近几年高考理科数学函数题型分类 含详细答案

理科：利用导数求解析式、切线方程、单调区间及极最值：〔05福建理科〕19．函数的图象在点M〔－1，f(x)〕处的切线方程为x+2y+5=0.〔Ⅰ〕求函数y=f(x)的解析式；〔Ⅱ〕求函数y=f(x)的单调区间.解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,(-1)=.∵(x)=,∴即解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去)∴所求函数y=f(x)的解析式是(Ⅱ),令-2x2+12x+6=0,解得x1=,x2=当x<,或x>时,;当<x<时,,所以在(-∞,)内是减函数;在(,)内是增函数;在(,+∞)内是减函数〔05北京理科〕〔15〕〔本小题共13分〕函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,〔I〕求f(x)的单调递减区间；〔=2\*ROMANII〕假设f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：〔I〕令,解得或所以函数的单调递减区间为〔II〕因为所以因为在上,所以在单调递增,又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得故因此即函数在区间上的最小值为〔06山东理科〕〔18〕设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间解：由得函数的定义域为，且〔1〕当时，函数在上单调递减，〔2〕当时，由解得、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.〔06重庆理科〕〔20〕(本小题总分值13分)函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.〔Ⅰ〕假设b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；〔Ⅱ〕假设b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.〔08重庆理科〕〔20〕〔本小题总分值13分.〔Ⅰ〕小问5分.〔Ⅱ〕小问8分.〕设函数曲线y=f(x)通过点〔0，2a+3〕，且在点〔-1，f〔-1〕〕处的切线垂直于y轴.〔Ⅰ〕用a分别表示b和c；〔Ⅱ〕当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.解：(Ⅰ)因为又因为曲线通过点〔0，2a+3〕,故又曲线在〔-1，f(-1)〕处的切线垂直于y轴，故即-2a+b=0,因此b=2a(Ⅱ)由(Ⅰ)得故当时，取得最小值-.此时有从而所以令，解得 当当当由此可见，函数的单调递减区间为〔-∞，-2〕和〔2，+∞〕；单调递增区间为〔-2，2〕.〔08北京理科〕18．〔本小题共13分〕函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．〔07天津理科〕20．〔本小题总分值12分〕函数，其中．〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕当时，求函数的单调区间与极值．〔Ⅰ〕解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．〔Ⅱ〕解：．由于，以下分两种情况讨论．〔1〕当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．〔2〕当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．〔08广东理科〕19．〔本小题总分值14分〕设，函数，，，试讨论函数的单调性．解：，对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。〔08宁夏理科〕21、〔本小题总分值12分〕设函数，曲线在点处的切线方程为。求的解析式；证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。解：〔Ⅰ〕，于是解得或因，故．〔Ⅱ〕证明：函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．〔Ⅲ〕证明：在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令得，切线与直线交点为．令得，切线与直线交点为．直线与直线的交点为．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值．〔09安徽理科〕〔19〕〔本小题总分值12分〕函数，讨论的单调性.、解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.〔09天津理科〕〔20〕〔本小题总分值12分〕函数其中〔Ⅰ〕当时，求曲线处的切线的斜率；〔Ⅱ〕当时，求函数的单调区间与极值。〔20〕本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。总分值12分。〔=1\*ROMANI〕解：〔=2\*ROMANII〕以下分两种情况讨论。〔1〕＞，那么＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗〔2〕＜，那么＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗〔09重庆理科〕18．〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕问5分，〔Ⅱ〕问8分〕设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设函数，讨论的单调性解〔Ⅰ〕因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在〔1，f〔1〕〕处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，令〔1〕当〔2〕当K=1时，g〔x〕在R上为增函数〔3〕方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数利用导数及其性质解决恒成立问题：〔06湖北理科〕21.〔本小题总分值14分〕设是函数的一个极值点.〔Ⅰ〕求与的关系式〔用表示〕，并求的单调区间；〔Ⅱ〕设，.假设存在使得成解：〔Ⅰ〕f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a那么f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，那么在区间〔－∞，3〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间〔3，―a―1〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间〔―a―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数。当a>－4时，x2<3＝x1，那么在区间〔－∞，―a―1〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间〔―a―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数。〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a>0时，f(x)在区间〔0，3〕上的单调递增，在区间〔3，4〕上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f(4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f(3)＝那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－〔2a＋3〕e3，a又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只须仅须〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是〔0，〕。〔07山东理科〕(22)(本小题总分值14分)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；〔Ⅱ〕求函数f(x)的极值点；〔Ⅲ〕证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.解：〔Ⅰ〕由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．〔Ⅱ〕①由〔Ⅰ〕得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．〔Ⅲ〕当时，函数，令函数，那么．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，那么有．所以结论成立．〔08湖南理科〕21.〔本小题总分值13分〕函数f(x)=ln2(1+x)－.〔Ⅰ〕求函数f(x)的单调区间;〔Ⅱ〕假设不等式对任意的都成立〔其中e是自然对数的底数〕.求的最大值.解:〔Ⅰ〕函数的定义域是，设那么令那么当时，在〔-1，0〕上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在〔-1，0〕上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为〔-1，0〕，单调递减区间为.〔Ⅱ〕不等式等价于不等式由知，设那么由〔Ⅰ〕知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G〔x〕在上的最小值为所以a的最大值为利用导数及函数知识解决含参数、求范围问题：〔05山东理科〕〔19〕〔本小题总分值12分〕是函数的一个极值点，其中，〔I〕求与的关系式；〔II〕求的单调区间；〔III〕当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解：(I)∵是函数的一个极值点∴,即∴〔II〕由〔I〕知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.〔III〕解法一：由得，即∵∴即①设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，∴解之得又所以即的取值范围为解法二：由，得>3，即3(－1)［－(1+)］>3∵<0∴(－1)［－(1+)］<1 (*)1°=1时，(*)化为0<1恒成立，∴<02°≠1时，∵［－1,1］，∴－2≤－1<0(*)式化为<(－1)－令=－1，那么［－2,0)，记，那么在区间［－2,0)是单调增函数∴由(*)式恒成立，必有，又<0，那么综合1°、2°得〔05湖北理〕17．〔本小题总分值12分〕 向量在区间〔－1，1〕上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间〔－1，1〕上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，〔05全国三理科〕〔22〕函数①求的单调区间和值域。②设,函数,假设对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围。解：对函数求导，得令解得或当变化时，、的变化情况如下表：x00所以，当时，是减函数；当时，是增函数；当时，的值域为〔Ⅱ〕对函数求导，得因此，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又，，即当时有任给，，存在使得，那么即解式得或解式得又，故：的取值范围为〔05全国一理科〕〔21〕〔本大题总分值12分〕函数f〔x〕=设a>0,讨论y=f(x)的单调性;假设对任意的x(0,1),恒有f(x)>1,求a的取值范围.〔06江西理科〕17、〔本小题总分值12分〕函数f〔x〕＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值求a、b的值与函数f〔x〕的单调区间假设对x〔－1，2〕，不等式f〔x〕c2恒成立，求c的取值范围。解：〔1〕f〔x〕＝x3＋ax2＋bx＋c，f〔x〕＝3x2＋2ax＋b由f〔〕＝，f〔1〕＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f〔x〕＝3x2－x－2＝〔3x＋2〕〔x－1〕，函数f〔x〕的单调区间如下表：x〔－，－〕－〔－，1〕1〔1，＋〕f〔x〕＋0－0＋f〔x〕极大值极小值所以函数f〔x〕的递增区间是〔－，－〕与〔1，＋〕递减区间是〔－，1〕〔2〕f〔x〕＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f〔x〕＝＋c为极大值，而f〔2〕＝2＋c，那么f〔2〕＝2＋c为最大值。要使f〔x〕c2〔x〔－1，2〕〕恒成立，只需c2f解得c－1或c2〔06全国二理科〕〔20〕〔本小题１２分〕设函数假设对所有的都有成立，求实数的取值范围。解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是〔－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……6分当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，……9分所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是〔－∞，1]．……12分〔06广东理科〕18、(此题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(=1\*ROMANI)求点的坐标；(=2\*ROMANII)求动点的轨迹方程.解:(Ⅰ)令解得当时,,当时,,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,点A、B的坐标为.(Ⅱ)设，，，所以，又PQ的中点在上，所以消去得〔07宁夏理科〕21．〔本小题总分值12分〕设函数〔=1\*ROMANI〕假设当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；〔=2\*ROMANII〕假设存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．〔07福建理科〕〔22〕〔本小题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕假设，试确定函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；〔Ⅲ〕设函数，求证：．解：〔Ⅰ〕由得，所以． 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是． 〔Ⅱ〕由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．〔Ⅲ〕，，，由此得，故．〔07全国一理科〕〔20〕〔本小题总分值12分〕设函数．〔Ⅰ〕证明：的导数；〔Ⅱ〕假设对所有都有，求的取值范围．〔07上海理科〕19．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分．函数，常数．〔1〕讨论函数的奇偶性，并说明理由；〔2〕假设函数在上为增函数，求的取值范围．〔07重庆理科〕20〔本小题总分值13分，其中〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕小问分别为6、4、3分〕 函数在处取得极值，其中a、b为常数. 〔Ⅰ〕试确定a、b的值； 〔Ⅱ〕讨论函数的单调区间； 〔Ⅲ〕假设对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解：〔I〕由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意，因此，解得．〔II〕由〔I〕知〔〕，令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．〔III〕由〔II〕知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使〔〕恒成立，只需．即，从而，解得或．所以的取值范围为．〔08安徽理科〕〔20〕．〔本小题总分值12分〕设函数〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕对任意成立，求实数的取值范围。解(1)假设那么列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即〔08全国二理科〕22．〔本小题总分值12分〕设函数．〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕如果对任何，都有，求的取值范围．．解：〔Ⅰ〕． 2分当〔〕时，，即；当〔〕时，，即．因此在每一个区间〔〕是增函数，在每一个区间〔〕是减函数． 6分〔Ⅱ〕令，那么．故当时，．又，所以当时，，即． 9分当时，令，那么．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是． 12分〔08全国一理科〕19．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕函数，．〔Ⅰ〕讨论函数的单调区间；〔Ⅱ〕设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解析：〔Ⅰ〕证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；〔Ⅱ〕证明：〔用数学归纳法〕〔i〕当n=1时，，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，那么在区间是增函数，，即成立；〔ⅱ〕假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，那么，，也就是说当时，也成立；根据〔ⅰ〕、〔ⅱ〕可得对任意的正整数，恒成立.〔Ⅲ〕证明：由．可得假设存在某满足，那么由⑵知：假设对任意都有，那么，即成立.〔08陕西理科〕21．〔本小题总分值12分〕函数〔且，〕恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．〔Ⅰ〕求函数的另一个极值点；〔Ⅱ〕求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．解：〔Ⅰ〕，由题意知，即得，〔*〕，．由得，由韦达定理知另一个极值点为〔或〕．〔Ⅱ〕由〔*〕式得，即．当时，；当时，．〔i〕当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．〔ii〕当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．〔08上海理科〕19．〔此题总分值16分〕此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值8分.函数。假设，求的值；假设+≥0对于恒成立，求实数的取值范围。[解]〔1〕当时，；当时，.……2分由条件可知，即，解得.……6分，.……8分〔2〕当时，，……10分即.，.……13分，故的取值范围是.……16分〔08天津理科〕〔20〕〔本小题总分值12分〕函数，其中.〔Ⅰ〕假设曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；〔Ⅱ〕讨论函数的单调性；〔Ⅲ〕假设对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.〔Ⅰ〕解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．〔Ⅱ〕解：．当时，显然〔〕．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．〔08浙江理科〕〔21〕〔此题15分〕是实数，函数。〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕设为在区间上的最小值。〔i〕写出的表达式；〔ii〕求的取值范围，使得。〔09北京理科〕18．〔本小题共13分〕设函数〔Ⅰ〕求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕假设函数在区间内单调递增，求的取值范围.〔09陕西理科〕20．〔本小题总分值12分〕函数，其中假设在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；〔Ⅲ〕假设的最小值为1，求a的取值范围。解〔Ⅰ〕∵在x=1处取得极值，∴解得〔Ⅱ〕∵∴=1\*GB3①当时，在区间∴的单调增区间为=2\*GB3②当时，由∴〔Ⅲ〕当时，由〔Ⅱ〕=1\*GB3①知，当时，由〔Ⅱ〕=2\*GB3②知，在处取得最小值综上可知，假设得最小值为1，那么a的取值范围是〔09四川理科〕21.〔本小题总分值12分〕函数。〔=1\*ROMANI〕求函数的定义域，并判断的单调性；〔=2\*ROMANII〕假设〔=3\*ROMANIII〕当〔为自然对数的底数〕时，设，假设函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值解：〔Ⅰ〕由题意知当当当….〔4分〕〔Ⅱ〕因为由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.所以〔Ⅲ〕令当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+↗极大值↘极小值↗的极大值为，的极小值为当时，在定义域内有一个实根，同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为二次函数性质及图像考察：〔07陕西理科〕20.(本小题总分值12分)设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)假设f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间不等式证明问题：〔05江西理科〕17．〔本小题总分值12分〕函数〔a，b为常数〕且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.〔1〕求函数f(x)的解析式；〔2〕设k>1，解关于x的不等式；【正确解答】〔1〕将得〔2〕不等式即为即①当②当③.〔06湖北理科〕20．〔本小题总分值13分〕定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．〔I〕用表示，并求的最大值；〔II〕求证：〔〕．〔06湖北理科〕21.〔本小题总分值14分〕设是函数的一个极值点.〔Ⅰ〕求与的关系式〔用表示〕，并求的单调区间；解：〔Ⅰ〕f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a那么f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，那么在区间〔－∞，3〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间〔3，―a―1〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间〔―a―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数。当a>－4时，x2<3＝x1，那么在区间〔－∞，―a―1〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间〔―a―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数。〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a>0时，f(x)在区间〔0，3〕上的单调递增，在区间〔3，4〕上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f(4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f(3)＝那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－〔2a＋3〕e3，a又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只须仅须〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是〔0，〕。〔06重庆理科〕(21)(本小题总分值12分)定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.〔Ⅰ〕假设f(2)-3,求f(1);又假设f(0)=a,求f(a);〔Ⅱ〕设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.〔07宁夏理科〕22．Ｃ〔本小题总分值10分〕选修；不等式选讲设函数．〔=1\*ROMANI〕解不等式；〔=2\*ROMANII〕求函数的最小值．〔07辽宁理科〕22．〔本小题总分值12分〕函数，．〔I〕证明：当时，在上是增函数；〔II〕对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数；〔III〕证明：．〔07安徽理科〕(18)(本小题总分值14分)设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，讨论F〔x〕在〔0.＋∞〕内的单调性并求极值；〔Ⅱ〕求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋〔Ⅰ〕解：根据求导法那么有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．〔Ⅱ〕证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．〔07江西理科〕17．〔本小题总分值12分〕函数在区间内连续，且．〔1〕求实数和的值；〔2〕解不等式．．解：〔1〕因为，所以，由，即，．又因为在处连续，所以，即．〔2〕由〔1〕得：由得，当时，解得．当时，解得，所以的解集为．〔07全国二理科〕22．〔本小题总分值12分〕函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．〔07浙江理科〕〔22〕〔此题15分〕设，对任意实数，记〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕求证：〔ⅰ〕当时，对任意正实数成立；〔ⅱ〕有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。〔I〕解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．〔II〕证明：〔i〕方法一：令，那么，当时，由，得，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，那么，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．〔ii〕方法一：．由〔i〕得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由〔i〕得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即， ①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．〔08辽宁理科〕22．〔本小题总分值14分〕设函数．〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间和极值；〔Ⅱ〕是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为〔0，+〕？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，试说明理由．22.设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?假设存在,求的取值范围;假设不存在,试说明理由.说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等根底知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．总分值14分．解析：〔Ⅰ〕． 2分故当时，，时，．所以在单调递增，在单调递减． 4分由此知在的极大值为，没有极小值． 6分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕当时，由于，故关于的不等式的解集为． 10分〔ⅱ〕当时，由知，其中为正整数，且有． 12分又时，．且．取整数满足，，且，那么，即当时，关于的不等式的解集不是．综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 14分〔08山东理科〕〔21〕〔本小题总分值12分〕函数其中n∈N*,a为常数.〔Ⅰ〕当n=2时，求函数f(x)的极值；〔Ⅱ〕当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.21．〔Ⅰ〕解：由得函数的定义域为，当时，，所以．〔1〕当时，由得，，此时．当时，，单调递减；当时，，单调递增．〔2〕当时，恒成立，所以无极值．综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．当时，无极值．〔Ⅱ〕证法一：因为，所以．当为偶数时，令，那么〔〕．所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立．当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，那么〔〕，所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当时，．当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．令，，那么，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．故当时，有．即．〔09江西理科〕17．〔本小题总分值12分〕设函数求函数的单调区间；假设，求不等式的解集．解：(1),由,得.因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.由,得：.故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：.〔09辽宁海南理科〕〔21〕〔本小题总分值12分〕函数〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕证明：假设，那么对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分〔i〕假设即,那么故在单调增加。(ii)假设,而,故,那么当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)假设,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数那么由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分〔09全国一理科〕22.本小题总分值12分。〔注意：在试题卷上作答无效〕设函数在两个极值点，且〔I〕求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：〔09全国二理科〕22.(本小题总分值12分)设函数有两个极值点，且〔I〕求的取值范围，并讨论的单调性；〔II〕证明：〔09江苏理科〕20．(本小题总分值16分)设为实数，函数.假设，求的取值范围；求的最小值；设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】〔1〕假设，那么〔2〕当时，当时，综上(3)时，得，当时，；当时，得1〕时，2〕时，3〕时，极值、交点、零点个数问题：〔05重庆理科〕19．〔本小题总分值13分〕 ，讨论函数的极值点的个数.〔1〕当xx1+0－0+为极大值为极小值即此时有两个极值点.〔2〕当有两个相同的实根于是无极值.〔3〕答〔20〕图1为增函数，此时无极值.因此当无极值点.答〔20〕图1〔06浙江理科〕〔16〕设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在〔0，1〕内有两个实根.证明：〔=1\*ROMANI〕因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.〔=2\*ROMANII〕抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.〔06福建理科〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数 〔I〕求在区间上的最大值 〔II〕是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由。 解：〔I〕 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上， 〔II〕函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为〔08四川理科〕22．〔本小题总分值14分〕是函数的一个极值点。〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕假设直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．〔Ⅰ〕是函数的一个极值点．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，令，得，．和随的变化情况如下：1300增极大值减极小值增的增区间是，；减区间是．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．∴，．又时，；时，；可据此画出函数的草图〔图略〕，由图可知，当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．〔09广东理科〕20．〔本小题总分值14分〕二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．〔1〕假设曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；〔2〕如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解：〔1〕依题可设()，那么；又的图像与直线平行，，设，那么当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得〔2〕由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，假设，，函数有两个零点，即；假设，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或〔〕时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.实际应用问题：〔06福建理科〕〔19〕〔本小题总分值12分〕 统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量〔升〕关于行驶速度〔千米/小时〕的函数解析式可以表示为：甲、乙两地相距100千米。 〔I〕当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 〔II〕当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？〔07福建理科〕〔19〕〔本小题总分值12分〕某分公司经销某种品牌产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交a元〔3a5〕的管理费，预计当每件产品的售价为x元〔9x11〕时，一年的销售量为〔12－x〕2万件。〔1〕求分公司一年的利润L〔万元〕与每件产品的售价x的函数关系式；〔2〕当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q〔a〕。〔07北京理科〕19．〔本小题共13分〕如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，方案将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．〔=1\*ROMANI〕求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；〔=2\*ROMANII〕求面积的最大值．与数列、三角函数综合问题：〔05天津理科〕〔22〕〔本小题总分值14分〕设函数.〔Ⅰ〕证明,其中为k为整数；〔Ⅱ〕设为的一个极值点，证明；〔Ⅲ〕设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明〔06天津理科〕20、〔此题总分值12分〕函数，其中为参数，且．〔1〕当时，判断函数是否有极值；〔2〕要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；〔3〕假设对〔2〕中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．〔06广东理科〕20.〔本小题总分值14分〕a是实数，函数如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.〔07四川理科〕(22)(本小题总分值14分)设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?假设存在,试证明你的结论并求出a的值;假设不存在,请说明理由.〔07江苏理科〕19、〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，〔1〕假设，求的值；〔5分〕〔2〕假设为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；〔5分〕〔08福建理科〕〔19〕〔本小题总分值12分〕函数.〔Ⅰ〕设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.假设点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点〔n,Sn〕也在y=f′(x)的图象上；〔Ⅱ〕求函数f(x)在区间〔a-1,a〕内的极值.〔08全国一理科〕22．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕设函数．数列满足，．〔Ⅰ〕证明：函数在区间是增函数；〔Ⅱ〕证明：；〔Ⅲ〕设，整数．证明：．〔06广东理科〕20、(此题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：=1\*GB3①对任意的，都有；=2\*GB3②存在常数，使得对任意的，都有.(=1\*ROMANI)设，证明：(=2\*ROMANII)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(=3\*ROMANIII)设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式创新、复杂题型：〔05北京理科〕〔20〕〔本小题共14分〕设f(x)是定义在[0,1]上的函数，假设存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，那么称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．〔=1\*ROMANI〕证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，假设f(x1)≥f(x2)，那么(0，x2)为含峰区间；假设f(x1)≤f(x2)，那么(x*，1)为含峰区间；〔=2\*ROMANII〕对给定的r〔0＜r＜0.5〕，证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由〔I〕所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；〔=3\*ROMANIII〕选取x1，x2∈(0,1)，x1＜x2，由〔=1\*ROMANI〕可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.〔区间长度等于区间的右端点与左端点之差〕〔05上海理〕21．(此题总分值16分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)·g(x)当x∈Df且x∈Dg规定:函数h(x)=f(x)当x∈Df且xDgg(x)当xDf且x∈Dg假设函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)假设g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.〔05河北理科〕〔22〕〔本大题总分值12分〕〔Ⅰ〕设函数，求的最小值；〔Ⅱ〕设正数满足，证明 〔05辽宁理科〕22．〔本小题总分值12分〕 函数在区间〔0，+∞〕内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点〔〕得的切线方程，并设函数〔Ⅰ〕用、、表示m；〔Ⅱ〕证明：当；〔Ⅲ〕假设关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.〔06江西理科〕19、〔本小题总分值12分〕如图，△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝〔〕试将△AGM、△AGN的面积〔分别记为S1与S2〕表示为的函数求y＝的最大值与最小值〔06江西理科〕21.〔本小题总分值12分函数其中是以为公差的等差数列，且，设为的极小值点，在上，在处取得最大值，在处取得最小值.将点依次记为。〔1〕求的值〔2〕假设有一条边平行于轴，且面积为，求的值〔06江西理科〕22.〔本小题总分值12分其中设〔1〕写出〔2〕证明：对于任意的恒有〔06上海理科〕20．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总