一想,做一做议一议在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?为什么？如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?为什么？如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?在△ABC中，若AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.

简述为：（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.结论：如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?由此，你能得到一个什么结论?议一议小结在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.简述为：

在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.1.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，

∴∠B=∠C(等边对等角).

同理：∠C=∠A，

∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）

∴∠A=∠B=∠C＝60°.大胆尝试，练一练！CBA随堂练习及时巩固如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CDABCDE证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴△ABE≌△CBD∴AE=CD.将不全等的两个等边三角