2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷五（学生版+解析版）

评卷入得分1.已知集合4={-1,0,1,3},B评卷入得分1.已知集合4={-1,0,1,3},B={0,2,3}»则4UB=()A.[0,3}C.[0,1,3)D.{-1,0,1,2,3)保密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷五（全国乙卷・理科）学校:姓名：班级：考号：题号—二二总分得分注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）3.记%为等差数列｛即｝的前n项和.若。4+%=243.记%为等差数列｛即｝的前n项和.若。4+%=24,56=48,则｛既｝的公差为（）4.A.1B.2C.4D.8已知向量万,至满足|引=5,巧|=6，a-b=-6，贝kosV五，五+b>=()A--・ 35B--g5.已知tana=则sin2a=()2.已知复数（l+i）（a+i）为纯虚数，其中a为实数，i为虚数单位，则a=（）2.A.A.1A-A-I6.B.|人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况,可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）

16000000001400000000120000000010000000008000000006000000004000000002000000000六次人口普着总人口数(包括大陆港澳台)增幅A.人口数逐次增加，第二次增幅最大六次人口普着总人口数(包括大陆港澳台)增幅B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大D.人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小.一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为()您 B.； C.1 D.^.已知m,n是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A.若a上ua,nuS，则直线m与几一定平行.若m1a,nJ■夕,a_L氏则直线m与九可能相交、平行或异面C.若则直线m与n一定垂直D.若mua,nu/B，则直线m与n一定平行.已知函数/(x)=/lsin(cox+(p)(A>0,a)>0,0<cp<九)的周期为兀，将其图象向右平移弓个单位长度后关于y轴对称，现将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x),若g(-g)=V2,则/(》=()a-tb--ta-t.材料一：已知三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=Jp(p—a)(p-b)(p—c),其中p=---.这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点Fi，尸2的距离的和等于常数(大于|尸好2|)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知△ABC中，BC=4,AB+AC=6,则△ABC面积的最大值为().设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x€R,都有f(2—x)=f(2+x),且当xe［一2,0］时，f(x)=2-(1)x,若在区间(一2,6］内关于x的方程/(x)-loga(x+2)=0(0<a<l)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(0*) B.(0净 C.弓*)D.(1,1).已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为I,过F的直线交抛物线于4,B两点，作AM1/,BN1/,垂足分别为M,N,若|MF|=4,|NF|=竽，则|AB|=()A. B.4 C.5 D.y评卷人得分二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分).杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6,则这一行是第行.第。疗 1第1行11第2行121第3行 1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561.已知48,C,。在球。的球面上，团4BC为等边三角形且其面积为随，AC_L平面4ABC.AD=2,则球0的表面积为..在数列｛a“｝中，的=1,an+1-an=9-2n,则数列｛a.｝中最大项的数值为.若不等式ke-22xlnx恒成立，则实数k的取值范围是.评卷人得分(一)必考题：共60分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22评卷人得分(一)必考题：共60分.已知正项数列(5｝的首项由=1,前n项和S”满足2a.=底+&_式">2).(1)求数列的通项公式:1(2)记数列的前n项和为7；,若对任意的n6N*,不等式5〃<a2-a恒成立,anan+i求实数a的取值范围..为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为X.(1)求选出的4名同学中只有女生的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望..如图，四棱锥S-ABCC的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的近倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACLSD；(2)若SC1平面PAC,求二面角P-4C-S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面PAC.若存在求SC:SE的值；若不存在，试说明理由..已知双曲线C：=1(。>0,/?>0)经过点。(一2,1),且C的右顶点到一条渐近线的距离为*.3(1)求双曲线C的方程;

(2)过点P分别作两条直线，1，，2与c交于4,B两点(4,B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为七小2•若心+的=1-试问直线AB是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由..已知函数/(x)=ae*T—Inx+Ina.(1)当a=e时，求曲线y=/'(x)在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)21,求a的取值范围•(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy22.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为,(t为参数)，以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为pcos。-mpsind-1=0(mGR).(1)求曲线G的普通方程和直线C2的直角坐标方程；(2)已知P(l,0),曲线G与直线C2交于M,N两点，若|PM|+|PNK同，求?n的值.［选修4—5:不等式选讲］23,设函数/(乃=|工+1|-|》一1］的最大值为”.(1)求M的值；(2)设正数a,b,c满足a+b+c=M,求证：a?+b?+c22g.

保密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷五

(全国乙卷・理科)学校:姓名：班级：考号：题号一二三总分得分注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.评卷人得分.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).已知集合A={-1,0,1,3},B={0,2,3},则4UB=()A.{0,3} B.{-1,1,2)C.[0,1,3} D.{-1,04,2,3}【答案】D【解析】解：；A={-1,04,3},B={0,2,3},4UB={-1,0,1,2,3},故选：D.利用并集运算求解即可.此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键..已知复数(l+i)(a+i)为纯虚数，其中a为实数，i为虚数单位，则a=()A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】4【解析】解：:(1+i)(a+i)=a-1+(a+l)i为纯虚数，故选；A.根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解.本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.26.记％为等差数列{a.}的前n项和.若(14+05=24,S6=48,则{a"的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8

【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于基础题.利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出9"的公差.【解答】解：Sn为等差数列｛an｝的前n项和，设公差为d,a4+a5=24>S6=48,ar+3d+%+4d=24

6x5 ,6alH---d=48解得由=-2,d=4,｛4>｝的公差为4.故选C.27.已知向量落方满足|K|=5,|K|=6.ab=-6.则cos<4,1+石>=()B-SA一卫B-S・ 35【答案】D【解析】【分析】本题考查向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算和向量模的计算，考查计算能力,属于中档题.计算出『0+方），何+目的值，即可得解.【解答】解：r111=5,|b|=6,a.-b=—6>aa-(a+b)=|a|2+a-K=52-6=19>|a+b|a2+2a-b+b=|a+b|a2+2a-b+b='25-2x6+36=7,因此，cos<a,a+K>=a(a+d) 19|a||a+b|-5x71935故选D.28.已知tana= 则sin2a=()

【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数值的计算，考查二倍角公式的运用，为基础题.利用sin2a=2sinacosa=?吗，代入计算可得结论.i+tan^a【解答】解：vtana=2sinacosa・•・sin2a=2sinacosa= 1sincrcosa2sinacosa乙x8s2asin2a+cos2a sin2a+cos2qcos2a2tana_3l+tan2a5,故选B.29.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查六次人口普杳总人口数（包括大陆港澳台）TOC\o"1-5"\h\z1600000000 r1400000000 ―—1200000000 7^- ■ ■--■ ■ ■ ■0.80.60.40.20HDOOOOOGO 尸= 1 0.80.60.40.20■二.I■■■

■■■■■■200000稣|第一次第二次第三次第四次第五次第六次——增幅的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A.人口数逐次增加，第二次增幅最大B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大D.人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小【答案】C【解析】【分析】

本题考查条形统计图、折线图的应用，属于基础题.根据统计图中的信息直接得出结论.【解答】解：由条形图得，第六次普查人数最多，由折线图得第三次增幅最大.故选C..一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（）A-I B.； C.\ D.总【答案】D【解析】【分析】本题考查概率计算，属于基础题.根据概率公式进行计算即可.【解答】解：恰好三次就能确定出两件次品包含前三次检测的均为正品，或者前两次有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，共有2G玛+A4=18种.即所求概率端=3.故答案为D..已知m,n是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A.若a1 uu/?,则直线?n与n一定平行B.若m1a,n10,a10,则直线m与n可能相交、平行或异面C.若mla,n〃a,则直线?n与n一定垂直D.若mua,nu 〃夕，则直线m与n一定平行【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了空间线线、线面、面面位置关系的判断，属于基础题；结合空间线面的位置关系及平行于垂宜的判定与性质定理对选项进行判断.【解答】解：对于A,m,n可能平行、异面、相交，故A错误：对于B,若m1a,般_Lp,a10,则直线m与n不可能平行，故B错误：

对于C,根据线面垂宜线面平行的性质可知宜线m与n一定垂直，故C正确；对于。，若mua,nu0,a〃0,则直线ni与n可能平行，也可能异面，故D错误.故选C..已知函数/'(X)=Asin(3X+卬)(4>0,co>0,0<<兀)的周期为兀，将其图象向右平移?个单位长度后关于y轴对称，现将y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x),若9(一§=夜，则/(?)=()A.在 B,一匹 C.■ D.U2 2 2 2【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的变换，函数的解析式的求法以及函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.利用函数的周期求解3,函数的图象的平移求解程，通过伸缩变换求出g(x)的解析式，利用已知条件求解4然后求解/(》即可.【解答】解：函数/(x)=Asin(3x+<p)(A>0,3>0,0<0<7T)的周期为JT,可得3=2,将其图象向右平移%个单位长度后关于y轴对称，可得>=4皿(2»—：+口),0<口<“，所以8-3=三所以0=1.将y=f(X)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)=zlsin(x+^)>若g(g)=&，可得：四=4sin(一；+坐，可得4=在，/(%)=V2sin(2x+^),f(g)=V2sin(^+甘=-Vising=一字故选：B.33.材料一：已知三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=Vp(p-a)(p-h)(p-c),其中p=亨.这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点片，尸2的距离的和等于常数(大于1尸1尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知AABC中，BC=4,AB+AC=6,则△ABC面积的最大值为()A.V5 B.3 C.2>/5 D.6【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.材料一：根据已知利用公式代入然后利用基本不等式求出最值；材料二：可得点4的轨迹为椭圆，当A为椭圆与y轴的交点时，Sf8c取得最大值，求解即可.【解答】解：材料一：根据题意可知「=等=5,设4B=c,AC=b,BC=a则S=yjp(p-d)(p-b)(p-c)=J5(5_b)(5-c)(5-4)=J5(5-b)(5-c)l(5-b)+(5-c) 「10-(h+c)<V5x =V5x ；——-=2V5当且仅当5—b=5-c,即b=c=3时取等号；材料二：在△ABC中，BC=4,AB+AC=6,可将B,C看做固定的两点，不妨设8(-2,0),C(2,0),则点4的轨迹为椭圆，可得当点4为椭圆与y轴的交点时,Saabc取得最大值，则I。川=V32-22=V5>则S-BC=IX4xV5=2V5.故选C..设/(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xeR,都有f(2-x)=f(2+x),且当xC［-2,0］时，/(x)=2-(}x,若在区间(一2,6］内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(0<a<1)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(吟 B.(0,当 C.吕为 D,(1,1)【答案】C【解析】【分析】本题考查方程的根，考查了函数的奇偶性与周期性，属于较难题.由已知中可以得到函数/(x)是一个周期函数，且周期为4,得到在区间(一2,6)内函数y=/(x)和g(x)的图象恰有三个交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围.【解答】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以/(》)=/(一x),又/(2—x)=f(2+x),所以函数f(x)关于直线x=2对称,即/(x)=/(4-x),'(一x)=f(4-x),则函数/(x)的周期为4,且当*6［—2,0］时，f(x)=2-C)L分别画出y=f(*)和9(*=1。笫(6+2)(0<a<1)的图象，如图：若在区间(-2,6］内关于x的方程/(x)-loga(x+2)=0(0<a<1)恰有三个不同的实数根,则在区间(-2,6］内函数y=f(x)和g(x)的图象恰有三个交点，则需满足据：谓即｛疑：：二：，解得ae(各，故选C..已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为「，准线为I,过户的直线交抛物线于A,B两点，作AMI/,BN1/,垂足分别为M,N,若|MF|=4,|NF|=竽，则|AB|=()A. B.4 C.5 D.v3 3【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质和抛物线中的弦长问题，属于拔高题.设48坐标和直线AB方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出p,再由A/IMF是等边三角形求出m,最后利用|4B|=%+m+p=m(yi+y2)+2P即可求弦长.【解答】解：如图所示，由题意得/：x=-f,尸g,0),设4(尤1/1),B(x2,y2')>直线48：x=my+p则/V(-^,y2)>(y2=2px,由［x=my+yy2-2pmy-p2=0,所以%+为=2pm,yry2=-p2»因为|MF『=p2+*=16,\NF\2=p2+光+=y,所以P'=(16-p2)(g-p2),解得p=2,

设抛物线准线［交x轴于K,则|KF|=P=2,在RtZkMFK中，可得cosZ_MFK=白二三，乙MFK=三,4 2 3所以是等边三角形，所以小=需=¥，%+丫2=#，\AB\=xt+x2+p=m(yx+y2)+2p=y.评卷人得分故选D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）36.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6,则这一行是第 行.66行行行行行行行66行行行行行行行0123456第第第第第第第【答案】98【解析】【分析】本题考查了归纳推理及组合数的运算，属中档题.由归纳推理及组合数的运算得：得:4+】:僚+2=4：5：6,由组合数的运算可得关于n,k的方程组，求出n即可得答案.【解答】解：此数表为杨辉三角，设第n行有三个相邻的数字之比为4:5:6,则僚:C5+i：G+2=4:5:6.山组合数的运算可得:永+1_4

n-k山组合数的运算可得:k+2n-k-1_6k+2解得㈡故答案为：98..已知4B,C,D在球。的球面上，13ABe为等边三角形且其面积为辿，AD1平面4ABC.AD=2,则球。的表面积为.【答案】8%【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，考查正弦定理，属手中档题.由正弦定理求出三角形4BC外接圆。1的半径，求出。。】，从而得到球。的半径，从而得到表面积.【解答】解：由于三角形4BC为等边三角形，设边长为a,则3。2=%，4 4所以q=百，三角形ABC外接圆。1的半径为r,所以2r=9^7=2,即r=l,sin60又由4。1平面ABC,AD=2,将三棱锥D-ABC补形成直三棱柱，可知球心。在上下底面的中心连线的中点处，1所以。。1 =1,球0的半径R=5+。。/=V2>球。的表面积为s= =8e，故答案为8w..在数列5｝中，=1>«n+i-an=9-2n,则数列｛即｝中最大项的数值为.【答案】17【解析】【分析】本题考查了数列递推式，考查/累加法求数列的通项公式，是中档题.利用累加法求出数列的通项公式，将通项公式化简求出最大项的数值即可.【解答】解：因为a九+1—an=9—2n,所以an-an-i=11—2n,贝!］当">2时，an=(an-an_x)+(an_t-an_2)+…+(a2-q。+ax=(ll-2n)-F(13—2n)+…+7+1_(ll-2n+7)(n-l)+i=-n2+lOn—8=—(n—5)2+17.将71=1带入上式满足%=1.所以On=-(n-5)2+17,(ne/V,),所以数列｛斯｝中最大项为第5项，且的=17.故答案为：17..若不等式ke-22xlnx恒成立，则实数k的取值范围是【答案】e【解析】【分析】本题考查对数的运算，等价转化思想，利用导数研究函数的单调性和最值问题，有一定难度.将不等式ke-NZxlnx变形为kxekx>ln/e",构造函数/(t)=”,将问题转化为/(kx)>/(In/)恒成立，利用导数求出/«)单调性，将问题转化为k>等恒成立，令九⑺=警利用导数求出九(X)max，即得结论.【解答】解：(l)k40时，ke-22xlnx显然不恒成立(左非正值，右可为正值)，(2)k>。时，①若0<x4l,不等式ke"*22xlnx恒成立，②下面研究x>1的情况(k>0,x>1)：此时，ke->2xlnx,可变形为质浮、>2x2\nx=x2\nx2=lnx2elnx2.BPfcxekx>\nx2einx\令因为々>0,x>l，所以t>0,不等式ke"x>2xlnx恒成立，即为/'(kx)>fQnM)恒成立，因为/'(t)=(1+t)ef>0,所以函数/(t)在tG(0,+8)上单调递增，所以》f(Inx2)恒成立等价于kx>In/恒成立，即k>生竺恒成立，X令〃x)=等，则"。)=四再，可知/i(x)在Qe)上递增,在3+00)递减，所以h(X)max=h(e)=所以〃e故答案为上)々e评卷人得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)(一)必考题：共60分.己知正项数列｛a.｝的首项%=1,前n项和S”满足2册=医+历>2).(1)求数列｛a*｝的通项公式；(2)记数列｛£—｝的前n项和为%,若对任意的nGN*,不等式5〃<a2-a恒成立，求anan+l实数a的取值范围.【答案】解：(1)当?122时，2每=底+同匚'，2(Sn-Sn-i)=y/Sn+JSn_],即-JSn_1—所以数列｛店｝是首项为1,公差为扣勺等差数列，故底=等，又由即="瓜+底=)=](等+今=平(n>2),,271+1 、o所以凝=『心2ll,n=1(H)n=1时,7i=g,当n>2时，——=in+lin+3=8(石豆-三石)，^71^*714-1 . 4r，十1.4rl十，TOC\o"1-5"\h\z4 44 1111 1 1Tn=—+8(-—-4-—— - -)n5 '57792n+12〃+3，_12 8 125 2n+3 5又因为则由5〃<a2-a恒成立可得，12Wa2-a,解得a<-3或a>4.即所求实数a的范围是a<一3或a>4.【解析】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用.(I)由已知可得，2(Sn—Sn-i)=店+反；，结合等差数列的通项公式可求后，进而可求册5(II)由日二=生亘白=8(小一焉)，利用裂项求和可求功,求出〃的范围可求a的范围.4 441.为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为X.(1)求选出的4名同学中只有女生的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】解：(1)设选出的4名同学中只有女生的事件为4故P(A)=寻=点(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=^=京，P(X=1)=等=卷，c>[0 乙]0 nJP(X=2)=等号，P(X=3)=詈=3,P(X=4)=旨='Gio / Gio s Gio"故X的分布列为：X01234P121043537821114故E(X)=0x^+lx^+2x1+3x^-+4x^=y.【解析】(1)根据已知条件，结合超几何概率公式，即可求解.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题.42.如图，四棱锥S-4BCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的鱼倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACLSD-,(2)若SC1平面PAC,求二面角P-AC-S的大小;(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面P4C.若存在求SC:SE的值;若不存在，试说明理由.【答案】解：(1)证明：连结8D,交AC于点0,故。为4C和B0的中点,由题意得S4=SC,故S014C,在正方形ABCD中，AC1BD,山BDnS。=0,BD,SOC平面SBD,AC1平面SBD,vSDu平面SBD,二4C1SD.(2)设正方形边长为a,由题意知SO_L平面ABC。，则SC=Via,又OD=qa，aZ.DSO=30°,连结OP,由(1)知4C_L0S,X4CL^SBD,OPu平面SBC,aAC1OP,4Pos是二面角P-2C-S的平面角，由SO1平面P4C,OPu平面PAC,知SO1OP,APOS=60°,二面角P-AC-S的大小为60。.(3)在棱SC上存在一点E,使BE〃平面PAC,由(2)得P£>=^a，故可在SP上取一点N,使PN=PD,4过N作PC的平行线与SC的交点即为E,连结BN,在ABON中，BN//P0,又由于NE〃PC,BNCNE=N,BN,NEu平面BEN,POQPC=P,PO,PCu平面P4C,.•・平面BEN〃平面PAC,BEu平面BEN,BE〃平面P4C,由已知可得，△SBC为正三角形，N为SD中点,P为ND中点,:.SN：NP=2：1,aSC：SE=3：2.【解析】本题考查线线垂宜的证明，考查二面角的大小的求法，考查两线段的比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.(1)连结BC,交AC于点。，推导出SO1AC,AC1BD,从而4c_L平面SB。，由此能证明AC1SD.(2)设正方形边长为a,由题意知SO_L平面4BC。，连结OP,则AC1OS,"J"平面SBC,从而AC1OP,进而"OS是二面角P-AC-S的平面角，由此能求出二面角P-4C-S的大小.(3)在棱SC上存在一点E,使BE〃平面P4C,PD=—a＜在SP上取一点N,使PN=PD,过4N作PC的平行线与SC的交点即为E,连结BN,推导出平面8EN〃平面PAC,BE〃平面尸4C,由此能求出SC：SE的值.43.已知双曲线C：捺一卷=1((1＞0涉＞0)经过点「(-2,1),且C的右顶点到一条渐近线的距离为华.3(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条直线，I，%与C交于4,B两点(4B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为七,的.若七+的=1,试问直线48是否经过定点•若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】解：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0,虚轴的一个顶点为(a,0),依题意得得署《=半，即3q2b2=2(a2+h2),①又点P(-2,l)在双曲线C上，所以之一±=1，即a2b2=4炉-a2,②由①②解得a?=2,b2=1,所以双曲线C的方程为9-y2=i.(2)设%),8(*2,丫2)，①当AB斜率不存在时；设AB:x=n,所以y2=9-i,则以+心=震+磊=急=1="=一4,

②当48斜率存在时，设为B:y=/cc+m,联立得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,…第+第=-2m2…第+第=-2m2-2"l-2k292kr1X2+(m-l+2lc)(x1+x2)+47n-4x1x2+2(x1+x2)+4化简得m?+(2-6k)m+8k2—2k-3=0,即(m4-3-4k)(m-2k-1)=0,所以nt=4k—3或m=2k+1,分别过(-4,-3)和(-2,1)舍去，综上，48恒过(—4,-3).【解析】本题考查双曲线方程与几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题.⑴利用点到直线的距离公式得到3a2b2=23+炉)，与专一专=1，联立求解可得双曲线C的方程：(2)当直线AB的斜率不存在时，点A,B关于x轴对称，得出AB:x=-4；当AB斜率存在时，设8:y=kx+m,,联立双曲线方程，利用韦达定理，由h+fc2=1化简得(m+3-4/c)(m-2k—1)=0,所以m=4k—3或m=2k+1,得出定点.44.已知函数/(%)=aex~r-Inx+Ina.(1)当q=e时，求曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)Zl,求a的取值范围.【答案】解：(1)/(x)=ex-Inx+1, f'[x)= -p•k=f'(l)=e—1.v/(l)=e+l,・・切点坐标为(l」+e)，・・函数f(%)在点(1J(l))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(%-1),即y=(e—l)x+2,••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),e-1.♦•所求三角形面积为；x2x|三|=W；L c—1 C-J.(2)解法一1,・•/(%)= —1nx+ina,•・f'(x)=aex~1—且a>0.设g(H)=/(X)，则或h)=8-1+4f>0,•・g(x)在(0,+8)上单调递增，即「(x)在(0,+8)上单调递增，当Q=1时，/(1)=0,当无e(0,1),/(x)<0,/(x)单调递减，当xw(l,+8),『(£)>0,f(%)单调递增，•・/Wmin=/(I)=1，・•・/(%))1成立.当a>l时，!<1，］£t<1，••/'(》/,(l)=a(eH-i)(a-l)<0,.•.存在唯一Xo>o，使得r(Xo)=ae%T一看=0,且当x€(0,々)时/'(为<0,当无g(%(),+8)时/(%)>o,d€x°i——, Inci+Xq-1=-IriXn,因此f(x)min=r(Xo)=aex°-1-lnx0+Ina=}+Ina+%o-1+InaN2Ina—1+2 -x0=2lna4-1>1,当且仅当出=1时，等号成立，•・/(%)>1,.-./(x)>1恒成立；当0VqV1时，f(l)=q+Ina<a<1,・・/(I)<lj(x)>1不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).解法二：/(x)= —in%+Ina=gEa+Ai_］nx+|na>i等价于。巾。+”-14-Ina%—1>Inx+x=elnx+Inx,令g(x)=ex+x,上述不等式等价于g(lna4-x-1)>g(lnx),g'{x)=ex+1>0,g(%)为单调增函数，,・又等价于Ina4-x-1>Inx,即Ina>Inx-%4-1,令h(x)=Inx-x4-1,则/i'(x)=^-1=在(0,1)上"(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+8)上/f(x)v0,/i(x)单调递减，*,h(%)max=八(1)=0,Ina>0,即q>1>•••Q的取值范围是［l,+8).【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，