优控制习题及参考答案

最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案优控制习题及参考答案编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:最优控制习题及参考答案 习题1 通过x()=1，x)=2，使下列性能指标为极值的曲线：J=∫

(+)dt解：由已条件知：t=0，t=1d由欧拉方程得： (2)=0=x=t+C将x()=x)=2代入，有：C=，=1得极值轨线：xt)=t+1习题2 性能指标：

J=∫

(+)t边界条件x()=0，x)是自由情况下的极值曲线。解： 上题得：xt)=Ct+C

xt)x由x()=0得：C=0xL由

=2t)==0 t0 1是：xt)=0【分析讨论】对于任意的x()=x)自由。有：C=x，C=0，即：xt)=x其几何意义：x)自由意味着终点在虚线上任意点。习题3 知系统的状态方程为：

t)=t)，t)=ut)边界件为：()=()=1，)=)=0，1∫试求使性能指标J=∫

ut)t2极小值的最优控制ut)以及最优轨线xt)。⎡x⎤解： 已知条件知：f=⎢⎥⎣u⎦aiton函数：H=L+λf

H=1u+λx

+λu⎧=0⎩=⎩=−λ

2 ⎧λ=C ①得：⎨⎩=t+C②H由控制方程：u

=u+=0得：u=−=t−C③由状态方程：=u=t−C得：xt)=1Ct−Ct+C ④2由状态方程：=

得：xt)=1Ct−1Ct+Ct+C ⑤6

2 ⎤

⎡0⎤将x()=⎢⎥，x)=⎢0⎥代入④，⑤,⎦ ⎣⎦联立解得：=由③、④、⑤式得：ut)=0t−29

，C=2，=C=19xt)=

5t−t+t+1xt)=5t−t+19习题4 知系统状态方程及初始条件为=u，

x()=1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。∫J=∫解： H=xe+ue+λu⎪⎧=u⎪列方程：⎨=−2e⎩⎪eu+λ=0⎩

(x+u)et①②③由③得，u代入①得，x

1eλ ④=−=−1eλ=−2x 1e

eλ=− +2将②，③代入，并考虑到u=

1e(−2e)+e(−2e)2=−整理可得：+2−x==−特征方程：s+2s−1=0=−1+

，=−1− 2于是得：xt)=Ce+Ce)= u=λt③e①)= u=λt)=e

e

+Cse)由x()=1，得：+C=1 ⑤由λt)=λ)=0得：e

+Cse =0 ⑥⑤、⑥联立，可得、C代回原方程可得x→u（略）习题5 求使系统：=，=u由初始状态()=()=0

出发，在t

=1时转移到目标集1)+)=1，并使性能指标J= ∫

ut)t2 为最小值的最优控制ut)及相应的最优轨线xt)。解：本题f(iL(i)与习题3同故H(i)相同→方程同→通解同⎧==−t+C⎪⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C⎨：⎪⎨

62 ⎪x=1Ct−Ct+C⎪2⎪

u=t−C⎡0⎤x(0)=⎢⎥⎣0⎦由 ，有：=C=0 ①由)+)=1，有：1C

1C

+1C−C=162

22C−3C=1 ②32 ϕ ψ由λ)= + ⋅γ=0ψ=+−1x x⎤：λ)=⎢⎥γ=0⇒λ)=λ⎦ 于是：=−+C=C③3 6、③联立，得：-C=-7 7于是：u=−3t+67 7x=−1t+3t4 7x=−3t+6t4 7习题6 已知一阶系统：t)=−xt)+ut)，x()=3（１）试确定最优控制ut)，使系统在t=2时转移到x()=0，并使性能泛函

∫∫J= 1+u)t=in（２如果使系统转移到xt)=0的终端时间t自由问ut)应如何确定解： H=1+u+λu−λx⎪⎧=−x+u⎪方程：⎨=λ⎩⎪u+λ=0⎩协态方程得：λ=Ce①1 控制方程：u

=− e ②2① t

1 代入状态方程：=−x− e2=x()=0

⇒xt)=e

1Ce4C⎧ −1C=3C⎪4⎨Ce−1Ce=0⎪4解得：=，e−1

eC=e−1代入②得：ut)=−②xt)=t

6 ee−1C⎧ −1C=3C⎪4⎪⎪Ce⎪

1Ce=04⎨4⎪⎪Ht)=0⎪⎩解得：=

40−6ut)=−习题7 系统状态方程及初始条件为t)=ut)，x()=1试确定最优控制ut)，使性能指标

1 ∫J=t+∫2

ut为极小，其中终端时间t未定，

xt)=0。解： H=1u+λu2协态方程得：=0

→λ=①控制方程：u+λ=0

→u=−②由状态方程：=u=

⇒xt)=t+C③由始端：x()=1

→C=1由末端：xt)=0

→t+1=0 ④ϕ考虑到：Ht)=−t

ψt

⋅γ=−1∂∂1有： u+λu=121C−C=1⇒C=22=±2 ⑤当=

2时，代入④有：t

=1=1 2当=−

2时，代入④有：t

=1=−1，不合题意，故有C= 2 2最优控制

u=−2习题8 设系统状态方程及初始条件为t)=t)，()=2性能指标为

t)=ut)，J=1∫ut

()=12 要求达到xt)=0，试求（1）t

=5时的最优控制ut)；（2）t自由时的最优控制ut)；解：本题f(iL(iH(i)与前同，故有⎧⎪=⎪⎪=−t+C⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C6⎨6⎪

2 ⎪x=1Ct−Ct+C⎪2⎪

u=t−C⎡2⎤

⎡0⎤

⎪C=2⎪=15 ① 由x()=⎢⎥

x)=⎢0⎥，得：⎨

−

C++C=0⎣1⎦

⎣⎦ ⎪6 2⎪C

−C+C=0⎪ ⎩2联立得：=C=，

⇒ u

=−②t自由⎧C=1⎪=2⎪1Ct−1Ct+Ct

+C=06⎨ 6⎪

2 ⎪1Ct−Ct

+C=0⎪2⎪

⎩Ht)=0联立有：Ct−Ct

+2=0， 无论C为何值，t均无实解。习题9 定二阶系统

t)=xt)+1，x()=−14 41t)=ut)，1

()=−4控制约束为ut)≤ ，要求最优控制ut)，使系统在t=t2 并使

时转移到xt)=0，其中t自由。

∫∫J= ut)t=in解：H=u+λx

+1λ

+λu4

⎧−1λ λ≤1⎪2⎪本题属最小能量问题，因此：

ut)=⎪−1

λ>12⎨ 2⎪⎪1 λ

<12⎪ 2⎩⎪=0→λ=C由协方程：⎨⎩=−λ→λ=Ct+C是t的直线函数。当ut)=−1λ

=1Ct−1C

时（试取）222 xt)=1Ct−1Ct+C4

2 xt)=

1Ct−1Ct+1t+Ct+C2

4 4 1由始端条件→=C=4由末端条件→

1Ct−1Ct

+1t

+1=02

4

2 41Ct−1Ct

+1=04

2 4另：Ht)=01：= C=t=39 于是，λ

1t ⎧=时，t<0=− ⎨9 ⎩

=时，t=9在t从0→3段，

≤1满足条件。故，u

=−1λ=1=−2810 1 2 3 4 t习题10 设二阶系统

t)=−t)+ut)，()=1t)=t)，

()=0控制约束为ut)≤1，当系统终端自由时，求最优控制ut)，使性能指标J=2)+)取极小值，并求最优轨线xt)。解由题意，f

⎡−+u⎤= ，

ϕ=x

+x,

L=0， ⇒

H=λu−λx

+λx⎢ ⎥

⎣ ⎦⎨1由控制方程可得：u=⎨1⎩

<0>0⎧

=λ−λ

⇒λ=Ce+C由协态方程可得：⎨

⎩=0ϕ ⎡2⎤

⇒=由λt

)= =⎢⎥

⇒C=C

=ext)

⎣1⎦ ⎧λ=e+1→在t>的围λ>1⇒⎨故：u=1

t∈[,]

⎩=1若需计算最优轨线，只需把u=1代入状态方程，可得：⎧xt)=e−1⎪⎨xt)=e−t+2⎪习题11 设系统状态方程为

t)=t)，()=∫性能指标为J=1∫2

t)=ut)，(4x+ut

()=试用调节器方法确定最优控制ut)。⎡0 1⎤解：由已条件得：A=⎢ ⎥⎣0 0⎦

⎡0⎤，B=⎢⎥，⎣1⎦

⎡4 0⎤Q=⎢ ⎥⎣0 0⎦

，R=1⎢1 0⎥∵[B B]=⎡⎢1 0⎥⎣ ⎦

,可控——优解存在考虑到

Q=⎡4 0⎤=⎡2⎤[2 0]=DD，故⎢0 0⎥ ⎢0⎥⎣⎢0 0⎥ ⎢0⎥

D=[2 0]⎡D⎤ ⎡2 0⎤∵⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣A⎦ ⎣0 2⎦

∴闭环系统渐近稳定由Ricai程P+A−RBP+Q=0，有⎡0 0⎤⎡

⎤+⎡

⎤⎡0 1⎤−⎡

⎤⎡