函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（解析版）

函数y＝Asin（ωx+φ）的图象一、单选题（共13小题）1.要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：D．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换2.已知函数f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0），其图象的相邻两条对称轴间的距离为，且满足f（﹣+x）＝f（﹣﹣x），则f（x）的解析式为（）A．3cos（2x﹣） B．3cos（2x﹣） C．3cos（x﹣） D．3cos（x﹣）【答案】B【分析】由题意可得函数的最小正周期T，再由T和ω的关系求出ω的值，再由题意可得函数的一条对称轴，可得φ的值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可得函数的最小正周期T＝2＝π，而T＝，所以ω＝2，所以f（x）＝3cos（2x+φ），又因为f（﹣+x）＝f（﹣﹣x），所以对称性x＝﹣，所以2•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，﹣π＜φ＜0，所以φ＝﹣，所以f（x）＝3cos（2x﹣），故选：B．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式3.将函数f（x）＝cos（x﹣）的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y＝cos（x+） B．y＝cos（x﹣） C．y＝﹣sin D．y＝sin（+）【答案】B【分析】利用三角函数的周期公式可求函数的最小正周期为6π，进而根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝cos（x﹣）的最小正周期为6π，所以将函数f（x）＝cos（x﹣）的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数解析式为y＝f（x﹣2π）＝cos（﹣）．故选：B．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换4.将函数f（x）＝2sin（x+）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2sinx B．g（x）＝2sin（x+） C．g（x）＝2sin（2x﹣） D．g（x）＝2sin（2x+）【答案】B【分析】根据函数图象的伸缩和平移变换法则求解即可．【解答】解：f（x）＝2sin（x+）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（x+），再将其向左平移个单位长度，得到g（x）＝2sin[（x+）+]＝2sin（x+）．故选：B．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换5.为得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】由条件利用诱导公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y＝cos[2（x﹣）+]＝cos（2x﹣）＝sin2x的图象，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换6.函数f（x）＝3sin（π+x）﹣cos2x+3在上的最小值为（）A．﹣1 B． C． D．1【答案】C【分析】先化简f（x），然后根据x的范围得到sinx的范围，再结合二次函数的性质，求出f（x）的最值．【解答】解：f（x）＝3sin（π+x）﹣cos2x+3＝﹣3sinx﹣1+2sin2x+3＝2sin2x﹣3sinx+2＝，∵x∈，∴sinx∈[﹣1，1]，∴当时，．故选：C．【知识点】三角函数的最值7.已知函数f（x）＝2sinxcosx+2sin2x﹣，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数g（x）的关系式，最后求出函数的最值．【解答】解：由题意得数f（x）＝2sinxcosx+2sin2x﹣，＝sin2x﹣，＝，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数：，再将函数y＝2sin2x向上平移1个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝2sin2x+1，所以当x＝k（k∈Z）时，g（x）max＝3，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数中的恒等变换应用8.若将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：函数f（x）＝sin2x图象向左平移个单位得到：g（x）＝sin[2（x+）]＝sin（2x+），令：2x+＝kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ﹣，（k∈Z），当k＝1时，x＝，可得平移后图象的一个对称中心可以为．故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.将函数y＝sin3x的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）A．y＝sin（3x+） B．y＝sin（3x+） C．y＝sin（3x﹣） D．y＝sin（3x﹣）【答案】D【分析】根据三角函数的图象平移关系进行求解即可．【解答】解：函数y＝sin3x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin3（x﹣）＝sin（3x﹣），即所得的函数解析式是y＝sin（3x﹣）．故选：D．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦函数的单调性，即可求得单调递增区间．【解答】解：由，得，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．【知识点】三角函数的最值11.为了得到函数y＝sinx﹣cosx（x∈R）的图象，可以将函数y＝2sinx（x∈R）的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【分析】函数y＝sinx﹣cosx通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣）∵函数y＝2sin（x﹣）＝sin（x﹣），故要得到函数y＝sinx﹣cosx图象，只需将函数y＝2sinx的图象向右平移个单位长度即可，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换12.已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），若f（x+）＝f（﹣x），f（x﹣）＝﹣f（﹣x），则ω，φ的值不可能是（）A．ω＝6，φ＝π B．ω＝2，φ＝ C．ω＝﹣2，φ＝ D．ω＝4，φ＝【答案】D【分析】由已知可得f（x）的图象关于直线x＝对称，关于点（﹣，0）对称，可得（k1，k2∈Z），对k1，k2赋值，逐项验证即可得结论．【解答】解：由f（x+）＝f（﹣x），可知f（x）的图象关于直线x＝对称，由f（x﹣）＝﹣f（﹣x），可知f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，于是，所以（k1，k2∈Z），因为ω＝2+4（k1﹣k2）＝2[1+2（k1﹣k2）]，其中1+2（k1﹣k2）是奇数，所以ω不可能为4，且当k1＝1，k2＝0时，ω＝6，φ＝π，当k1＝1，k2＝1时，ω＝2，φ＝；当k1＝0，k2＝1时，ω＝﹣2，φ＝．故选：D．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式13.已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间是单调函数，若，且．将曲线y＝f（x）向右平移1个单位长度，得到曲线y＝g（x），则函数y＝xg（x）﹣2在区间[﹣4，4]上的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用和函数解析式，即可得到，再利用单调性即可作出函数f（x）的简图，易得函数f（x）的解析式，然后利用图象变换求出g（x）的解析式，再将函数y＝xg（x）﹣2在区间[﹣4，4]上的零点个数转化为两个函数图象的交点个数，作出简图判断即可．【解答】解：因为f（x）＝2sin（ωx+φ），又，所以f（x）max＝2，故，所以为波峰（也是对称点），又f（x）＝2sin（x+φ）（ω＞0）在区间是单调函数，所以且上也一定单调，所以f（0）＝f（1），则，故，作出简图如图所示，由图易知，因为将曲线y＝f（x）向右平移1个单位长度，得到曲线y＝g（x），则，所以函数y＝xg（x）﹣2的零点个数，即函数y＝g（x）的图象与的交点的个数，即函数的图象与图象的交点个数，作出简图，故函数的图象与图象的交点个数为5个，所以函数y＝xg（x）﹣2在区间[﹣4，4]上的零点个数为5个．故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换二、填空题（共10小题）14.设函数f（x）＝3sin（2x﹣）﹣1，则f（x）在上的最大值为．【答案】2【分析】由已知可求范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，可得f（x）max＝3×1﹣1＝2．故答案为：2．【知识点】三角函数的最值15.函数f（x）＝tanx在上的最大值为．【答案】1【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解函数f（x）＝tanx在上的最大值．【解答】解：∵函数f（x）在上单调递增，∴当x＝时，函数f（x）取得最大值为．故答案为：1【知识点】三角函数的最值、正切函数的图象16.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为．【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、T和ω、φ的值，即可写出f（x）的解析式．【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝1，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；又f（）＝sin（2×+φ）＝1，+φ＝+2kπ，k∈Z；φ＝+2kπ，k∈Z；所以f（x）＝sin（2x++2kπ）＝sin（2x+）．即f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）．故答案为：f（x）＝sin（2x+）．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式17.函数f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1的最小正周期是，最大值是．【分析】利用两角差的正弦公式化简函数解析式为f（x）＝sin（x﹣θ）﹣1，其中tanθ＝2，进而根据正弦函数的性质即可求解．【解答】解：f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1＝sin（x﹣θ）﹣1，其中tanθ＝2，可得f（x）的最小正周期T＝＝2π，最大值为﹣1．故答案为：2π，﹣1．【知识点】三角函数的最值、三角函数的周期性18.将函数y＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝．【分析】先求出平移后的函数的解析式，然后根据正弦函数的对称性即可求解．【解答】解：函数向左平移个单位后所得函数的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），因为函数f（x）关于原点对称，则+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，k∈Z，所以sin2φ＝sin（2kπ﹣）＝﹣，（k∈Z），故答案为：﹣．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换19.已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为．【答案】5【分析】由已知可得sin（ω﹣）＝1，利用正弦函数的性质可得ω﹣＝+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．【知识点】三角函数的最值20.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是．①g（x）的最小正周期为π；②g（x）在区间上单调递减；③不是函数g（x）图象的对称轴；④g（x）在上的最小值为．【答案】①③④【分析】由题意利用函数y＝cos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x++）＝cos（2x+）的图象，故g（x）的最小正周期为＝π，故①正确；当x∈，2x+∈[，]，函数g（x）没有单调性，故②错误；令x＝，求得g（x）＝0，故不是函数g（x）图象的对称轴，故③正确；当x∈[﹣，]，2x+∈[0，]，当2x+＝时，g（x）取得最小值为﹣，故④正确，故答案为：①③④．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换21.将函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调递减函数，则实数ω的最大值为．【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数ω的最大值．【解答】解：将函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）＝cos（ωx+）的图象，若函数g（x）在区间上是单调递减函数，则由x∈，可得ωx+∈[，+]，∴＞0，且+≤π，∴0＜ω≤，则实数ω的最大值为．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换22.将函数f（x）＝cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）在区间[﹣，]上的值域为．【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[﹣，]上的值域．【解答】解：将函数f（x）＝cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y＝cos（2x﹣）的图象；再把得到的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象．当x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，cos（2x+）∈[﹣，1]，则g（x）在区间[﹣，]上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换23.函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，给出以下结论：①f（x）的最小正周期为2；②f（x）的一条对称轴为；③f（x）在，上单调递减；④f（x）的最大值为A．则错误的结论为．【答案】②④【分析】根据图象判断函数的解析式f（x）＝Acos（ωx+φ），结合三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：由图象可知，函数的最小正周期为T＝2×（﹣）＝2，故①正确，由图知，左侧第一个零点为：﹣1＝﹣，所以对称轴为x＝+＝﹣+k（k∈Z），所以x＝﹣不是对称轴，故②不正确，ω＝＝π，又因为f（x）过（，0）点，所以Acos（π×+φ）＝0，解得+φ＝+kπ，即φ＝+kπ，（k∈Z），所以f（x）＝Acos（πx++kπ），由图可知﹣+kT≤x≤++kT，即2k﹣≤x≤2k+（k∈Z）时，函数f（x）是减函数，所以③正确，因为A正负不定，所以④不正确．故答案为：②④．【知识点】命题的真假判断与应用、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、余弦函数的图象三、解答题（共7小题）24.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）的单调减区间．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合周期公式，最值性质进行求解即可．（2）结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）＝2cosxsinx+1＝1+sin2x，则周期T＝＝π，当sin2x＝1时，函数取得最大值为1+1＝2；（2）由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数f（x）的单调递减区间为．【知识点】三角函数的周期性、三角函数的最值、正弦函数的单调性25.已知f（x）＝2sin（﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f（x）取得最大值；（2）求函数f（x）在[﹣2π，2π]上的单调增区间；（3）若x∈[0，2π]，求f（x）值域．【分析】（1）根据三角函数的周期公式以及最值性质进行求解即可；（2）求出函数的单调递增，结合角的范围进行求解；（3）求出角的范围，结合函数的值域和单调性的关系进行求解．【解答】解：（1），当2sin（﹣）＝2，即，即x＝π+4kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2．（2）令2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，k∈Z，得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，设A＝[﹣2π，2π]，B＝[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z，所以A∩B＝[﹣，]，即函数f（x）在[﹣2π，2π]上的单调增区间为[﹣，]；（3）由x∈[0，2π]，得﹣∈[﹣，]，根据正弦函数图象可知sin（﹣）∈[﹣，1]．2sin（﹣）∈[﹣，2]．所以f（x）的值域为[﹣，2]．【知识点】三角函数的最值、正弦函数的单调性26.已知函数f（x）＝sin（x﹣）﹣2，将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）求函数g（x）在上的最大值和最小值．【分析】（1）根据三角函数的图象变换关系，求出函数的解析式即可．（2）求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（1）将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，得到y＝sin（2x﹣）﹣2，再向左平移个单位，得y＝sin[2（x+）﹣]﹣2＝sin（2x+）﹣2，再向上平移2个单位，由题意得．（2）∵，可得，∴．当时，函数g（x）有最大值1；当时，函数g（x）有最小值．【知识点】三角函数的最值、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换27.已知函数的图象过点．（1）求函数f（x）的解析式，并求出f（x）的最大值、最小值及对应的x的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）将点的坐标代入f（x），取出φ的值，结合三角函数的最值性质进行求解即可．（2）根据函数单调递增的性质进行求解即可．【解答】解：（1）代入点，得2cosφ＝，得cosφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝2cos（πx+），当πx+＝2kπ，即x＝2k﹣时，函数取得最大值，最大值为2，当πx+＝2kπ+π，即x＝2k+时，函数取得最小值，最小值为﹣2．（2）由（1）知f（x）＝2cos（πx+），当2kπ﹣π≤πx+≤2kπ，k∈Z时，f（x）单调递增，∴得2k﹣≤x≤2k﹣，∴f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k﹣]，（k∈Z）．【知识点】正弦函数的单调性、三角函数的最值28.已知函数的周期是π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最值及其对应的x的值．【分析】（1）先求得ω＝2，进而得到函数解析式，由正弦型函数的性质，即可求得单调性；（2）依题意，，则，由此得解．【解答】解：（1）∵，∴|ω|＝2，又ω＞0，则ω＝2，∴，令，则，∴，∴函数f（x）的增区间为；（2）∵，∴，∴，∴，当x＝0时，f（x）min＝﹣2，当，即时，f（x）max＝1．【知识点】正弦函数的单调性、三角函数的最值29.已知函数f（x）＝sin（2x+）﹣2sin（x+）cos（x+）．（1）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移φ﹣个单位长度得到函数g（x）的图象，若φ∈（0，π）且tanφ＝，求函数g（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），利用正弦函数的单调性即可求解．（2）由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数解析式g（x）＝sin（2x+2φ），利用同角三角函数基本关系式可求s