第四章-扭转-§45-圆杆在扭转时的变形、刚度计算课件

第四章扭转§4.5圆杆在扭转时的变形、刚度计算§4.1概述§4.2传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图§4.3等直圆杆在扭转时的应力、强度条件§4.6

简单静不定轴§4.4圆杆在扭转时的强度条件第四章扭转§4.5圆杆在扭转时的变形、刚度计算§4.1§4.1扭转的概念一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆电动机传动轴扭转§4.1扭转的概念一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆电2工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。

机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重3第四章--扭转-§45--圆杆在扭转时的变形、刚度计算课件4ABA'B'jgmm扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。扭转的受力特征：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。二、扭转受力计算简图ABA'B'jgmm扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕5§4-2传动轴的外力偶矩•扭矩和扭矩图一、传动轴的外力偶矩的计算转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T图示的传动机构，通常外力偶矩m

不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P和转速n计算得到的。

§4-2传动轴的外力偶矩•扭矩和扭矩图一、传6一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩m可按以下方法求得。从动轮主动轮从动轮图3-5n转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，7若功率P采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为轴在m作用下匀速转过角度，则功：1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS若功率P采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为轴在m作用8mnmnA(a)ⅠⅠ二、扭矩扭矩图TmIIBnxnmIImnmnA(a)ⅠⅠ二、扭矩扭矩图TmIIBnxnmII9右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩10用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。

2扭矩图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表11

图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。1122轮轴轴承

例题解：分2段研究AB段：T1+mA=0T1=-4kNm1122T1BC段：T2-T2+mC=0T2=6kNm图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝1121122轮轴轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6kNm1122轮轴轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6k13一圆轴如图所示，已知其转速为n＝300转／分，主动轮A输入的功率为NA＝400kW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NB＝NC＝120kW，ND＝160kW。试画出此圆轴的扭距图。112233轴的转向

例题一圆轴如图所示，已知其转速为n＝300转／分，主动轮A输入的14n＝300转／分，NA＝400kW，NB＝NC＝120kW，ND＝160kW。1122333.82kN·m7.64kN·m5.10kN·m解:1.计算外力偶矩2.计算各段扭矩、画扭矩图T最大扭矩在CA段内。n＝300转／分，NA＝400kW，NB＝NC＝120kW，15meme§4-3圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验1.实验前：①在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线②施加外力偶2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。平面假定meme§4-3圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验116meme变形几何平面假定平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力,各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。结论meme变形几何平面假定平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动17dxTTdx

二、横截面上的应力1.变形几何关系：gmmdxdxTTdx二、横截面上的应力1.变形几何关系：g18——扭转角沿长度方向变化率。——扭转角沿长度方向变化率。19剪切虎克定律：

2.物理关系：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。剪切虎克定律：2.物理关系：剪切虎克20Ttmaxtmax虎克定律：剪应力方向垂直于半径Ttmaxtmax虎克定律：剪应力方向垂直于半径213.静力学关系：TOdA令OrdAdA截面的极惯性矩—圆轴扭转任一点剪应力计算公式。3.静力学关系：TOdA令OrdAdA截面的极惯性矩22公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。公式讨论：②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩23抗扭截面系数

三、最大切应力公式抗扭截面系数三、最大切应力公式24对于实心圆截面：DdO对于实心圆截面：DdO25对于空心圆截面：dDOd对于空心圆截面：dDOd26应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空27应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρOT抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆实心圆应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρ28四、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：四、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半29平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。扭转实验后结论l平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有30于是由静力关系，得到得到于是由静力关系，得到得到31在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由得：0.80.81.1920.80.512

例题在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，32由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)

思考题由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G133解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整34一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。§4-4圆轴扭转强度条件预合理设计应力一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：铸铁试件：§4-435二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]36某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。

解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。

例题某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递37故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：

故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心38功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx

例题功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许39已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

例题已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力40

一传动轴如图所示，其转速

n=300r/min，主动轮输入的功率为有

P1=500kW

。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为

P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n

例题一传动轴如图所示，其转速n=300r/m41解:1.计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.37(d)解:1.计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.342（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，(1)试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。(2)若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。解：①内力分析由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，Tmax=9.56kN.m②应力计算

例题（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，解：①内力分析43③强度计算＜[τ]③强度计算＜[τ]44若AD轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示:∴强度不符合要求。Tmax=15.9kN.m

例题若AD轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调AD轮位置后，扭矩45若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。解：由得d=0.9D=141mm

例题若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件46因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径R0=(d+δ)/2空心圆轴设计当δ≤R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径d=100mm的空心圆轴如图，已知圆轴受扭矩T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。

例题因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心47圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似482.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。PP2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪49圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：

例题圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径50②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）51一、扭转时的变形相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。§4-5圆轴扭转变形刚度条件单位长度的扭转角：或一、扭转时的变形相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转52图

所示等直圆杆，AB两截面的相对扭转角为：

图所示等直圆杆，AB两截面的相对扭转角为：53图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对扭转角为：

图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对54从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：

图所示等直圆杆受分布扭矩t作用，t的单位为。AB截面相对扭转角为：

从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：图所示等直55从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：

AB截面相对扭转角为：

式中：图所示为变截面圆杆，A、B两端直径分别为d1、d2。

从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：AB截面相对56二、刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。或[]称为许用单位扭转角。二、刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。或[]称为57刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③58下列框图表示了求解过程：

下列框图表示了求解过程：59图示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m，M2＝2.3KN·m，M3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0mABC

例题图示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m，M2＝2.3KN60

图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9kN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M4＝1.5kN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。500500500

例题图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9kN·m，61M1＝9kN·m，M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M4＝1.5kN·m。d/D＝1/2，G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN500500500M1＝9kN·m，M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M62已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。

例题已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=763D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180r/min，L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。单位长度阻力矩D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=18064图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：

例题图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算65

各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。

由此得轴AC的总扭转角为

2刚度校核

轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC66某传动轴设计要求转速n

=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB

段直径d1和BC

段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)

例题某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率67由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.02468

综上：②全轴选同一直径时综上：②全轴选同一直径时69

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

70传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解:(1)计算力偶距

(2)根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3间的扭矩绝对值最大。

例题传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率71若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m

例题若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮72长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径

例题长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的7340NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚7440NmxT③右端面转角为：40NmxT③右端面转角为：75

一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。

例题一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆76因两杆扭转变形时无相对转动因两杆扭转变形时无相对转动77三、提高圆轴扭转强度和刚度的措施为了使与下降，有两条途径。①使Tmax降低。(通过调整主动轮的位置)②提高Wt和IP。(b)采用空心轴。(a)加大直径；若d→2d，则Wt→8Wt

IP→16IP三、提高圆轴扭转强度和刚度的措施为了使78§4-6扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤§4-6扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平79长为L的等截面圆轴AB，两端固定；外力偶M0作用于C处使轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度GIP，试求轴在C截面处的扭转角。解：取AB为研究对象1)静力平衡方程ΣMx=0:MA+MB-M0=0

①2)变形协调方程②CC

例题长为L的等截面圆轴AB，两端固定；外力偶M0作用于C处使轴发803)物理关系方程③联解方程②与③，得补充方程：MAa=MB

b

④联解方程①与④，得：C3)物理关系方程③联解方程②与③，得补充方程：MAa=81长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：

例题长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，82②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充83§4-7非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。§4-7非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面84一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。横截面上无正应力二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。横截面上有正应力，但很小。

一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相二85自由扭转时，主要结果如下：(1)横截面周边各点处剪应力方向与周边相切，角点处剪应力为零。(2)剪应力在截面上非线性分布。(3)最大剪应力发生在矩形长边中点处。三、矩形截面杆的扭转剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）h³bht1T

t

max注意！b自由扭转时，主要结果如下：(1)横截面周边各862.最大剪应力及单位扭转角h³bht1T

t

max注意！b其中：其中：It—相当极惯性矩。2.最大剪应力及单位扭转角h³bht1Ttmax87注意！对于Wt

和It，多数教材与手册上有如下定义：查表求和时一定要注意，表中和与那套公式对应。h³bht1T

t

max注意！b注意！对于Wt和It，多数教材与手册上有如下定88矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零

边缘各点切应力沿切线方向最大切应力发生在长边中点T矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零边缘各点切89分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：β＝0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N·m作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：β＝0.8090一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。§4-8开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由91三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同92四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取单元体如图（d）。图（c）d

xd

2d1t1t2图（d）四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取图（9394下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶T=5000N·m，试求此杆的最大剪应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：bat

例题下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50mm，b=795轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量强度条件变形公式位移截点或截面的线位移截面的角位移刚度条件应变能轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应96第四章扭转§4.5圆杆在扭转时的变形、刚度计算§4.1概述§4.2传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图§4.3等直圆杆在扭转时的应力、强度条件§4.6

简单静不定轴§4.4圆杆在扭转时的强度条件第四章扭转§4.5圆杆在扭转时的变形、刚度计算§4.97§4.1扭转的概念一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆电动机传动轴扭转§4.1扭转的概念一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆电98工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。

机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重99第四章--扭转-§45--圆杆在扭转时的变形、刚度计算课件100ABA'B'jgmm扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。扭转的受力特征：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。二、扭转受力计算简图ABA'B'jgmm扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕101§4-2传动轴的外力偶矩•扭矩和扭矩图一、传动轴的外力偶矩的计算转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T图示的传动机构，通常外力偶矩m

不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P和转速n计算得到的。

§4-2传动轴的外力偶矩•扭矩和扭矩图一、传102一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩m可按以下方法求得。从动轮主动轮从动轮图3-5n转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，103若功率P采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为轴在m作用下匀速转过角度，则功：1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS若功率P采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为轴在m作用104mnmnA(a)ⅠⅠ二、扭矩扭矩图TmIIBnxnmIImnmnA(a)ⅠⅠ二、扭矩扭矩图TmIIBnxnmII105右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩106用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。

2扭矩图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表107

图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。1122轮轴轴承

例题解：分2段研究AB段：T1+mA=0T1=-4kNm1122T1BC段：T2-T2+mC=0T2=6kNm图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝11081122轮轴轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6kNm1122轮轴轴承6kNm4kNmTT1=-4kNmT2=6k109一圆轴如图所示，已知其转速为n＝300转／分，主动轮A输入的功率为NA＝400kW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NB＝NC＝120kW，ND＝160kW。试画出此圆轴的扭距图。112233轴的转向

例题一圆轴如图所示，已知其转速为n＝300转／分，主动轮A输入的110n＝300转／分，NA＝400kW，NB＝NC＝120kW，ND＝160kW。1122333.82kN·m7.64kN·m5.10kN·m解:1.计算外力偶矩2.计算各段扭矩、画扭矩图T最大扭矩在CA段内。n＝300转／分，NA＝400kW，NB＝NC＝120kW，111meme§4-3圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验1.实验前：①在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线②施加外力偶2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。平面假定meme§4-3圆轴扭转横截面上的应力一、扭转实验1112meme变形几何平面假定平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力,各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。结论meme变形几何平面假定平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动113dxTTdx

二、横截面上的应力1.变形几何关系：gmmdxdxTTdx二、横截面上的应力1.变形几何关系：g114——扭转角沿长度方向变化率。——扭转角沿长度方向变化率。115剪切虎克定律：

2.物理关系：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。剪切虎克定律：2.物理关系：剪切虎克116Ttmaxtmax虎克定律：剪应力方向垂直于半径Ttmaxtmax虎克定律：剪应力方向垂直于半径1173.静力学关系：TOdA令OrdAdA截面的极惯性矩—圆轴扭转任一点剪应力计算公式。3.静力学关系：TOdA令OrdAdA截面的极惯性矩118公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。公式讨论：②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩119抗扭截面系数

三、最大切应力公式抗扭截面系数三、最大切应力公式120对于实心圆截面：DdO对于实心圆截面：DdO121对于空心圆截面：dDOd对于空心圆截面：dDOd122应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空123应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρOT抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆实心圆应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：d/2ρ124四、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：四、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半125平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。扭转实验后结论l平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有126于是由静力关系，得到得到于是由静力关系，得到得到127在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由得：0.80.81.1920.80.512

例题在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，128由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)

思考题由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1129解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整130一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。§4-4圆轴扭转强度条件预合理设计应力一、扭转失效预扭转极限应力低碳钢试件：铸铁试件：§4-4131二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：二、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]132某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。

解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。

例题某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递133故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：

故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心134功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx

例题功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许135已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

例题已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力136

一传动轴如图所示，其转速

n=300r/min，主动轮输入的功率为有

P1=500kW

。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为

P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n

例题一传动轴如图所示，其转速n=300r/m137解:1.计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.37(d)解:1.计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.3138（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，(1)试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。(2)若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。解：①内力分析由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，Tmax=9.56kN.m②应力计算

例题（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，解：①内力分析139③强度计算＜[τ]③强度计算＜[τ]140若AD轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示:∴强度不符合要求。Tmax=15.9kN.m

例题若AD轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调AD轮位置后，扭矩141若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。解：由得d=0.9D=141mm

例题若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件142因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径R0=(d+δ)/2空心圆轴设计当δ≤R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径d=100mm的空心圆轴如图，已知圆轴受扭矩T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。

例题因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心143圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似1442.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。PP2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪145圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：

例题圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径146②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）147一、扭转时的变形相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。§4-5圆轴扭转变形刚度条件单位长度的扭转角：或一、扭转时的变形相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转148图

所示等直圆杆，AB两截面的相对扭转角为：

图所示等直圆杆，AB两截面的相对扭转角为：149图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对扭转角为：

图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对150从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：

图所示等直圆杆受分布扭矩t作用，t的单位为。AB截面相对扭转角为：

从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：图所示等直151从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：

AB截面相对扭转角为：

式中：图所示为变截面圆杆，A、B两端直径分别为d1、d2。

从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：AB截面相对152二、刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。或[]称为许用单位扭转角。二、刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。或[]称为153刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③154下列框图表示了求解过程：

下列框图表示了求解过程：155图示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m，M2＝2.3KN·m，M3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0mABC

例题图示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m，M2＝2.3KN156

图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9kN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M4＝1.5kN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。500500500

例题图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9kN·m，157M1＝9kN·m，M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M4＝1.5kN·m。d/D＝1/2，G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN500500500M1＝9kN·m，M2＝4kN·m，M3＝3.5kN·m，M158已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。

例题已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7159D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180r/min，L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。单位长度阻力矩D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180160图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：

例题图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算161

各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。

由此得轴AC的总扭转角为

2刚度校核

轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC162某传动轴设计要求转速n

=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB

段直径d1和BC

段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)

例题某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率163由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024164

综上：②全轴选同一直径时综上：②全轴选同一直径时165

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

166传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解:(1)计算力偶距

(2)根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3间的扭矩绝对值最大。

例题传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率167若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m

例题若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮168长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径

例题长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的16940NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚17040NmxT③右端面转角为：40NmxT③右端面转角为：171

一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。

例题一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆172因两杆扭转变形时无相对转动因两杆扭转变形时无相对转动173三、提高圆轴扭转强度和刚度的措施为了使与下降，有两条途径。①使Tmax降低。(通过调整主动轮的位置)②提高Wt和IP。(b)采用空心轴。(