高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.1点集与多元函数的概念6.1.2二元函数的极限及连续性6.1多元函数微分的基本概念

第6章多元函数微分学中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.16.1多元函数微分的基本概念6.1.1一般概念

预备知识邻域区域聚点n维空间多元函数概念引例二元函数的定义习例1-4

二元函数的几何意义习例5-7多元函数的定义6.1.2二元函数极限及连续性

多元函数极限二元函数的极限定义例8二元函数极限的计算习例9-12

确定极限不存在的方法例13-16累次极限例17-19多元函数的极限多元函数连续性连续性定义闭区域上连续函数的性质例20-25

小结多元函数微分学的基本概念6.1多元函数微分的基本概念6.1.1一般概念预备知识我们把n元有序实数组(x1

x2

xn)的全体所构成的集合记为Rn即

Rn{(x1

x2

xn)|xiR

i12

n}

x(x1

x2

xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量

xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量

0(00

0)称为Rn中的原点或n维零向量1.n维空间一、预备知识我们把n元有序实数组(x1x2定义数量积/内积定义数量积/内积的距离记作中点a

的

邻域为规定为与零元O的距离为的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为(球邻域)2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点.的外点,E的边界点的全体称为E的边界记作E

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

Rn中点的分类（按位置)

(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.提问

E的内点、外点、边界点是否都必属于E？显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E(2)聚点若对任意给定的,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)Rn中点的分类（按性质)

孤立点(isolatedpoint)(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中(1)内点一定是聚点；注意:(2)边界点可能是聚点；(0,0)既是边界点也是聚点.(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．(0,0)是聚点但不属于集合.边界上的点都是聚点也都属于集合．(1)内点一定是聚点；注意:(2)边界点可能是聚点；(0D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E

E

,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;。。

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;Rn中点集的分类D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称例如，在平面上开区域闭区域例如，在平面上开区域闭区域

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,

界域.否则称为无整个平面点集是开集，是最大的开域,也二.多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式二.多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积定量理想气2.二元函数的定义3.二元函数的定义域(1)使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(2)使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则.2.二元函数的定义3.二元函数的定义域(1)使得算式有例1例2例3例4例1例2例3例4解所求定义域为注意:平面区域通常用字母D表示.例1解所求定义域为注意:平面区域通常用字母D表示.例1解故所求定义域为例2解故所求定义域为例2解例3解例3解例4解例44.二元函数的几何意义一般曲面如图所示4.二元函数的几何意义一般曲面如图所示例5作二元函数的图形．

例6

作二元函数的图形．

例7

作二元函数的图形．

例5作二元函数解

二元函数的图形是空间一平面，其图形如下图所示．例5作二元函数的图形．

解二元函数的图形是空间一平面，其图解

此函数的定义域为面上任意点且

，即曲面上的点都在面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示．例6

作二元函数的图形．

解此函数的定义域为面上任意点且例7

作二元函数的图形．

解

此二元函数的定义域为，即

坐标面上的以为圆心，为半径的圆，且．其图形为上半圆周，如下图所示．

例7作二元函数5.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.n个自变量.n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.5.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.(2)多元函数也有分段函数，如(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.6.多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略)注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-----可借助链式图（分枝图）.多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-----

曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影称为二元函数zf(x,y)的等值线。二元函数的的等值线/等高线曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在x高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件下图下图回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广三.多元函数的极限1.二元函数的极限定义描述性定义三.多元函数的极限1.二元函数的极限定义描述性定义精确定义利用点函数给出的定义精确定义利用点函数给出的定义说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．OxyOxy说明：（1）定义中的方式是任意的

相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.相同点多元函数的极限与一元函数的极限例8依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于是有例8依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻当时,就有

所以当时,就有所以这就证得这就证得2.二元函数极限的计算习例计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化成确定型.2.二元函数极限的计算习例计算二元函数的极限，应用一元函高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件解解原结论成立．原结论成立．解解解由夹逼准则得，解由夹逼准则得，证

(证法一)可知证(证法一)可知故

注意

不要把上面的估计式错写成：因为

的过程只要求即

而并不要求故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求(证法二)

作极坐标变换这时

等价于(对任何).由于

因此，对任何

都有(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理1

的充要条件是：对于D的

任一子集

E,只要仍是

E的聚点,就有3.确定极限不存在的方法推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则也不存在．

下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论3

极限存在的充要条件是：D中任

一满足条件

它所

对应的函数列都收敛．

推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：由上述结论可得确定例15例15解其值随着k的不同而改变.故所求极限不存在.解其值随着k的不同而改变.故所求极限不存在.解如上图所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,解如上图所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时相应的

都趋于0,但这并不表明此函数在

时的极限为0.因为当

(x,y)

沿抛物线

趋于点O时,

将趋于1.所以极限不存在.

相应的都趋于0,但这并不表明此函数在时的极限为0解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使

时,得到两个相异

的极限．例15第一条路径简单地取此时有解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,第二条路径可考虑能使的分子与

分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到这就达到了预期的目的．第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故解:因而此函数定义域则故4.累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋在上面讨论的中,自变量于

与时f的极限,这种极限称为累次极限.定义

它一般与y有关,记作4.累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为

先对后对的类似地可以定义先对y后对x的累次极限:

注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为例17设.由例12知道当时的重极限不存在.但当时,有从而又有同理可得

这说明f的两个累次极限都存在而且相等.例17设.由例12知道当时的重极限不存在.累次极限分别为例18

设,它关于原点的两个

当沿斜率不同的直线时,有

因此该函数的重极限不存在.累次极限分别为例18设,它关于原点的两个例19

设,它关于原点的两

个累次极限都不存在.这是因为对任何时,f

的第二项不存在极限.同理,f的第一项当时也不存在极限.但是由于

故按例11知道时f的重极限存在,且例19设,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2若f(x,y)的重极限与累次极限都存在,则两者必定相等.证设则使得当

时,有下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联的x,存在极限另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式回到不等式(1),让其中,由(3)可得故由(2),(4)两式,证得,即的x,存在极限由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1若重极限和累次极限都存在,则三者必定相等.推论2若累次极限都存在但不相等,则重极限必定不存在.由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1请注意:(i)定理6.1.2保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论.(ii)推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件.

(iii)推论2可被用来否定重极限的存在性(如例17).请注意:(i)定理6.1.2保证了在重极限与一个累5.多元函数的极限利用点函数的形式有n元函数的极限5.多元函数的极限利用点函数的形式有n元函数的极限1.连续性定义四.多元函数的连续性1.连续性定义四.多元函数的连续性高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件寻找间断点的方法函数无定义的点;极限存在但不等于函数在该点的函数值的点等等.例如：极限不存在的点;与一元函数的情况类似寻找间断点的方法函数无定义的点;极限存在但不等于函数在该点例20例21例22证明在全平面连续.例23讨论函数在(0,0)的连续性．例20例21例22证明在全平面连续.例23讨论函数在(由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点.Oxy解直线上说明：多元函数间断点情形比较复杂,多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.例20由分母不能为零,解故点为函数的间断点.例21由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点.Oxy解直线上说明例22证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得例22证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故例23讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例23讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变2.闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理(3)多元连续函数的和、差、积、商、复合函数仍为连续函数.2.闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连(4)多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.(5)一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.(6)(4)多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限解解例24求例25解解例24求例25小结：1.二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来。我们今天就可以用这个思想来求解二元函数的值、定义域、极限和判定连续。2.二元函数作为一个新的概念，和以前的一元函数还是有区别的，比如定义域画成图形是一个平面图形，而一元函数图形的定义域往往是x轴上的区域。小结：1.二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来P63-3:解：P63-3:解：解：解：P63-5.证明下列极限不存在k值不同极限不同!所以，(1)在(0,0)点极限不存在.所以，(2)在(0,0)点极限不存在.P63-5.证明下列极限不存在k值不同极限不同!高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.1点集与多元函数的概念6.1.2二元函数的极限及连续性6.1多元函数微分的基本概念

第6章多元函数微分学中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.16.1多元函数微分的基本概念6.1.1一般概念

预备知识邻域区域聚点n维空间多元函数概念引例二元函数的定义习例1-4

二元函数的几何意义习例5-7多元函数的定义6.1.2二元函数极限及连续性

多元函数极限二元函数的极限定义例8二元函数极限的计算习例9-12

确定极限不存在的方法例13-16累次极限例17-19多元函数的极限多元函数连续性连续性定义闭区域上连续函数的性质例20-25

小结多元函数微分学的基本概念6.1多元函数微分的基本概念6.1.1一般概念预备知识我们把n元有序实数组(x1

x2

xn)的全体所构成的集合记为Rn即

Rn{(x1

x2

xn)|xiR

i12

n}

x(x1

x2

xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量

xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量

0(00

0)称为Rn中的原点或n维零向量1.n维空间一、预备知识我们把n元有序实数组(x1x2定义数量积/内积定义数量积/内积的距离记作中点a

的

邻域为规定为与零元O的距离为的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为(球邻域)2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点.的外点,E的边界点的全体称为E的边界记作E

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

Rn中点的分类（按位置)

(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.提问

E的内点、外点、边界点是否都必属于E？显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E(2)聚点若对任意给定的,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)Rn中点的分类（按性质)

孤立点(isolatedpoint)(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中(1)内点一定是聚点；注意:(2)边界点可能是聚点；(0,0)既是边界点也是聚点.(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．(0,0)是聚点但不属于集合.边界上的点都是聚点也都属于集合．(1)内点一定是聚点；注意:(2)边界点可能是聚点；(0D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E

E

,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;。。

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;Rn中点集的分类D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称例如，在平面上开区域闭区域例如，在平面上开区域闭区域

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,

界域.否则称为无整个平面点集是开集，是最大的开域,也二.多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式二.多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积定量理想气2.二元函数的定义3.二元函数的定义域(1)使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(2)使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则.2.二元函数的定义3.二元函数的定义域(1)使得算式有例1例2例3例4例1例2例3例4解所求定义域为注意:平面区域通常用字母D表示.例1解所求定义域为注意:平面区域通常用字母D表示.例1解故所求定义域为例2解故所求定义域为例2解例3解例3解例4解例44.二元函数的几何意义一般曲面如图所示4.二元函数的几何意义一般曲面如图所示例5作二元函数的图形．

例6

作二元函数的图形．

例7

作二元函数的图形．

例5作二元函数解

二元函数的图形是空间一平面，其图形如下图所示．例5作二元函数的图形．

解二元函数的图形是空间一平面，其图解

此函数的定义域为面上任意点且

，即曲面上的点都在面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示．例6

作二元函数的图形．

解此函数的定义域为面上任意点且例7

作二元函数的图形．

解

此二元函数的定义域为，即

坐标面上的以为圆心，为半径的圆，且．其图形为上半圆周，如下图所示．

例7作二元函数5.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.n个自变量.n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.5.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.(2)多元函数也有分段函数，如(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.6.多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略)注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-----可借助链式图（分枝图）.多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-----

曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影称为二元函数zf(x,y)的等值线。二元函数的的等值线/等高线曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在x高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件下图下图回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广三.多元函数的极限1.二元函数的极限定义描述性定义三.多元函数的极限1.二元函数的极限定义描述性定义精确定义利用点函数给出的定义精确定义利用点函数给出的定义说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．OxyOxy说明：（1）定义中的方式是任意的

相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.相同点多元函数的极限与一元函数的极限例8依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于是有例8依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻当时,就有

所以当时,就有所以这就证得这就证得2.二元函数极限的计算习例计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化成确定型.2.二元函数极限的计算习例计算二元函数的极限，应用一元函高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解课件解解原结论成立．原结论成立．解解解由夹逼准则得，解由夹逼准则得，证

(证法一)可知证(证法一)可知故

注意

不要把上面的估计式错写成：因为

的过程只要求即

而并不要求故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求(证法二)

作极坐标变换这时

等价于(对任何).由于

因此，对任何

都有(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理1

的充要条件是：对于D的

任一子集

E,只要仍是

E的聚点,就有3.确定极限不存在的方法推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则也不存在．

下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论3

极限存在的充要条件是：D中任

一满足条件

它所

对应的函数列都收敛．

推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：由上述结论可得确定例15例15解其值随着k的不同而改变.故所求极限不存在.解其值随着k的不同而改变.故所求极限不存在.解如上图所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,解如上图所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时相应的

都趋于0,但这并不表明此函数在

时的极限为0.因为当

(x,y)

沿抛物线

趋于点O时,

将趋于1.所以极限不存在.

相应的都趋于0,但这并不表明此函数在时的极限为0解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使

时,得到两个相异

的极限．例15第一条路径简单地取此时有解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,第二条路径可考虑能使的分子与

分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到这就达到了预期的目的．第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故解:因而此函数定义域则故4.累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋在上面讨论的中,自变量于

与时f的极限,这种极限称为累次极限.定义

它一般与y有关,记作4.累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为

先对后对的类似地可以定义先对y后对x的累次极限:

注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为例17设.由例12知道当时的重极限不存在.但当时,有从而又有同理可得

这说明f的两个累次极限都存在而且相等.例17设.由例12知道当时的重极限不存在.累次极限分别为例18

设,它关于原点的两个

当沿斜率不同的直线时,有

因此该函数的重极限不存在.累次极限分别为例18设,它关于原点的两个例19

设,它关于原点的两

个累次极限都不存在.这是因为对任何时,f

的第二项不存在极限.同理,f的第一项当时也不存在极限.但是由于

故按例11知道时f的重极限存在,且例19设,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2若f(x,y)的重极限与累次极限都存在,则两者必定相等.证设则使得当

时,有下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联的x,存在极限另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式回到不等式(1),让其中,由(3)可得故由(2),(4)两式,证得,即的x,存在极限由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1若重极限和累次极限都存在,则三者必定相等.推论2若累次极限都存在但不相等,则重极限必定不存在.由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1请