行列式按行(列)展开定理课件

1§1.3

行列式按行(列)

展开定理一.按一行(列)展开行列式

二.行列式按某k行(列)展开三.小结与思考题1§1.3行列式按行(列)一.按一行(列)展开行列式2可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.

问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个n

-1阶行列式来计算？

一.按一行(列)展开行列式2可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.问题3定义1.5在

n

阶行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.记为称为元素的代数余子式.例如第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素3定义1.5在n阶行列式中,把元素所在的第i行和余子式4的余子式.的代数余子式.4的余子式.的代数余子式.5

注

行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.5注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和6

引理若在n

阶行列式D的第i行中有一个元素aij≠0,其余元素全为零,则D=aijAij.

定理1.4

设n阶行列式则n

阶行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即6引理若在n阶行列式D的第i行中有一个7证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或7证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为D=a1jA8由行列式性质2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可证按列展开式成立.8由行列式性质2及引理，得=ai1Ai1+ai2Ai9解按第一行展开,得例1

计算行列式9解按第一行展开,得例1计算行列式10

推论

n阶行列式D的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.10推论n阶行列式D的任意一行(列)的元素与11在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．11在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如12则行列式含有两个相同的行,值为0.12则行列式含有两个相同的行,值为0.13综上所述,得公式

注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．13综上所述,得公式注在计算数字行列式时,14利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：

计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.例2

计算行列式14利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行15解

15解161617例3计算n阶行列式17例3计算n阶行列式18解

将Dn按第一列展开于是,得递推公式而由递推公式,得继续递推公式,得18解将Dn按第一列展开于是,得递推公式而由递推公式故19例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式故19例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式20

证用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.(2)设n-1阶范德蒙行列式成立,证明n阶也成立.20证用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.(2)21n-1阶范德蒙行列式21n-1阶范德蒙行列式22证毕.用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）=57练习题22证毕.用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）23例5

利用性质及展开定理计算行列式的值.解23例5利用性质及展开定理计算行列式的值.解24按第二列展开按第二行展开24按第二列展开按第二行展开25例6计算行列式25例6计算行列式26解

将行列式每一列加到第一列，则26解将行列式每一列加到第一列，则272728例7计算行列式解

我们称行列式D为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.28例7计算行列式解我们称行列式D为箭形行列式292930例8计算行列式30例8计算行列式31箭形行列式31箭形行列式323233例9（可以化为箭形行列式）33例9（可以化为箭形行列式）3434353536二.行列式按某k行(列)展开定义1.6在n阶行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),称位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.36二.行列式按某k行(列)展开定义1.6在n阶行列式D中任37称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式.若N所在的行与列的行标与列标分别为37称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对38例10

设则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为及则称为N的代数余子式,记作A.即38例10设则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为39，N1的代数余子式为D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3阶子式为，N2的代数余子式为39，N1的代数余子式为D的位于第1、3、4行,第2、340显然,n阶行列式D位于某k行的k阶子式有个,从而D共有个k阶子式.定理1.5n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶与其对应的代数余子式A1,A2,...,At的乘积之和,即

显然,定理1.4是定理1.5中k=1时的特例.按照定理1.5展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众40显然,n阶行列式D位于某k行的k阶子式有个,从而41多的零时,定理1.5的实用价值立即展现出来.例11计算行列式解因为D中第2、4

行的个2阶子式中只有

一个是非零的.故将D按第2、4

行展开得41多的零时,定理1.5的实用价值立即展现出来.例11计42例12计算m+n阶行列式42例12计算m+n阶行列式43解按前m列展开,得43解按前m列展开,得44例13计算2n阶行列式(其中未写出的元素皆为零）解按第1、2n行展开,因位于这两行的全部2阶子式中只有1个(即位于第1、2n列的2阶子式)可能非零且其余子式恰为0,相应的代数余子式为44例13计算2n阶行列式(其中未写出的元素皆为零）解按45故得于是,得递推公式从而45故得于是,得递推公式从而46三.小结与思考题2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行列式.1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.思考题146三.小结与思考题2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行47思考题1解答47思考题1解答48思考题2求第一行各元素的代数余子式之和48思考题2求第一行各元素的代数余子式之和49思考题2解答第一行各元素的代数余子式之和可以表示成49思考题2解答第一行各元素的代数余子式之和可以表示成50§1.3

行列式按行(列)

展开定理一.按一行(列)展开行列式

二.行列式按某k行(列)展开三.小结与思考题1§1.3行列式按行(列)一.按一行(列)展开行列式51可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.

问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个n

-1阶行列式来计算？

一.按一行(列)展开行列式2可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.问题52定义1.5在

n

阶行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.记为称为元素的代数余子式.例如第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素3定义1.5在n阶行列式中,把元素所在的第i行和余子式53的余子式.的代数余子式.4的余子式.的代数余子式.54

注

行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.5注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和55

引理若在n

阶行列式D的第i行中有一个元素aij≠0,其余元素全为零,则D=aijAij.

定理1.4

设n阶行列式则n

阶行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即6引理若在n阶行列式D的第i行中有一个56证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或7证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为D=a1jA57由行列式性质2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可证按列展开式成立.8由行列式性质2及引理，得=ai1Ai1+ai2Ai58解按第一行展开,得例1

计算行列式9解按第一行展开,得例1计算行列式59

推论

n阶行列式D的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.10推论n阶行列式D的任意一行(列)的元素与60在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．11在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如61则行列式含有两个相同的行,值为0.12则行列式含有两个相同的行,值为0.62综上所述,得公式

注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．13综上所述,得公式注在计算数字行列式时,63利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：

计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.例2

计算行列式14利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行64解

15解651666例3计算n阶行列式17例3计算n阶行列式67解

将Dn按第一列展开于是,得递推公式而由递推公式,得继续递推公式,得18解将Dn按第一列展开于是,得递推公式而由递推公式故68例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式故19例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式69

证用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.(2)设n-1阶范德蒙行列式成立,证明n阶也成立.20证用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.(2)70n-1阶范德蒙行列式21n-1阶范德蒙行列式71证毕.用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）=57练习题22证毕.用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）72例5

利用性质及展开定理计算行列式的值.解23例5利用性质及展开定理计算行列式的值.解73按第二列展开按第二行展开24按第二列展开按第二行展开74例6计算行列式25例6计算行列式75解

将行列式每一列加到第一列，则26解将行列式每一列加到第一列，则762777例7计算行列式解

我们称行列式D为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.28例7计算行列式解我们称行列式D为箭形行列式782979例8计算行列式30例8计算行列式80箭形行列式31箭形行列式813282例9（可以化为箭形行列式）33例9（可以化为箭形行列式）8334843585二.行列式按某k行(列)展开定义1.6在n阶行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),称位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.36二.行列式按某k行(列)展开定义1.6在n阶行列式D中任86称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式.若N所在的行与列的行标与列标分别为37称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对87例10

设则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为及则称为N的代数余子式,记作A.即38例10设则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为88，N1的代数余子式为D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3阶子式为，N2的代数余子式为39，N1的代数余子式为D的位于第1、3、4行,第2、389显然,n阶行列式D位于某k行的k阶子式有个,从而D共有个k阶子式.定理1.5n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶与其对应的代数余子式A1,A2,...,At的乘