2023年高考数学一轮复习单元质检卷六：数列（含解析）

单元质检卷六数列（时间：100分钟满分：130分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（2021广东珠海二模）设数列｛a｝是等差数列，S是数列｛a｝的前"项和,戊9=10,£=15,则•&-（）TOC\o"1-5"\h\zA.18 B.30C.36 D.24（2021广西柳州模拟）已知等比数列｛&｝的各项均为正数,若logzw+log晶N,则1。山a=（ ）A.±1 B.±2C.2 D.4（2021江西南昌十中高三月考）在数列｛a“｝中，af,a. •，则&必=（）1~A.-2 B.-1C.2 D」2（2021云南昭通模拟）已知数列｛a｝是等差数列，其前"项和为S,有下列四个命题：甲：518,=0；乙:；丙:aiTFigW）；丁：S91s6力.如果只有一个是假命题,则该命题是（）A.甲 B.乙TOC\o"1-5"\h\zC.丙 D.T（2021安徽安庆模拟）设｛aj是等比数列，前〃项和为S,若—二=:，则一二二（ ）2+4 5 2+4A* B* C.1 D.1（2021河南郑州三模）已知数列｛a｝的前n项和为Sn,且动=1,S产&”-3,若62125,则k的最小值为（）定义一种运算”，对于任意〃GN*均满足以下运算性质：（1）2X2021=1;（2）（2"2席2021=（2〃）021+3,贝IJ2020X2021=（ ）A.3025 B.3028C.4041D.1（2021云南云天化中学高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题:将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列｛a.｝,则此数列的项数为（）A.167 B.168 C.169 D.170（2021云南红河三模）已知数列｛a｝的前n项和为£,且满足SH?+n.若数列［b,,｝满足4=二二则4.505A.505A ・2020D2020D. 2021r2019C. 2020（2021江西上饶三模）南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且数列前〃项和为S,若&qlog2（S+l）-1,则友02尸（）A.4041 B.4043C.4039 D.4037有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：”有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）

D.3D.315（2021浙江绍兴一中高三期末）已知数列｛a.｝与｛4｝满足以a-3*1,6产［2，为偶数，且11,为奇数，国之，则下列结论正确的是（）a>-a\=8四-&i—18｛电您a”｝是等差数列&h｝是等比数列二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.（2021江苏镇江信息考试）各项均为正数的等比数列｛a,J,其公比gWl,且awN,请写出一个符合条件的通项公式a„=.（2021广西桂林模拟）已知数列｛a.｝的前〃项和为S,且S,+2al则.（2021浙江绍兴一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：”今有垣厚若千尺两鼠对穿,大鼠日一尺，小鼠也日一尺,大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何？”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚,S为前〃天两只老鼠打洞长度之和，则&=.（2021四川达州二诊）数列｛a｝满足a=1,a与,ae%a"“-2a,,-3,若该数列中有且仅有三项满足Ka,则实数A的取值范围是.三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（12分）（2021全国乙，理19）记S为数列｛a.｝的前〃项和，4为数列｛£｝的前〃项积.已知」-+--2.（1）证明：数列｛4｝是等差数列；+1,为奇数,++1,为奇数,+2,为偶数.（12分）（2021新高考/,17）已知数列｛a“｝满足ai=l,a.“W（1）记b产女“,写出瓦色并求数列｛4｝的通项公式;⑵求｛&｝的前20项和.（12分）（2021河北衡水中学高三调研）在首项为2的数列｛a｝中，前"项和S“=t/+n（tGR）.（1）求实数t的值及数列｛&｝的通项公式；⑵将①——■——,②+a„,③4之 •a”三个条件任选一个补充在题中，求数列｛4｝的前n项+1和T„.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.（14分）（2021浙江宁波模拟）已知公比q>\的等比数列｛4｝和等差数列⑻满足:西=2,仇，，任心,且32是友和公的等比中项.（1）求数列｛&｝与｛&｝的通项公式；⑵记数列｛a,加的前〃项和为。，若当"GN附，等式（T”4-7；<0恒成立，求实数A的取值范围.答案：D解析：由等差数列的性质得团=中方，,・5书用=15,则53^3,所以等差数列｛4｝的公差d二四f2首项ai=a-2d=T,则《书di/x；0-•d=~6+3024.C解析：由题意得Q0, &X）, 产I，所以Iog2&flog24二log2（a3a9）=log25zz21og256r4,则log28之.B解析：由i一知,4=-1, 32念二-1,…，2:.｛&｝是周期为3的周期数列，而2021=3X673+2,••及02]■=^2=T.4.C解析:设等差数列｛&｝的公差为&若必力,则；35）司,即热力；若317~3i9^0,所以-2dR,即dR;若Sg-Si6=a”，aiB也19力，所以sib^O.又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.5.B解析:设等比数列｛a｝的公比为0,由 =—=可得SgS,整理得a-j+a\(Si+a2),2+4 5所以(a+aj/%(ai9)，解得qW,B解析：S=ai=LS=a〃+i-3=S*i-3,则S,”+33(S,+3),S+3N,所以｛S+3｝是等比数列，首项为4,公比为2,所以S+3司X2"Tq""，$之1-3,由S2"-32125,得后6.所以《的最小值为6.B解析：设a„=(2n)X2021,则由运算性质⑴知团=1,由运算性质⑵知a"*户a0+3,即axa”畤所以数列｛&｝是首项为1,公差为3的等差数列，故2020^2021-(2X1010)X2O21=amo=l+1009X3-3028.C解析：由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以a“=12"Tl,〃CN",由a.W2020,即12/?-11^2020,所以云翳口6吟又〃GN*,所以此数列的项数为169.D解析:5=4万'+力，当〃22时，StN(〃T)2+〃TN//-7"3,则an=SnSn-\=8/7-3(/7^2),当n=\时，功=S节,适合上式,所以44〃-3,TOC\o"1-5"\h\z所以4T2=一2之〃.4 4故। =一!一=1.—!—=1(1--^),+1 2-2(+1) 4 (+1) 1 +1，+，-7_!—二"+—— 0=(1，)人理=幽I2 23 20202021 4 2 2 3 2020 2021 4 2021 4 2021 2021,A解析:因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字和为1,第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比(7-2,所以Sn~ 所以，〃Wlog2（S+l）-1^21og22rt-l=2n-l,所以&02i=2X2021-1-4041.C解析：由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为团,公比为q,前〃项和为S,所以以巧,q2因此前5天所屠肉的总两数为"=空卓=155.故选C.I- 1-2D解析：因为数列｛4｝与｛4｝满足4+1品地目h=（-3）”+1,令/7-1,得bzHi+4也=（-3）'+1=-2,又51=2,Zh~l,&=2,所以或二~6,令77^2,得益4心&XT）?+1=10,又改二~6,&-1,环2所以用阳所以故A错误；令/7=3,得&为必⑸二（-3）泊=-26,又a阳&-1,Z?4=2,所以a二~42,所以劭a=42卅=-36,故B错误；由已知得bln八次一也向2nA=（川）+1,灰〃2，&//4-1,所以选生〃"；弧期I心〃1侬=（-3）"”+1,b2nl=1,bln2所以2期1+期=-3"1+1,两式相减得改柿+：'4X9"所以-+：'：+|R,乙 2+1-2-1所以｛出是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确；由az”“a,”』X9"'得az"-i=ai+（8-&）+（戊-a?）+,•+（也“-\-@2nq之与X（1为4«"为"」）之用xt==：+；x9"T,1-9 4 4由2a2〃-i七2〃之（；+：x9"）+期=3 得出=《x9"4 4 2 2所以a2n坦-改“二Tx9"-—（x9"-|）="X9",所以如川-选〃吆-（期吆-期）=4*9"掰乂9"不是常数，所以｛期，2-期｝不是等差数列,故C错误.2«（答案不唯一）解析:因为以行口,&泡所以又qWl,不妨令g之,所以dfl=3]q1=d5Qn^2X2/；3=2n*.1-（?”解析：当〃=1时,a32a产1,则a《，

当时，Slt^2ari=ntSn-\^lan-\=n-\,两式相减得34-2&-1=1,即 即a-1力(4-1-1),所以数列｛a,「1｝是首项为a/l=g公比为|的等比数列，则 所以&=1-(。y解析：由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,4所以大老鼠前"天打洞长度之和为=r=2"T,同理小老鼠前〃天打洞长度之和为必同理小老鼠前〃天打洞长度之和为必所以Sn=2n-\+2及\玄二2，'1，所以'97+1耳.(1,3]解析：由条件可知为，2-为“之(为“-a)-3,设 则Z?〃+]W〃—3,即-34(4~3),所以数列/厂3｝是公比为2的等比数列，首项6/3%2-3-3=-1,即AT=(T)X2〃,得b"々钟所以为“-&才-2"'.当n=\时，4-&考-12泡/加I,当〃之时，&-4-3-2口>0,4力,当〃23时,国m-a“<0,即为hQ小ai-1,&玛aWa刈am,8=3a-2a一3名，主4&-2a-3=-2,•••,若该数列中有且仅有三项满足久忘为,则1<4^3.(1)证明当n=l时，仇二S,易得打总当〃22时, 二S”代入/1-^2消去S/l9得^ 4L之，化简得bn~bn-\故巾〃｝是以g为首项,g为公差的等差数列.⑵解:易得&=s="总由（1）可得6.1：",由 1 3可得S2一+：.2 +1当时，dn=Sn~Sn-\=~~： -,显然功不满足该式.+1（+1?仔=1.故为N1解：（1）刊+1=2,由bnA=32n^2=32心+1=/〃+2+1=32n+3,得bn+「bn二22n埼一a2n3.所以｛｝是首项为2,公差为3的等差数列，所以6H2+（〃T）X3d〃T.⑵由（1）知,数列｛ ｝的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列｛ ｝的前〃项和为Sn,则£（）=（"9+生夫,•+a9）+的））=10x3+20xS^SOO,所以｛ ｝的前20项和为300.解：（1）令n=lf得S寸+1=2,所以t=\.当〃22时，an=Sn~Sn-\=/f^n~[（n-l）~^（/7-1）]=2/7,动之也适合上式,所以at,=2n.⑵若选①,b,r1+）=2二+]）=7VTI7=-^~--^），TOC\o"1-5"\h\z所以北』（1，+】一 —]（1-!—） .4 2 2 3 +1 4 +1 4+4若选②，4=a+2 之4⑷，所以北二（2闻）*（4M"）—,/（2〃尚”）-（2司―，+2〃）+（4/2六,•4）*4f4心-*乙 1-4 J JJ若选③,6〃之 •&=2〃•4",所以7>2X4'MX42¥6X4：>“+2〃X4",则47>2X42+1X43希X4"""+2"X4”,两式相减得-3北=2X4,+2X4?+2X1+2*4”-2〃X4"”岑产-2〃X4"1型「:1-2〃X4"”,故北将+.X4,20.解：（D设等差数列｛4｝的公差为a由题意得,bzbs=2= 4,所以（1+3加2=（1+加（1+7加，整理可得d-M,解得d=O或d=l.若d=Q则az-Ai-l,可得q—=不合乎题意；若d=\,则32=4=1+3aM,可得9—^