中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题重组专题10弧长和扇形面积【含答案】

专题10：弧长和扇形面积一2021年中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题试卷重组一、单选题（2020•山东日照市•中考真题试卷）如图，力8是。。的直径，CO为。。的弦，于点E,若A.6兀□2 B.12兀09&C.37r□4 D.9GAJ_【分析】根据垂径定理得出CE=DE=2CD=3』，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出/EOD=60。，进而结合扇形面积求出答案.解：：,月8是。。的直径，S为＜30的弦，/8_LCD于点E,：.CE=DE=2CD=36设。O的半径为厂，在直角△。四中，ODanOF+DE1,即尸=（9-厂）-+（36）2,解得，〃=6,：.OE=3,OE3T：.cosZBOD=OD629/.NEOD=60。,S扇形"D=%x36=6乃SRTOED=^-x3x3a/3=^V3o . 2 2 .根据圆的对称性可得:故选：A.【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出NEOD=60。是解题关键.（2020•江苏南通市•中考真题试卷）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cw）,则这个几何体的侧面积为（ ）A.4Sncm2 B.24ncm2 C.I2ncm2 D.9ncm2B【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,所以这个几何体的侧面积=2*£*6*8=24兀（cm2）.故选：B.【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.（2020•江苏泰州市•中考真题试卷）如图，半径为1°的扇形中，N4O8=90°,C为凝上一点,CD10AtCELOB,垂足分别为0、E.若/CDE为36。,则图中阴影部分的面积为（）ABABA.1°万 B,9n c.8乃 D.6万A【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题.连接OC交DE为F点，如下图所示：由已知得：四边形DCEO为矩形.,/ZCDE=36°,且FD=FO,二ZFOD=ZFDO=54°,ADCE面积等于△DCO面积.cYc _90•乃MO?54•乃MO?»阴影一»扇形骐龙一》AOC 煮j 瓶6 _1P兀故选：A.【点评】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具.（2020・四川达州市•中考真题试卷）如图，在半径为5的。。中，将劣弧"8沿弦N8翻折，使折叠后5一冗D.6【分析】如图画出折叠后所在的。o',连O'B,O'A,根据题意可得O'BJ_OB、O'A±OA,且OB=OA=O'B=O'A,得到四边形O'BOA是正方形，即NO=90。，最后根据弧长公式计算即可.解：如图：画出折叠后48所在的。o',连o'b,O'A••♦48恰好与OA、相切：.O'B±OB>O'A±OAVOB=OA=O,B=O'A,二四边形O'BOA是正方形:.ZO=90°90°x2x5;r_51二劣弧48的长为360° 2.故答案为B.【点评】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键.（2020•江苏苏州市•中考真题试卷）如图，在扇形0/8中，已知/NOB：%。，OA=41,过功的中点C作CE1OB,垂足分别为O、E,则图中阴影部分的面积为（）CO7 1 1 n1 1 兀 A.%T B.2 C.2 D.22B【分析】连接OC,易证CEO,进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.连接0C:点C为48的中点：.^AOC=^BOC在aCDO和aCEO中NAOC=4BOCZCDO=ZCEO=90°

CO=CO三CEO(AAS)：.od=oe,cd=ce又ZCDO=4CE0=NDOE=90°•••四边形CDOE为正方形,/OC=OA=V2OD=OE=\S正方形C0OE=1X1=1S _90兀」由扇形面积公式得""""" 360 2JI**,S阴影=S扇形/oh-S正方形=万一1故选B.【点评】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.6.（6.（2020•内蒙古中考真题试卷）如图,Z6是0°的直径，8是弦,点在直径的两侧.若N4OC:N4OC:NAOD:NDOB=2:7:118=4,则C。的长为（2乃4万D.2乃4万D.Hi兀［分析】根据乙：4OD［分析】根据乙：4OD：/DOB=2：7：11求出NCOD的度数,根据CO=4得到半径，运用弧长公式计算即可.••£AOD:ADOB=7:11ZAOD+ZDOB=180°♦，，ZAZ?=180°x—=70°18又•：NAOC"AOD=2:7,•ZCOZ)=90°又；CD—4,CD£=2CD£=2亚77X7FXCD90X万X2\/2：CD：CD=180180故答案选D.【点评】本题主要考查了弧长的计算，通过已知条件计算出圆心角和半径是解题的关键.

7.（2020・四川乐山市•中考真题试卷）在根8c中，已知N/8C=90°,Z5JC=30°,BC=1,如图所示，将A/16C绕点A按逆时针方向旋转90°后得到A48'C'.则图中阴影部分面积为（ ）九 ）一百 万一J5 也A.4 B.2 C.4 D.2B【分析】先求出AC、AB,在根据$阴影=S扇形般一邑叱-S0.求解即可.解：在RtZ\ABC中，•.•N8ZC=30°,，AC=2BC=2,.AB=\IaC2-BC2=>5••，•.・"BC绕点a按逆时针方向旋转90°后得到MBC,,.AB=AB'=C,BC=BC=l,NCAC'=90"ZCAB,=60°s=S_5_s -90外2215 90外⑹J—G.Q阴影一q扇形sue，°ab'cJdab'360-2V 360 - 2B故选：B【点评】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据S阴影=SS阴影=S扇形成彩，一^ABC--S求解是解题关键.（2020•内蒙古赤峰市•中考真题试卷）某几何体的三视图及相关数据（单位:cm）如图所示，则该几何体的TOC\o"1-5"\h\z侧面积是（ ）651 2 cm .A.2 b.60/rc"/c.65ic加2 d.130^cah2C【分析】首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为S圆锥侧=小&",其中R为圆锥底部圆的半径，/为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案.解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm,底部圆的半径为5cm,.♦.圆锥母线长为：又网锥将R=5cm,仁脂也代入，.S圆锥僧=小心/=65乃（cm?）•• 9故选：C.【点评】本题考察了用三视图判断几何体形状、勾股定理、圆锥侧面积计算，解题的关键在于通过题目中已给出的三视图判断出几何体的形状.（2020•贵州黔东南苗族侗族自治州•中考真题试卷）如图，正方形48。的边长为2,O为对角线的交点，点、E、尸分别为BC、40的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧BD,再分别以E、尸为圆心，1为半径作圆弧BO、OD,则图中阴影部分的面积为（ ）

A.7tul B.几口2 C.兀口3 D.4口加B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决.•Tix722•Tix722 2(1X14.Kxi2)=兀2,阴影部分的面积是:故选：B.【点评】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算.TOC\o"1-5"\h\z（2020•西藏中考真题试卷）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD_LAC,垂足为D,延长OD与半圆O交于点E.若AB=8,ZCAB=30°,则图中阴影部分的面积为（ ）AOB—tv—\/3 —7T—25/3 -—>/3 —7t—2\/3A・3 B.3 C.3 D.3D1 6【分析】根据垂径定理得到“后=底，AD=CD,解直角三角形得到OD=2oa=2,AD=2OA=26根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.解：VOD1AC,AZADO=90°,AE=CEfAD=CD,VZCAB=30°,OA=4,1 8：.OD=2OA=2,AD=2OA=2

-xZ\/3 —/r.,.图中阴影部分的面积=S扇形aoe二S/\ado=360 2 x2=3 ，故选：D.【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形的面积，得出_1_也OD=2oa=2,AD=2。八=2途是解题关键.（2020・贵州毕节市•中考真题试卷）已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为1—7t3,则图中阴影部分的面积为（1—7t3,则图中阴影部分的面积为（)连接C。、0°和CO,如下图所示, 71H D.12 41

-71,•••C，D是以48为直径的半圆上的三等分点，弧CO的长为3TOC\o"1-5"\h\zr 1=7vr=3x—n=n9^COD=60°,圆的半周长 3r=1,・・・4CD的面积等于△OCQ的面积,_60kxI2_ti•**S阴影=0扇形ocd 360 6・故选A.（2020•云南中考真题试卷）如图，正方形的边长为4,以点A为圆心，为半径画圆弧得到扇形QZE（阴影部分，点E在对角线力。上）.若扇形NE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）e1A.& B,1 C.2 D.2D【分析】根据题意，扇形/OE中弧OE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解.•.•正方形/8CO的边长为4:.AD=AE=4AC是正方形ABCD的对角线二NEAD=45°, 45°xix4= =兀•de180°.•.圆锥底面周长为。=2万-="，解得 2该圆锥的底面圆的半径是万，故选：D.【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键.（2020・广西中考真题试卷）如图，已知前的半径为5,所对的弦长为8,点尸是蓝的中点，将48绕点4逆时针旋转90。后得到45',则在该旋转过程中，点尸的运动路径长是（

C.C.2也n D.27tB【分析】根据已知前的半径为5,所对的弦AB长为8,点P是前的中点，利用垂径定理可得AC=4,PO±AB,再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长.如图，设48的圆心为o,连接0P交AB于C,连接0A,AP,AB，,AP，,00•.•圆0半径为5,所对的弦AB长为8,点P是的中点,根据垂径定理，得工AC=2AB=4,P01AB,c「一UC— ——3,.'.PC=OPDOC=5Q3=2,；.AP="C、PC2=2下,•.•将AB绕点A逆时针旋转90。后得到AB',・・・NPAP'=/BAB'=90。，907rx2V5，Lpp，=180=石兀.则在该旋转过程中，点P则在该旋转过程中，点P的运动路径长是故选：B.71.【点评】本题主要考查垂径定理，扇形的弧长计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键.（2020•宁夏中考真题试卷）如图，等腰直角三角形/8C中，NC=90°,"C=以点c为圆心画弧与斜边48相切于点q,交力C于点£,交BC于点、f,则图中阴影部分的面积是（ ）【分析】连接CD,并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积.连接CD,如图，：AB是圆C的切线，/.CD±AB,VAABC是等腰直角三角形，J_.\CD=2AB,・：NC=90o,AC=e,ac=bc・・.AB=2,/.CD=1,

S阴影=Sq8c-S扇形ECF=；X&X&-2襄1_=1_?故选：A.【点评】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.15.（2020•山东济宁市•中考真题试卷）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积等于（）B.ISncm2左视图俯视图B.ISncm2左视图俯视图C.247tcm2D.307tcm2由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm,底面半径是3cm,所以母线长是+3?=5（cm）,.•.侧面积=7P<3x5=15兀(cm2),故选B.（2020•山东东营市•中考真题试卷）用一个半径为4面积为3乃的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（）A.兀 B.2乃 C.2 D.1D【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到5・2兀丁3=3兀，然后解方程即可.解:根据题意得2・2兀「3=3兀，解得r=l.故选：D.【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.（2020•四川遂宁市•中考真题试卷）如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=BC,点。在48上，经过点4的。。与8c相切于点。，交48于点E,若CD=J5,则图中阴影部分面积为（ ）B【分析】连接O。，OHLAC于H,如图，根据切线的性质得到8L8C,则四边形ODC/7为矩形，所以OH=CD=^,则。/=应0/7=2,接着计算出N8OD=45。，BD=OD=2,然后利用扇形的面积公式,利用图中阴影部分面积=5/\080；S扇形进行计算.解：连接OD,过。作CW_L4c于〃，如图，ZC=90°,AC=BC,；・NB=NC4B=45°,••（DO与8C相切于点0,：.ODLBC,•・四边形ODC”为矩形，：.OH=CD=^,在RtZ\O/H中，NO4H=45。,：.04=丘OH=2,在RtZ\O8O中，VZ5=45°,：.ZBOD=45°,BD=OD=2,.l图中阴影部分面枳=Sa08万S扇形doe45x;rx2=0.5x=0.5x2x2180=2027t.故选:B.BB【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂宜于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径,构造定理图，得出垂直关系.也考查了扇形面积的计算.（2020•山东聊城市•中考真题试卷）如图，力8是。。的直径，弦CD14B,垂足为点连接",DB.如果。CRB,OC=2y[3t那么图中阴影部分的面积是（）.24BC.24BC.3兀D.4乃【分析】根据Z8是0°的直径，弦由垂径定理得= ,再根据证得NMC0=NCDB,即可证明△OA/C三BMD,即可得出'阴影=S礴形磔,.解：是。。的直径，弦CD14B,ZOMC=90°CM=DM9 •Z.MOC+NMCO=90°;OC//DBNMCO=NCDB•;NCDB=、4BOC又 2NMOC+-Z.MOC=90°2NMOC=60°在ZkOMC和aBMD中,Z.OCM=4BDM<CM=DMNOMC=Z.BMD.-.△m/CsBMD,••S/XOMC=SBMD60xtx圈=•S'skosc= 正° =2zr故选：B【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换,解此题的关键是证出&*c=S3皿，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中.二、填空题（2020•浙江嘉兴市•中考真题试卷）如图，在半径为血的圆形纸片中，剪一个圆心角为90。的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为5若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为.JK2【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可.解：连接8C,由N24C=90。得BC为。。的直径，；.8C=2加,在RtZ\Z8C中，由勾股定理可得：AB=AC=2,904x4扇形w=360=7t；90^x2...扇形的弧长为：180=兀，设底面半径为厂，则2“=n,2解得：r=2,【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.（2020•内蒙古鄂尔多斯市•中考真题试卷）如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,ZBCD=30°,CD=28，则阴影部分面积S阴影=【分析】连接OC.证明OC〃BD,推出$阴=$扇形obd即可解决问题•解：连接OC.BVAB±CD,:.BC=BD,CE=DE=6,.".ZCOD=ZBOD,ZBOD=2ZBCD=60°,AZCOB=60°,VOC=OB=OD,.,.△OBC,AOBD都是等边三角形，・・OC=BC=BD=OD,・・四边形OCBD是菱形，AOC//BD,•S△bdc=Sabod»S阴=5扇形obd，EDVOD=sin60°=2,60•一・2227.，.5阴=360 =3,2冗故3.【点评】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.（2020•甘肃兰州市•中考真题试卷）如图，AABC的外接圆O的半径为3,ZC=55°,则劣弧AB的长是.

一n6〃nr【分析】由圆周角定理可得NAOB=110。，再根据弧长公式18°求解.解：VZC=55°,.,.ZAOB=2ZC=110°,-11O-71-311AB= =—n180 611一n故6〃兀r【点评】本题考查了圆的弧长问题，掌握圆周角定理和弧长公式前是解题的关键.（2020•重庆中考真题试卷）如图，在边长为2的正方形488中，对角线/C的中点为O,分别以点A,C为圆心，以/O的长为半径画弧，分别与正方形的边相交.则图中的阴影部分的面积为.（结果保留））4一万Q=V-?V【分析】根据图形可得皿影 ABCD 扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积.由图可知,S阴影=Sabcd_2s扇形Sabcd=2x2=49•..四边形ABCD是正方形，边长为2,二AC=2>[2,1,点0是AC的中点，.•.OA=0,90。万（扬2万•扇形一~360°—,•，Q-V_?V=4-万・Q阴影3扇形f〃••，故4一乃.【点评】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出q一q -79n阴影一0ABCD/u扇形.（2020•重庆中考真题试卷）如图，在菱形48CQ中，对角线4C,BD交于点O,ZABC=l20°fAB=2百，以点。为圆心，08长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留兀）3百-万.【分析】如图，设。。与菱形的边48、40分别交于点E、F,连接OE、OF,由菱形的性质可证得△是等边三角形，进而可证得△8EO,ZkOF。都是等边三角形，由等边三角形的性质可求得^EOF—60°,然后根据阴影部分的面积=2/（S448Z）SadfoS^beoS扇形oef）代入数据计算即可.解：如图，设。。与菱形的边ZB、ZO分别交于点E、F,连接OE、OF,.四边形是菱形，ZJfiC=120°,：.ACLBD,BO=DO,OA=OC,AB^AD,N£MB=60。,AABD是等边三角形，：.AB=BD=2^,ZABD=ZADB=60°,:.BO=DO=7,・・•以点。为圆心，。8长为半径画弧，:.BO=OE=OD=OF,:・XBEO,△OF。是等边三角形，:・NDOF=NBOE=60。,：.NEO/=60。，・•・阴影部分的面积=2x（S〉abdSrdfoS^beoS扇形。所）=3抠-冗.故3G一4.【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，正确添加辅助线、明确求解的方法、熟练掌握菱形的性质以及等边三角形的判定和性质是解题的关键.（2020•四川自贡市•中考真题试卷）如图，在矩形“88中，E是上的一点，连接OE,将440E进行翻折，恰好使点4落在8C的中点尸处，在。尸上取一点0,以点。为圆心，°尸的长为半径作半圆与C。相切于点G；若工。=4,则图中阴影部分的面积为.BCBC2G【分析】OGDO连接OG,证明△DOGs^DFC,得出口。DF,设OG=OF=r,进而求出圆的半径，再证明△OFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案.解：连接OG,过O点作OHLBC于H点，设圆O与BC交于Q点，如下图所示:B卜.甘Q-C设圆的半径为r,：CD是圆的切线，AOGICD,/.△DOG^ADFC,OGDOFCDF,由翻折前后对应的线段相等可得DF=DA=4,是BC的中点，；.CF=BF=2,代入数据:r4—r••,4r=~：.3,QOD=DF-OF=-TOC\o"1-5"\h\z：. 3,./八“OG1

sinZ.ODG= =—• OD2.,.ZODG=30°,AZDFC=60°,

且OF=OQ,...△OFQ是等边三角形,，NDOQ=180°-60°=120°,同理AOCQ也为等边三角形,，OH=2 3,且S扇形ogq=S扇形oqf・S阴影=（S矩形OGCH-S扇形g-S\OQH）+（S扇形AO0尸一SkOQF）42G3Z142石、2G=—X——।-X—X）=3 3 223 3 92百故答案为.丁【点评】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.（2020•湖南邵阳市•中考真题试卷）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为1°万的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为图①图②图①图②13.【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长.解：•.•圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=1°〃在RtAAOB中，AB='JAO2+BO2=V122+52=13,所以，该圆锥的母线长4B为13.故13.【点评】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式.（2020•河南中考真题试卷）如图，在扇形中，=60。,0°平分交弧8c于点。.点E为半径°B上一动点若05=2,则阴影部分周长的最小值为.2向三.3【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形。48,连接力。交于E,再分别求解的长即可得到答案.解：：°阴影=CE+DE+CD,•••,阴影最短，则CE+DE最短，如图，作扇形关于08对称的扇形O4B,连接月。交于£,则CE=NE,.tCE+DE=AE+DE=AD,此时E点满足CE+DK最短，ZCOB=ZAOB=60°,OD平分CB,NDOB=30°,ZDOA=90°,OB=OA=OD=2,AD=>j22+22=2>/2,30乃x2_7C而8的长为：180-3「 25/2+—.•••c阴影最短为32挺+工.故3【点评】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.（2020•山东潍坊市•中考真题试卷）如图，四边形ZBCZ）是正方形，曲线O44GA4…是由一段段90度的弧组成的.其中：的圆心为点A,半径为“。；"4的圆心为点B,半径为84；4G的圆心为点C,半径为C4：GR的圆心为点d,半径为"G；…,一、，一、—一、。4,44，4。|,。|°”3的圆心依次按点人，8,（：,D循环.若正方形Z8CO的边长为1,则——、A2O2OB2O2O的长是.Bi40397r【分析】曲线04q…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+i,到

矶=叫=4(-1)+2,再计算弧长解：由图可知，曲线。4瓦044…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+i,AD=/4=1BA]=BB[=2也t=9=4(〃-1)+1BAn=8纥=4(〃-1)+2，，故^2020^2020的半径为B&)20=8/20=4(2°20-1)+2=8078,90「R ——X80784=4039万"2020I2020的弧长=180 .故40391._n/rr【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式： 180,找到每段弧的半径变化规律是解题关键.(2020•辽宁朝阳市•中考真题试卷)如图，点48,。是°°上的点，连接"8,"C,8C,且NNC8=15°,过点0作OO//48交0°于点0,连接力28°,已知0°半径为2,则图中阴影面积为.兀T【分析】由圆周角定理可得/力。8的度数，由可得5%即=528。，进而可得S阴影=S扇形和8,然后根据扇形面积公式计算即可.解：...48=15。,408=30。，■ODHAB*，••SzbdtSaabo,307rx2?_7T'S阴影=S扇形408=36°3e7T故3.【点评】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.（2020・吉林长春市•中考真题试卷）如图，在△力8c中，ZJ5C=90°,AB=BC=2,以点C为圆心，线段C4的长为半径作交C6的延长线于点£）,则阴影部分的面积为（结果保留兀）.【分析】利用勾股定理求出ZC,证明NC=45°,根据“二S阚腕”-SacB计算即可.解：•.F8=C8=2,/.ABC-90°,AC=\lAB2+BC2=V22+22=2x/2,NC=NBAC=45°,45•万.（2® ]Spi=Sjs形exo-S4“cb= —x2x2=^--2故答案为万一2.【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.（2020•山东青岛市•中考真题试卷）如图，在aNBC中，。为8C边上的一点，以。为圆心的半圆分别与48,ZC相切于点M,N.已知N84C=120。，AB+AC=\6tMN的长为乃，则图中阴影部分的面积为.24-3百一3%【分析】连接OM、ON、OA,易证得NMON=60。，即Sit；i^znt'+SncF=ZMOE+ZNOF=120°,「 3',再由弧长公式求得半径OM,然后证得Rt4AMO^RtAANO,即NAOM=30。，进而解得AM,则可得S四边形“mon,代入相关数值即可解得阴影面积.如图，连接OM、ON、OA,设半圆分别交BC于点E,F,则OM_LAB,ON±AC,,ZAMO=ZANO=90°,VZBAC=120°,，ZMON=60°,,:mn的长为乃，60万 =n180.•.OM=3,「在RtAAMO和RtAANO中，OM=ONOA=OA/.RtAAMO丝RtAANO(HL),AZAOM=ZAON=2ZMON=30°,TOC\o"1-5"\h\zAM=OM-tan300= 3 ,S四边形=2sA4Mo=2x =3>/32 ,ZMON=60°,.*.ZMOE+ZNOF=120°,S扇形ame+SNOF 兀•号=3兀二 3 3二图中阴影面积为S"O8+S“oc-S四边形彳做小一(S扇形晶嬷+sNOF)；x3.(/6+NC)—30一3万=24-3百-31，故24-30-3死.【点评】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算.31.（2020•湖北鄂州市•中考真题试卷）如图，半径为2cm的0°与边长为2cm的正方形N8CD的边相切于e,点F为正方形的中心，直线°E过产点.当正方形Z8CO沿直线以每秒1或11+6G【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论.解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA,OB,AB交OF于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形oab-SZ\oab由题意可知：0A=0B=AB=2,OF1AB.♦.△OAB为等边三角形.".ZAOB=60°,OE1AB—OA=1r-在RtZ\AOE中，NAOE=30°,.,.AE=2 ,0E=^3=竺兀r6=2兀-6「・S扇形oab-Sz\oab 360 2 3.,.of=G+i.•.点F向左运动3-（G+l）=2-、万个单位2-0_]所以此时运动时间为2-G秒图1图1②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC,OD,CD交OF于点EB4D图2B4D图2此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-SZkocD由题意可知：0C=0D=CD=2,OF±CD...△OCD为等边三角形.\ZCOD=60o,OE±CDTOC\o"1-5"\h\z—OC=1 r-在Rt^COE中，ZCOE=30°,/.CE=2 ,OE=^3=—71—--I-V3=-n-G•・S扇形ocd・SZ\qcd 360 2 3.♦.of=6+i...点F向左运动3+(G+l)=4+G个单位士电=11+6行所以此时运动时间为2-J3 秒11+6同 ■|兀-百(cm?)综上，当运动时间为1或U+6V3秒时，。。与正方形重叠部分的面积为3故1或11+66.【点评】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键.32.（2020•山东荷泽市・中考真题试卷）如图，在菱形0Z8C中，是对角线，OA=OB=2,与边相切于点O,则图中阴影部分的面积为.2月-乃【分析】连接OD,先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积.解：如图，连接OD,在菱形O48C中，AB=OA—OB=2•，••△AOB是等边三角形，:.ZAOB=ZA=60°,•OD=2xsin60°=百，Smob=qx2xVJ=G60°x^x(>/3)2_7t・••扇形的面积为： 360° 2,2x(V3--)=2V3-^・•・阴影部分的面积为： 2故26-1.【点评】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积.（2020•湖北黄冈市•中考真题试卷）如图所示，将一个半径Qt=10cm,圆心角NZO8=90。的扇形纸板放置在水平面的一条射线上.在没有滑动的情况下，将扇形沿射线°”翻滚至再次回到OM上时，则半径OA的中点尸运动的路线长为cm.AAB O BM无解中考错题无解（2020・广西中考真题试卷）如图，在边长为2G的菱形Z8CO中，NC=60°,点尺尸分别是"8,上的动点，且4E=DF,DE与bf交于点P.当点E从点A运动到点、B时,则点P的运动路径长为.4-713【分析】根据题意证得,推出/BPE=60°,ZBPD=120°,得到C、B、P、D四点共圆,知点P的运动路径长为8。的长，利用弧长公式即可求解.连接BD,•菱形48C。中，ZC=60°,/.ZC=ZA=60°,AB=BC=CD=AD,•••△ABD和4CBD都为等边三角形，・・・BD=AD,ZBDF=ZDAE=60°,:DF=AE,.•・^BFD^DEA,，NDBF=NADE,丁ZBPE=ZBDP+ZDBF=NBDP+NADE=NBDF=60°,/•ZBPD=180°-ZBPE=120°,VZC=60°,AZC+ZBPD=180°,...C、B,P,D四点共圆，即。。是aCSO的外接圆，/.当点E从点A运动到点8时，则点尸的运动路径长为BD的长,.,.ZBOD=2ZBCD=120°,作OG_LBD于G,[1根据垂径定理得：BG=GD=2bd=6,ZBOG=2ZBOD=60°,sin/BOG・08=2•• fn7rR2x1200•万4 - =——7t从而P点的路径长为180° 180° 3【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹.（2020•湖北中考真题试卷）如图，圆心角为90°的扇形4c8内，以8C为直径作半圆，连接N8.若阴影部分的面积为（％一1）,则4c=12【分析】本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解.将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S|,S2；两块空白分别为S3,S4,连接DC,如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2F-I,VBC为直径，/.ZCDB=90°,即CDJ_AB,故CD=DB=DA,；.D点、为BC中点，由对称性可知C。与弦CD围成的面积与S3相等.设AC=BC=x,则S场xb-S3-=S|+S,_90»7T»X_90»7T»X2_7VX1其中5扇女8 360 =~—5,-(--—5,)=^-1故：4 3 4 3求解得：王=2，々=-2（舍去）故答案：2.【点评】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解.（2020•黑龙江大庆市•中考真题试卷）如图，等边"BC中，AB=3,点。，点E分别是边80,a上的动点，且BD=CE,连接NO、BE交于点F,当点。从点8运动到点C时，则点尸的运动路径的长度为.2岳3【分析】如图，作过A、B、F作。O,仍为点F的轨迹，然后计算出，循的长度即可.解：如图：作过A、B、F作。O,过O作OG_LAB:等边MBC•・AB=BC,ZABC=ZC=60°.・BD=CE.,.△BCE^AABC/.ZBAD=ZCBE:ZABC=ZABE+ZEBC=60°/.ZABE+ZBAD=60°.\ZAFB=120°ZAFB是弦AB同侧的圆周角.,.ZAOB=120°VOG±AB,OA=OB_L 1 2・・・ZBOG=ZAOG=2ZAOB=60°,BG=2AB=2，ZOBG=30°设OB=x,则OG=2x用rr... 12； \2J,解得x=，3或x=«3（舍）120%2岳_26U二施的长度为 3600 3.2岳故3.【点评】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键.三、解答题（2020•辽宁阜新市•中考真题试卷）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为“（44）,8（1,1）C（4,l），・

（1）画出与△Z3C关于y轴对称的△44G；（2）将aNBC绕点°】顺时针旋转90。得到△应当G，工”2弧是点/所经过的路径，则旋转中心。的坐标为.（3）求图中阴影部分的面积（结果保留万）.5-11（1）见解析；（2）（2，°）；（3） 2【分析】（1）根据网格结构找出点C关于y轴的对称点A1、Bi、G的位置，然后顺次连接即可;(2)(3)利用网格特点和性质的性质，作AA?和CC2的垂直平分线，它们的交点即为°|点；(2)(3)（1）如图所示，△AiBiG即为所求.结合图形的特征，利用勾股定理求出旋转半径，利用扇形面积和三角形面积求出阴（1）如图所示，△AiBiG即为所求.(3)如图：设旋转半径为〃则-=22+4,=20,,阴影部分的图形面积为:【点晴】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及阴影部分面积的计算.熟练掌握网格结构、勾股定理、图形变换的性质及图形面积公式是解题的关键.(2020•湖北荆州市•中考真题试卷)如图，将绕点b顺时针旋转60度得到△O6K,点c的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.(1)求证：BC!/AD.(2)若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.5—7T(1)见解析；(2)3【分析】(1)先利用旋转的性质证明4ABD为等边三角形，则可证/。/8=60'，即，CBE=NDAB,再根据平行线的判定证明即可.(2)利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解.(1)证明：由旋转性质得：MBC三ADBE/ABD=NCBE=60AB=BD,:.MBD是等边三角形所以NO/8=604CBE=2DAB,：,BCHAD.(2)依题意得：AB=BD=4,BC=BE=1,60zrx460乃x15 + ——71所以A,C两点经过的路径长之和为180 180 3.【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键.(2020•辽宁本溪市•中考真题试卷)如图，在平行四边形ZBCO中，4C是对角线，NC48=90°,以点A为圆心，以28的长为半径作。“，交BC边于点、E,交4c于点F,连接。E.(1)求证：OE与。4相切；(2)若NZ8C=6O。，4B=4,求阴影部分的面积.4百-也(1)见解析；(2) 3【分析】(1)证明：连接AE,根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD/7BC,求得NDAE=NAEB,根据全等三角形的性质得到NDEA=/CAB,得至ljDEJ_AE,于是得到结论；(2)根据已知条件得到4ABE是等边三角形，求得AE=BE,NEAB=60。，得至l」NCAE=NACB,得到CE=BE,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.(1)证明：连接ZE四边形ABCD是平行四边形AD=BCAD//BC• ，・.ZDAE=ZAEB.・AE=ABZAEB=/ABC•:.ZDAE=ZABC:.\AED^\BAC:.4DEA=ZCABNC43=90°NQ£4=90°DE1AE•.♦NE是的半径DE与04相切⑵解：•.•45C=60°,AB=AE是等边三角形:.AE=BE,^EAB=60°•；/C4B=90°NCAE=90°-4EAB=90°-60°=30°NACB=90°-ZB=90°-60°=30°：.NCAE=ZACBAE=CE:.CE=BE—^AABE~TSSBCTOC\o"1-5"\h\z：. 2•.•在RtZUBC中，ZCAB=90°,NABC=60°,AB=4；.AC=AB•tanNABC=4xtan60°=4GSMBC--AB-AC=—x4x4V3=8石/. 2 2SMCE=gSMBC=W又86=4百：. 2 2VACAE=30°,AE=4_3QttxAE2_30^,x424万扇形"即—一360— 360"TS阴影=Smce-S扇形，ef=4Ji一~—【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.40.(2020•江苏淮安市•中考真题试卷)如图，/8是圆。的弦，C是圆。外一点，℃工。4,CO交48于点尸，交圆。于点0,且CP=CB.(1)判断直线8C与圆°的位置关系，并说明理由;(2)若N/=30°,°P=1,求图中阴影部分的面积.61

7T(1)直线BC与圆O相切，理由见解析；(2)2 4【分析】(1)连接OB,由等腰三角形的性质分别证出NA=NOBA,ZCPB=ZCBP,再利用直角三角形性质和对顶角可证得/OBC=90。，即OBLBC,可判断直线BC与圆O相切；(2)易证得4CPD为等边三角形，则有NOCB=60o,/BOC=30。,用含30。角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积.(1)直线BC与圆O相切，理由为：连接OB,VOA=OB,/.ZA=ZOBA,VCP=CB,.\ZCPB=ZCBP,又NAPONCPB.\ZCBP=ZAP0,VOA±OC,・・・NA+NAPO=90°,，ZOBA+ZCBP=90°BPZOBC=90°,.*.OB±BC,・•・直线BC与圆O相切；VOAXOC,ZA=30°,OP=10Tm・・.OA=tan30 ,ZAPO=600即ZCPB=60°,VCP=CB,AAPCB为等边三角形，・・・ZPCB=60°,'/ZOBC=90°,.".ZBOD=30°,.,.BC=OBtan30°=l,CB【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算.41.（2020•山东潍坊市•中考真题试卷）如图，为0°的直径，射线工。交于点F,点C为劣弧8尸的中点，过点C作CE,/O,垂足为E,连接(1)求证：CE是0°的切线；⑵若N8ZC=30°,"=4,求阴影部分的面积.2—71(1)证明见解析；(2)3.【分析】(1)连接BF,证明BF//CE,连接0C,证明OC_LCE即可得到结论:(2)连接OF,求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积.(1)连接8F,是。。的直径，ZAFB=90°,即CE1ADBF/ICE连接℃，•.•点C为劣弧8尸的中点,OC1BF9・・BF//CE・，OC1CE•••OC是。。的半径,，CE是。。的切线；(2)连接°厂•/OA=OCNB4c=3。°，，/.NBOC=60°•.•点C为劣弧8E的中点，：.FC=BC9：2FOC=NBOC=60°■：AB=4t；.FO=OC=OB=260.^x222 =-7T:.S扇形foc=360 3，2—n即阴影部分的面积为：3.【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键.42.(2020•湖北随州市•中考真题试卷)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理：②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方