2017博士《现代数学基础》考试复习题1

2017级博士生数学复习题1.判断下面方程的类型并把它化成标准型：4u+5u+u+u+u+2=0.xxxyyyxy证明：因为判别式A=b2-4ac二9〉0,故方程为双曲型。其特征方程为dy=1,其特征方程为dy=1,竺=-dxdy4贝卩dy=dx,dy=才dx,求得特征线是y-c,g=y一x,其中C],c2为任意常数，作变化屮11n=y-^x,I4可将方程化成双曲型第一标准型：u--u--=0劄3n9若再作变换，F=g-n，[t二g+n,方程就可化成双曲型第二标准型u-u-—u+-u+8=0.sstt3s3t92.求初值问题厂/,du.、du(y—u)-+(u一x)=x一y,<dxdyu二0,当xy二1时的解.解：证明：由特征方程dx_dy_du

y-uu-xx-y求得两个相互独立的初积分是x+y+u_c,x2+y2+u2_c因此，全特征线都是一些圆的曲线。我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有x+y=c,x2+y2=c，且xy=l，即12c=x2+y2+2xy=c+2l2故所求积分曲面的隐式解为+y+u》=x2+y2+u2+2写成显式形式为u=1-xyx+y3.证明卷积定理：若3(f(t))=F(①),3(g(t))=G(①)证明：3(f(t)*g(t))=F(®)f(®),3(f(它(t))=+F0)*Gg)证明（1）：根据卷积的定义：f(t)xg(t)=4f(t)g(t—T)dT—g代入傅里叶变换公式F[f(t)]=F(①)=4f(t)e“dt—g可得F[f(t)xg(t)]=J+gJ+gf(t)g(t—t)dt]e-i3tdt—g—g=J+gf(t)[J+gg(t—t)e-i®dt]dt—g—g=J+gf(t)G(3)e-i3tdt=G(3)f+gf(t)e-i3tdt=F(3)G(3)—g・・・f(t)*g(t)=Fg)G(®)证明(2)：—F)*G(®)竹(丄)2卜％购｛我F(u)G(e—u)du]d®TOC\o"1-5"\h\z2兀2兀—g—g所以—F(3)*G(3)㈠(丄)2『+gej(x+u)t[J+gF(u)G(x)du]dx2兀2兀—g—g=(丄)2『+gejxtejut[f+gF(u)G(x)du]dx2兀—g—g=(—!—)2f+gG(x)ejxtdxf+gF(u)ejutdu2兀—g—g=f(t)g(t)・•・f（t）*g（t）二/F（①）G（①）2兀4.叙述MRA的定义。并解释由MRA所确定的数字滤波器的特征。答：MRA是理解和构造小波的基本框架，也是信号在小波基下进行分解与恢复的基本理论保证，无论是理论分析还是在构造、理解和应用小波方面都起着非常重要的作用。利用MRA，可以将一个复杂的函数分解为几个简单的函数分别进行讨论，这时函数由一个粗糙部分和一系列细节部分构成，粗糙部分对应于信号的低频分量，细节部分对应于信号的高频分量。高频分量时分层的，是在不同分辨率下逐级产生的，由多分辨子空间的Riesz基推导出尺度基，再由尺度基产生小波基，这就形成了构造小波的框架。在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器形成对应关系，这就导致了信号分解与恢复的快速算法的实现。”少at円.工m_阳二戸走dnf5.构造SHANNON与HARR小波。并说明与一个尺度函数对应的小波函数是否唯一。（答案只是构造了harr小波）解：haar尺度函数为Q(t)=%「】(t)，计算可得Lo,iJh二h,h二0(k丰0,1)TOC\o"1-5"\h\z012k由于g=(—1)kh，所以k1—k22g=(—1)oh=,g=(—1)1h=,g=0(k0,1)o1—0211—12k因此，haar小波为屮(t)=、.2£g©(2t—k)=©(2t)—©(2t—1)kk=-g=Xz卫)—儿、(t)(0,0.5丿(0.5,1丿'1,0<ty1/2=<—1,1/2<ty1、0,其他Haar小波的图形如下所示：6.用4种颜色制成6颗珠子的项链，可制成多少种？要求有具体的轨道分析过程.

7.证明自然数集合的势等于有理数集合的势证明：对有理数集合QrT表示为三个独立的子集的并：｛｛即何｛-|;|｝｝淇中心:匚力乙且方后叽则Q中的元素0对应于N中的元素0,Q中的任意其他的元素-I自都可以在N中找到唯一的一对元素亦H其对映。于是Q中任意元素都和N中的元素〔对)构成对映关系，根据集合的势的定义有|0冃JV|=XDO证毕◎8.依据实参数«，确定方程Uxx_2""xy—82Uyy+^y+Ux0的类型；(2)将上述方程化为标准形式；(3)求这个方程的通解解：(1)A=a2+3a2二4a2>0当a二0时，为抛物型；当a丰0时，为双曲型；(2)当a=0时，原方程化为：°2u+du-00X2°X当a丰0时，特征方程为(dy)2+2ady-3a2-0dxdx+3a)(dy-a)=0dx即有dy=-3a或dydx=adx3ax+y=C假设g二3ox+y,耳二-ax+y迴=3迴=3a色dxdgdu-a-

dq将其分别代入TOC\o"1-5"\h\zdududu=+—dydgdq列=9a2旦-6a2―dx2dg2dgdqdq2d2ud2ud2ud2u=+2+dy2dg2dgdqdq2旦=3a包+2a空-a旦dxdydg2dgdqdq2u-2au-3a2u+au+u=0xxxyyyyx9a2沁-6a2迪+a2

dg2dgdq匹-2a(3a如dq2dg2+2adu-adgdq沁)-3a2(沁+2迪+匹)+a(並+皿)+曲-a皿=0dq2dg2dgdqdq2dgdqdgdq化为：4a空—dgdqdgdU=0⑶当当丰0时，由諾—鬲dU=0得到:两边对g取积分，则有4au+u=C们)，再对耳取积分且对g，耳的表达式作转换，得到y—axu(x,y)=F(y+3ax)e4a+G(y-ax)当a=0时，方程通解为u=G(y)e-x+F(y)举出这样的函数輕屮丘C2(R)的例子：它们使得定解问题u+5u—6u二0Jxxxyyyu|(x),u二屮(x)Iy=6xyy=6x(a).有解，这解是否唯一？(b).无解。解：A=25+36=61>0，为双曲型方程特征方程为：(字)2—5伴)—6=0dxdx(空-6)(空+1)=0dxdx空=6或吐=-1dxdx—6x+y=Cx+y=C假设:Jg=—6x+y[n=x+y化简得到伽=0u(g,n)=f(E)+g(n)=f(—6x+y)+g(x+y)其中，f(g)、g(n)为任意函数。方程的通解为：u(x,y)=f(—6x+y)+g(x+y)代入边界条件u=f(0)+g(7x)=9(x)y=6xQu-=f'(0)+g'(7x)=7g'(7x)=V(x)cy1y=6xSC+g(7x)科(x)由于[1g(7x)=JV(t)dt70得到：g(7x)=7JxV(t)dt=p(x)+c0若有解，则上述等式成立，可假设申(x)=x2，解得屮(x)=2x，有一个解。若无解，则上述等式不成立，令申(x)=x2,屮(x)=2x设G是一个12阶循环群，其生成元为a,问G有几个循环子群,各是多少阶，各子群的生成元是哪个元素？TOC\o"1-5"\h\z在R3中，E={(x,y)1x2+y2<1}，则E的聚点的全体二，内点的全体二;在R2中，E={(x,y)Ix2+y2<1}，则E的内点的全体二；C［a,b］空间中元素x(t)的范数为IWI二；L2(E)空间中元素的内积为<f,g>=；L2(E)空间中元素x(t)的范数为11x11=。13•定义在L2［0，1］上的下列泛函f(x)是线性泛函的有:①f(x)=J1x2(t)dt:②f(x)=J112x(t2)dt:③f(x)=1；④f(x)=maxx(t)；000<t<1d(x,y)=(x—y)是R上的距离吗？为什么？线性空间Rn的子集合A={x=(x,,x)Ix++x=k}(k为固定常数)是线性1n1n子空间吗？为什么？16・在厶2卜1，1］中，x(t)=t与x(t)=t2正交吗？为什么？S1={(x，x)GR2|X2+X2=1}试证明圆周1212是一个一维拓扑流形。什么是欧几里得空间？举两个欧几里得空间的例子。1-欧几里得空间的定义定义设"足买数域斤上的线性空间，如果卩内任意蘭个向母拈和b都按某一法则对应丁—宜数、记■叭且満足t(1)対称性』即对任意两个向粧6百丘匕有(as&)=(&,a)⑵线性怡即对任盘一亍实数A和衽意三个何燉有(Aa,6)=A(a,b)(a+b,c)=(a，c)+(b.c)⑶正定啊)即材于任盘一个向htaE匕有(o,a)>0,等号成立讦氓仅艸a=0(寒向童).期称(a.b)沟a和bZfiWj内积矩义门诙种内积的实数域R上的线性空刑V称为欧几里(EucLid)空间