《质量管理学（第三版）》第2章 统计过程控制理论

第2章统计过程控制（SPC）理论

学习目标:熟悉质量控制的数理统计学基础知识理解质量波动理论及产生原因熟练掌握控制图的原理、种类、设计及判断准则掌握过程能力和过程能力指数的概念掌握过程能力指数的计算、分析和评价引例

A公司主要进行半导体的封装与测试，半导体的加工过程分为两个主要部分，晶圆的制造和芯片的封装及测试。该公司非常重视生产过程的质量控制，经过长期观察与分析，确定了晶片切割、芯片粘贴、引线键合、模塑和电镀等为质量关键过程。其中，在晶片切割时，一片载有上千集成电路芯片的硅片被高速转动的石英刀轮切割成具有独立功能的芯片。这道工序是非常关键的工序，如果工序的控制出现问题，就可能导致大批量的不良品的产生。要对这道工序进行质量控制，该公司遇到了以下几个问题：1）这道工序的主要控制点是什么？2）如何对该工序的主要控制点进行质量控制？3）如何判断该工序的工艺稳定性？

第一节质量控制的数理统计学基础

一、数据的种类

1.计量值数据

（长度、重量、电流、温度等。测量结果的数据可以是连续的,也可以是不连续的）

２．计数值数据不能连续取值的，只能以个数计算的数为计数值数据。（不合格品数、缺陷数）

二、总体和样本

在一个统计问题中，把所研究的对象的全体称为总体。通常全及总体的单位数用N来表示，样本单位数称为样本容量，用n来表示。相对于N来说，n则是个很小的数。它可以是总体的几十分之一乃至几万分之一。三、数据特征值

数据特征值是数据分布趋势的一种度量。数据特征值可以分为两类。

集中度：频数、算术平均值、中位数、众数等；

离散度：极差、方差、标准差等。四、质量数据的概率分布1.二项分布与泊松分布（1）二项分布当一个随机事件的发生只有两种可能的状态和结果时，例如当一个元件和系统满足或不满足要求、可以正常工作或失效时，可以应用二项概率分布来描述。如果某一随机事件在n次独立试验的每一次试验中出现的概率p都是固定的，它不出现的概率为1-p，那么该事件在n次试验中出现x次的概率是（x=0，1，2，…n）如果一批产品总体的不合格品率为p，那么p(x/n)是表示从这个总体中任意抽取一个样本大小为n的产品中出现不合格品数正好为x的概率。以x作为随机变量，可以得到二项分布的平均值为

E(x)=np

并且其总体标准差为

（2）泊松分布在二项分布中，以p代表随机事件x出现的概率，1-p表示其对立事件的概率，n为事件的总数。当n很大，而p很小时（n≥20，p≤0.25），二项分布可用参数λ＝np的泊松分布来近似：式中，e为自然对数的底(e=2.71828)；x为随机变量，它可取值为0，1，2，…，n

；λ为随机变量出现的平均数。若以x作为随机变量，泊松分布的数学期望为E(x)=λ,方差为,标准差为。2.超几何分布假设一批产品的总数为N，其中m件为不合格品，N-m件为合格品。当检验这批产品质量时，从这批产品中随机每次抽取一件共抽n次，而抽出每一件后均不放回到这批产品中去。那么共抽取n件产品试验中恰好有x件不合格品的概率是:

（x＝0，1，2，…min（n，m））式中，是N件产品每次取n件的组合数；是m件不合格品中每次抽取x件的组合数。如果m≤n，那么随机变量x的值可能为0,1,…m。在实际中，m

和N-m往往是未知的，通常要通过检验一定数量的产品来估计这些未知数目。假使p=m/N,表示第一次抽取一个不合格品的概率。如果取x/n坐标变量，那么可求得超几何分布的数学期望值：

E(x/n)=p

而它的总体标准差为

3.正态分布连续随机变量最重要的分布正态分布（或称高斯分布），工程上有许多变量分布都可以用正态分布近似表示。这种分布最普通的表达形式为：

称X服从正态分布。式中，μ为总体的算术平均值；σ为总体的标准差，不同的μ，不同的σ对应不同的正态分布。正态曲线呈钟型，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1，如下图所示。Xμμ+σμ+2σμ+3σμ-3σμ-2σμ-σ第二节质量波动理论

一、质量因素的分类

1.按不同来源分类，可分为：操作人员（Man）、设备（Machine）、原材料（Material）、操作方法（Mathod）、环境（Environment），简称4M1E；有的还把测量（Measurement）加上，简称5M1E。2.按影响大小与作用性质分类，可分成以下两类：

（1）偶然因素。偶然因素具有四个特点：①影响微小。②始终存在。③逐件不同。④难以除去。

（2）异常因素。异常因素又成为系统因素。异常因素也有四个特点：①影响较大。②有时存在。③一系列产品受到同一方向的影响。④不难除去。

二、质量波动性的分类

1.偶然波动偶然因素引起产品质量的偶然波动，又称随机波动。一个只表现出偶然波动的过程所产生的值一般都处于中心值两侧。这样的过程称为处于统计控制状态的过程。偶然波动是由许多原因引起的，而每一个原因只起很小的作用。这样，排除一个单一的原因只会对最终结果起到很小的影响，因此从经济角度考虑，减少偶然波动是非常困难的。2.异常波动异常因素引起产品质量的异常波动，又称系统波动；异常波动能引起系统性的失效或缺陷。异常波动可能会引起一种趋势，如持续地沿着一个方向或另一个方向变化。这是由于某种因素逐渐加深对过程的影响，像磨损和撕裂，或是温度的变化等。另一种异常波动的例子是水平的突变。这种类型的变化可能是由于操作人员的变化、使用了新的材料、改变了设备调试引起。异常波动一般是由单一的不明原因造成，而这个原因能引起明显的后果。3.偶然波动与异常波动的比较分析偶然波动异常波动含有许多独立的原因含有一个或少数几个独立的原因任何一个原因只能引起很小的波动任何一个原因会引起大的波动偶然波动不能经济地从过程中消除异常波动通常能够经济地从过程中消除当只有偶然波动时，过程是以最好的方式在运行如果有异常波动存在，过程的允许状态不是最佳第三节控制图原理

一、控制图的基本格式控制图的基本格式如右图。它一般有三条线：中心线——用细实线表示；上控制界限UCL——用虚线表示；下控制界限LCL——用虚线表示。所谓控制图的基本思想就是把要控制的质量特性值用点子描在图上，若点子全部落在上、下控制界限内，且排列没有异常时，就可判断生产过程是处于控制状态。否则，就应根据异常情况查明并设法排除。通常，点子越过控制线就是报警的一种方式，如右图中的第六点。二、常用控制图的种类

常用质量控制图可分为两大类：

（1）计量值控制图包括：均值-极差控制图、均值-标准差控制图、单值-移动极差控制图、中位数-极差控制图。

（2）计数值控制图包括：不合格品数控制图、不合格品率控制图、缺陷数控制图、单位缺陷数控制图

根据所要控制的质量特性和数据的种类、条件等，按图中得箭头方向便可作出正确的选用。

数据种类样本容量指标中心位置计数值计量值复数不良品缺陷平均数中位数平均值—极差控制图(—R)中位数控制图()缺陷数控制图(C)单位缺陷数控制图(u)单值控制图(x)单数单值—移动极差控制图(x—RS)样本容量确定不确定不良品数控制图(Pn)不良品率控制图(P)确定不确定样本容量控制图的种类及选用流程计量值控制图一般适用于以计量值为控制对象的场合。

计量值控制图对工序中存在的系统性原因反应敏感，所以具有及时查明并消除异常的明显作用，其效果比计数值控制图显著。计量值控制图经常用来预防、分析和控制工序加工质量，特别是几种控制图的联合使用。

计数值控制图则用于以计数值为控制对象的场合。离散型的数值，比如，一个产品批的不合格品件数。虽然其取值范围是确定的，但取值具有随机性，只有在检验之后才能确定下来。计数值控制图的作用与计量值控制图类似，其目的也是为了分析和控制生产工序的稳定性，预防不合格品的发生，保证产品质量。

三、控制界限的原理

控制图中的上、下控制界限，一般是用“三倍标准偏差法”(又称3σ法)。而把中心线确定在被控制对象(如平均值、极差、中位数等)的平均值上。再以中心线为基准向上或向下量3倍标准偏差，就确定了上、下控制界限。另外，在求各种控制图时，3倍标准偏差并不容易求到，故按统计理论计算出一些近似系数用于各种控制图的计算信息输入表（下页）。表计量值控制图计算公式中的系数值表小组观察数目(n)A2D3D4m3A2E21/d221.830/3.2671.8802.6600.88631.023/2.5751.1871.7720.59140.729/2.2320.7961.4570.48650.577/2.1150.6911.2900.43060.483/2.0040.5491.1840.39570.4190.0761.9240.5091.1090.37080.3730.1361.8640.4321.0540.35190.3370.1841.8160.4121.0100.337100.3080.2231.7770.3630.9450.32第四节控制图的设计及判断准则

4.1、控制图的设计1.计量值控制图在计量值控制图中，常用的典型控制图是均值－极差控制图，下面以图为例来说明计量值控制图的设计。（1）控制界限的确定。①控制图的界限。控制图主要用来控制平均值的变化。由上节控制界限的原理可知，控制图的控制界限为，根据参数估计原理，其中，所以控制图的控制界限为：其中系数，值可以根据样本大小n由表2-3查得。②R控制图的界限。R控制图主要用来控制标准偏差的变化。根据参数估计原理，其中，所以R控制图的控制界限为：

其中，系数，，同理，它们的值可以根据样本大小n由表2-3查得。（2）控制图的作图步骤，结合下例来说明。【例2-1】某厂生产10±0.20mm的圆柱销，每隔一定时间随机抽取5个样品，共取20组，所得数据如表2-4。解：①从过程中随机抽样20组共100个数据，列入表2-4中，其中n=5。②计算各组平均值，将计算结果填入表2-4中。③计算各组的极差值，将计算结果填入表2-4中。④计算，，其中，⑤计算控制图的控制界限。查表2-3得

(不考虑)，所以控制图的界限是：

R控制图的界限是：⑥根据以上数据作图并打点，见图2-5。

图R图图2-5

某圆柱销的图图2.计数值控制图计数值控制图包括计件值和计点值两大类。（1）计件值控制图如果产品的检验结果只有两类，即合格或不合格，这属于“计件”型。在计件值控制图中，常用的典型控制图是不合格品数控制图（Pn图）和不合格品率控制图（P图）。通常计件值服从二项分布，故在计算计件值控制图的控制界限时，用到二项分布的性质。下面以Pn图为例来说明计件值控制图的设计。①控制界限的确定。

Pn图用于不合格品数的控制。通过观察产品不合格品数Pn的变化来控制产品质量。要求每个样本（组）的大小n相等。使用Pn图时，应使每个样本（组）的大小有1~5个不合格品数，即np=1~5，若np=0，则失去控制的作用。当np≥5，二项分布近似正态分布，因此，使用这种控制图时，往往n都比较大，根据经验一般取n≥50。②控制图的作图步骤，结合下例来说明。

【例2-2】某厂生产的某零件不合格品数的统计资料如表2-5所示，试画出Pn控制图。

(2)计点值控制图。它是缺陷点的“计点”型，例如每天检查6片芯片，共有12个瑕疵点，常用的典型控制图是缺陷数控制图(C图)和单位缺陷数控制图(μ图)。通常计点值服从泊松分布,故在计算计点值控制图的控制界限时,会用到泊松分布的性质。下面以C图为例来说明计点值控制图的设计。4.2、控制图的分析与判断

用控制图识别生产过程的状态，主要是根据样本数据形成的样本点位置以及变化趋势进行分析和判断，判断工序是处于受控状态还是失控状态。1.受控状态的判断工序是否处于受控状态，也就是工序是否处于统计控制状态或稳定状态，其判断条件有两个：第一个判断条件是在控制界限内的点子排列无缺陷；第二个判断条件是控制图上的所有样本点全部落在控制界限之内。在满足了第一个条件的情况下，对于第二个条件，若点子的排列是随机地处于下列情况，则可认为工序处于受控状态。①连续25个点子没有一点在控制界限以外；②连续35个点子中最多有一点在控制界限以外；③连续100个点子中最多有两点在控制界限以外。因为用少量数据做控制图容易产生错误的判断，所以至少25点才能作判断。从概率理论可知，连续35个点子中，最多一点超出控制界限的概率为0.9959，至少有一点在界限外的概率为0.0041，即不超过1％，是个小概率事件。连续100个点子中，最多两点超出控制界限的概率为0.9974，而至少有两点在界限外的概率为0.0026，也不超过1％，也是小概率事件。2.失控状态的判断只要控制图上的点子出现下列情况时，就可判断工序为失控状态：第一，控制图上的点子超出控制界限外或恰好在在界限上；第二，控制界限内的点子排列方式有缺陷，呈现非随机排列。在3σ界限控制图中，正常条件下，点子越出界限的概率只有0.27%，这是一个小概率事件，若不是异常状态，点子是不会超出控制界限以外的。另外，即使所有点子落在界限内，但如果有下列排列异常的情况发生，仍有可能判断处于失控状态。同理可以计算下列的情况的发生概率，它们也是小概率事件。控制图有缺陷的状态(1)点子越出控制界限。

(2)点子在控制界限附近，即在2σ~3σ之间。(称为警戒区间)a）连续3点中有2点在警戒区内（0.0053）；

UCLμ+3σLCLμ-3σUCLμ+2σCLb）连续7点中有3点在警戒区内；

c）连续10点中有4点在警戒区内。3σ2σμ●●●●●●●说明：μ±2σ—μ±3σ的概率为0.0428μ±2σ——0.9545；μ±3σ——0.9973连续3点有2点在2σ—3σ区间连续7点有3点在2σ—3σ区间控制图有缺陷的状态(3)点子在中心线一侧连续出现。a连续7点在中心线一侧。UCLCLLCL在一侧出现连续7点的概率为b连续11点中有10点在中心线一侧；c连续14点中有12点在中心线一侧；d连续17点中有14点在中心线一侧；e连续20点中有17点在中心线一侧。控制图有缺陷的状态(4)点子有连续上升或下降趋向，如点数≥7，则判断有系统性因素影响。

(5)点子的波动呈现周期性变化，表明生产过程有系统性因素发生。

UCLCLLCL4.3、控制图的两种错误判断根据控制图的控制界限所作的判断也可能发生错误。这种可能的错误有两种：第一种错误是将正常判为异常；第二种错误是将异常判为正常。

控制图的两种错误在生产正常的情况下，点子出界的可能性为3‰。这数值虽然很小，但这类事件总还不是绝对不能发生的。这样，在纯粹出于偶然点子出界的场合，我们根据点子出界判断生产过程异常就犯了虚发警报的错误，这种错误就叫做第一种错误。另有一种情况，即生产过程已经有了异常，产品质量的分布偏离了典型分布，可是总还有一个部分产品的质量特征值是在上下控制界线之内的。如果我们抽取到这样的产品进行检验，那么，这时由于点子未出界而判断生产过程正常，就犯了漏发警报的错误，这种错误就叫做第二种错误。

影响两类错误的因素主要有以下两个：

1.控制界限控制界限的宽窄对于两种风险是有影响的，当样本量一定的情况下，把这控制界限的间距拉大，这时犯第一种错误的可能性减小，而犯第二种错误的可能性增大。反之，当缩小控制界限之间的间距，犯第一种错误的可能性增大，而犯第二种错误的可能性减小。因此，控制界限的合理确定的原则，应是使得两种错误造成的总损失最小。经验证明，UCL=μ+3σ，LCL=μ-3σ的所谓3σ方式就是两种错误所造成的总损失最小的控制界限。美国、日本和我国等世界大多数国家都采用3σ方式。而英国和北欧等少数国家则采用所谓概率界限方式。在这种方式中，超出一侧控制界限的概率，人为地定为1‰、2.5‰和5‰等数值。

2.样本量n的大小如果，需要同时降低与的大小，则需要增加样本容量n。第五节过程能力分析5.1、过程能力的基本概念

过程能力（Processcapability），简称PC，又称工序能力或工艺能力。它是指过程处于受控或稳定状态下的实际加工能力。通俗地说，它是过程能稳定地生产合格产品的能力即满足产品质量要求的能力。过程能力是5M1E因素的综合反映，控制或提高过程能力就应当从这六个方面着手。如果这些因素在生产制造过程中严加控制，则过程会处于受控或稳定状态，那么，该过程就具有稳定的过程能力。5.2、过程能力指数及其计算2.过程能力指数的计算仅讨论计量值指标的过程能力指数的计算，计件值和计点值指标过程能力指数的计算，相当于计量值指标的过程能力指数计算的单侧公差情况。对于计量值指标的过程能力指数的计算，主要有以下几种情况：（1）双侧公差且分布中心（µ）和公差（标准）中心（M）重合的情况；（2）双侧公差且分布中心（µ）和公差（标准）中心（M）不重合的情况；（3）单侧公差情况①当只有公差上限时②当只有公差下限时5.3、过程能力指数与不合格品率

过程能力指数与不合格品率有着极其密切的关系。当过程处于受控或稳定状态时，一定的过程能力指数Cp值与一定不合格品率相对应，因此，过程能力指数大小，反映出产品质量水平的高低。例如，当Cp=1时，B=6σ，由正态分布理论可知，此时不合格品率P=0.27%；当Cp=1.33时，B=8σ，此时不合格品率P=0.007%等。下面分几种情况来讨论。

1.双侧公差，分布中心与公差中心重合

2.双侧公差，分布中心与公差中心不重合

3.用查表法求不合格品率5.4、过程能力分析与评价

过程能力分析是一种研究过程质量状态的活动。由于过程能力系数能够客观、定量地反映过程满足技术要求的程度，因而可以根据过程能力系数的大小对过程进行分析评价。