《数学哲学史》课件

二、数学的特征及其在科学中的地位（一）、数学的特征1、抽象性2、逻辑的严格性3、系统地使用符号①、计算的需要②、逻辑推理的需要③、使数学形式简化的最佳途径二、数学的特征及其在科学中的地位14、广泛的应用性①、数字电视②、1991年海湾战争③、姜伯驹的就职演说5、数学美简洁美对称美和谐美奇异美4、广泛的应用性2

•Poincare（1854－1912）说：“感觉数学的美，感觉数与形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有数学家都知道的真正的美感。”

•Pythagoras（-580－-500）声称，万物皆数，美是数的和谐。

•Davinci（1452－1519）认为“黄金分割是美的原则。”•Poincare（1854－1912）说：“感觉数学3

•Euler（1707－1783）公式

•项武义－情理之中，意料之外•Euler（1707－1783）公式•项武义－情4（二）、数学在科学中的地位1、古希腊－科学的同义词2、欧洲中世纪－经院哲学盛行R.培根（1214－1294）：数学是所有科学的支柱。（二）、数学在科学中的地位53、文艺复兴时期－带头学科Copernicus

1473-1543,波兰Kepler1571-1630,德国Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英国3、文艺复兴时期－带头学科6•Galliler：宇宙是一部巨著,其中的内容是自然科学,它的语言是数学,符号是几何图形.如果不懂数学,就无法读懂它.•Galliler：74、19世纪，Laplace（1749－1827）－“数学是自然科学的工具”•孔德（法）：数学力学天文学物理学化学生理学社会学4、19世纪，Laplace（1749－1827）－“数学85、19世纪末，数学与自然科学并列•马克思：一种科学只有在成功地运用数学时，才能达到真正的完善。•数学是横断科学5、19世纪末，数学与自然科学并列9三、数学发展的几个重要阶段及其主要特征1、数学萌芽时期（至前6世纪）算术、几何开始形成主要成就出现在：巴比伦、埃及、中国三、数学发展的几个重要阶段及其主要特征10•巴比伦：一些数表•埃及：-1800，算术级数，几何级数，正方形锥台的体积•中国：甲骨文中的数字，六十甲子•特点：有简单的推理•巴比伦：一些数表112、初等数学时期（-6世纪—17世纪）：又称为常量数学或有限数学时期•西方数学的中心：古希腊→阿拉伯和印度→西欧•中国数学独立地发展着2、初等数学时期（-6世纪—17世纪）：12（1）、古希腊：科学发展的第一个黄金时期

•泰勒斯

Thales

-624_-547

几何学鼻祖（1）、古希腊：科学发展的第一个黄金时期13•毕达哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整数论•毕达哥拉斯Pythagoras14•亚里士多德Aristoteles-384_-322逻辑学创始人•亚里士多德Aristoteles-384_-32215欧几里德Eulid

-330_-275公理法欧几里德Eulid16•阿基米德Archmedes

-287_-212数学之神穷竭法积分法•阿基米德17阿波罗纽斯Apollonius

-262_-190《圆锥曲线》阿波罗纽斯18•丢番图Diophantus

246-330代数方程论•丢番图19－1世纪，罗马消灭古希腊，数学的中心转移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二项式定理（3）三角学出现－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世纪，罗马消灭古希腊，数学的中心转移到阿拉伯20托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）21（2）、西方文艺复兴前后（15—17世纪）：科学发展的第二个黄金时期①、代数学已系统地使用符号。标志:Vieta1540－1603，意，代数学之父（2）、西方文艺复兴前后（15—17世纪）：22②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亚1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法23③、“印度—阿拉伯数码”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、产生了十进制小数及对数③、“印度—阿拉伯数码”定型通用24（3）、中国：《九章算术》•唐朝李淳风校定的“算经十书”：《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《张邱建算经》，《五曹算经》，《五经算术》，《辑古算经》，《夏侯阳算经》，《缀术》

（3）、中国：《九章算术》25李淳风602－670李淳风602－67026主要成就：①、勾股定理及测量－赵爽，刘徽②、正负数运算法则－刘徽③、多元一次方程组的解法－刘徽④、极限思想在几何中的应用——刘徽的“割圆术”主要成就：27⑤、中国传统数学最辉煌的时期——宋元时期：

泰九韶的剩余定理和高次方程数值解法李治和朱世杰的天元术和四元术贾宪和杨辉的二项式展开系数表朱世杰和沈括的高阶等差级数求和算筹的发展，元代产生了算盘⑤、中国传统数学最辉煌的时期——宋元时期：28初等数时期的特点：①、除虚数外，初等数学已基本完备②、与萌芽时期数学的主要区别③、这一时期的数学虽然有极限思想及其初步运用，但主要是以常量、有限和不变图形的研究为特征的初等数学。初等数时期的特点：293、近代数学时期（17世纪中期—19世纪末期）：又称为变量数学时期或高等数学时期或无限数学时期（1）、十七世纪的数学：①、几何问题代数化②、变量进入数学③、概率论产生，使数学开始涉及偶然事件3、近代数学时期（17世纪中期—19世纪末期）：30（2）、十八世纪的数学：①、为微积分作奠基工作②、在微积分的基础上发展出无穷级数，常微分方程，偏微分方程，变分法等学科③、概率论也发生了变化：组合概率时期到分析概率时期（2）、十八世纪的数学：31（3）、十九世纪的数学：数学发展的第三个黄金时期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世纪的数学：数学发展的第三个黄金时期。32分析方面——确立了微积分的现代形式，产生了复变函数几何方面——罗氏几何代数方面——伽罗瓦创立群论分析方面——确立了微积分的现代形式，产生了复变函334、现代数学时期（19世纪以来）：①、数学方面：

1900年希尔伯特提出的23个全局性问题，是推动19世纪数学发展的强大动力。②、现代数学的特点：4、现代数学时期（19世纪以来）：34Ⅰ、集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研究基本的数学结构Ⅱ、数学的抽象化程度越来越高，分支越来越细，内在联系揭露的越来越深Ⅲ、电子计算机进入数学领域，推动了数学的发展Ⅳ、应用数学蓬勃发展Ⅰ、集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研35四、数学的真理性问题问题：数学体系是否具有真理性？（）

A、严密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，无法彻底消除；

D、不知道四、数学的真理性问题36（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机37（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机1、毕达哥拉斯悖论：

①、毕达哥拉斯悖论：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（无理数）的发现导致第一次危机（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机38希伯索斯在研究边长为1的正方形时,发现其对角线不能用整数之比来表示,即证明不可公度量的存在.

意义：无理数的发现导致了西方数学史上的第一次危机，致使以后数域的扩张，从而为数学的发展做出了巨大的贡献。希伯索斯在研究边长为1的正方形时,发现其对角线不能用整数之39证明不是有理数。证明：（反证）若是有理数，即，，则，于是是偶数，则可设，代入有，即可得是偶数，这与矛盾！证明不是有理数。40②、关于负数和虚数：Ⅰ、比“没有”还小的数Ⅱ、瓦里斯-负数应大于无穷大Ⅲ、-1/1=1/-1

负数-错的数,荒谬的数；负根-假根Ⅳ、虚数的名称：卡尔丹诺——诡辩量；纳皮尔——实数的鬼魂；笛卡尔——虚拟的数；莱布尼兹——它是介于存在和不存在之间的两栖物②、关于负数和虚数：Ⅰ、比“没有”还小的数41③、关于无穷：Ⅰ、庄子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”Ⅱ、芝诺悖论：芝诺（Zenon，-490—-436），古希腊唯心主义哲学家，巴门尼德的学生，埃利亚学派的主要代表之一。认为世界上唯一真实的东西只是“唯一不动的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“静”而不是“动”。③、关于无穷：Ⅰ、庄子（-369－-286）：42《数学哲学史》课件43“二分法”——运动不存在理由是：“运动着的物体在到达目的地之前，必先到达半路上的一点。”即欲从甲处到达乙处，必先到达其1/2处，又必先到达其1/4处，...，由于线段无限可分，所以根本就不可能开始运动。问：是怎样到达的？“二分法”——运动不存在理由是：“运动着的物体在到达目的地44阿基里斯追龟假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，而乌龟在阿基里斯前100米处，二者同时同向起跑，当阿基里斯追到100米时，乌龟前进了10米；阿基里斯追上了10米，这时乌龟又前进了1米；阿基里斯又追上1米，乌龟又前进了0.1米，...，阿基里斯总要经过乌龟的起点，即阿基里斯总在乌龟的后面，不管这个距离如何短。所以阿基里斯永远追不上乌龟。阿基里斯追龟假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，而乌龟在阿基里45飞箭不动一只飞着的箭在一定的时间内经过许多点，但在每一个瞬间都占有一个特定的位置，它在这一瞬间是不动的，无限个不动的瞬间的总和还是不动，所以飞箭不动。如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，矛盾！飞箭不动一只飞着的箭在一定的时间内经过许多点，但在每一个瞬46Ⅲ、普罗克鲁斯悖论一个无穷大＝两个无穷大Ⅲ、普罗克鲁斯悖论47Ⅳ、亚里士多德悖论大小不同的两个圆周长相等Ⅳ、亚里士多德悖论大小不同的两个圆周长相等48Ⅴ、伽俐略悖论：“部分等于全体”Ⅴ、伽俐略悖论：“部分等于全体”492、贝克莱悖论：1650年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，使数学进入了变量时代，但当时的微积分理论还不是很严密，例如关于实无穷小量，产生了严重的逻辑困难，因而导致了第二次数学危机。2、贝克莱悖论：1650年，牛顿和莱布尼兹创立了50①、展开，含有，当时认为是有限的非零的量，要多小就有多小，在展开式中不去掉；②、但求导数时，又可以把高阶无穷小去掉。①、展开，含有，当时认为是有限的非零51Newton认为，对函数有

Newton认为，对函数52英国的贝克莱（Beckly）大主教说：“是逝去量的鬼魂！”——招之即来，挥之即去。马克思在《数学手稿》中也曾说过：“把高阶无穷小去掉是暴力镇压！”---导致了第二次数学危机。英国的贝克莱（Beckly）大主教说：“是逝去量的鬼魂！”—53分析的严密化过程17－19世纪①、分析学最后归结为实数理论Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分划说——对数轴用不同的分划有不同的有理数和无理数Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理数的逼近构造无理数微积分理论建立在实连续统的基础上分析的严密化过程17－19世纪①、分析学最后归结为实数理54②、集合论的建立集合论的建立成为整个现代数学的基础。它的创始人是康托Cantor，1829－1920，德—朴素的集合论②、集合论的建立集合论的建立成为整个现代数学的基础。它的创55结论：到19世纪，现代数学是建立在实数理论和与它相联系的集合论的基础上的。这样，分析的严密化过程基本结束。结论：到19世纪，现代数学是建立在实数理论和与它相联系的集合563、集合论悖论：（1）、Russell悖论—1902年：A={集合A|A不属于A}问:A是否属于A？•“由一切不包含自身的集合所组成的集合”是否包含自身的问题。

3、集合论悖论：（1）、Russell悖论—190257Russell悖论的替代说法“理发师悖论”—1919年:某城镇中只有一个理发师，而镇中的每一个人都要理发，理发师就约定：“我给且只给镇中那些不给自己理发的人理发，”问：这位理发师是否给他自己理发？

Russell悖论的替代说法“理发师悖论”—1919年:58Russell悖论的影响弗雷格（Frege，1848－1925，德）的《算法基础》第三卷戴德金（Dedkind，1831－1916，德）的名著《什么是数和数是什么》布劳维尔（Brouwer，1881－1966，荷兰)Russell悖论的影响弗雷格（Frege，1848－1959（3）、Cantor悖论—1899年对等与基数一方面,有另一方面,若令S为大全集,则有（3）、Cantor悖论—1899年对等与基数60（4）、说谎者悖论一个克里特人说：“所有的克里特人都说谎。”请问这个克里特人是否在说谎？•等价的一句话：“这句话是假的。”（4）、说谎者悖论一个克里特人说：“所有的克里特人都说谎。”614、其他悖论：（1）、柏拉图—苏格拉底悖论：柏拉图：下面苏说的话是假的苏格拉底：柏拉图前面说了真话问：苏格拉底是否在说真话？4、其他悖论：（1）、柏拉图—苏格拉底悖论：62（2）、梵学者的预言：印度预言家的女儿，在纸上写了一件事（一句话），让她的父亲预言这件事情在今天下午三点钟之前是否发生，并在卡片上写下“是”或“不”字。此梵学者在卡片上写下了一个“是”字。她女儿在纸上写的这件事（这句话）是“在今天下午三点钟之前，您将写一个‘不’字在卡片上。”（2）、梵学者的预言：63（3）、意料之外的考试：一位教授宣布，下周的某一天要进行一次“意料之外的考试”，并说没有一个学生能够在考试那天之前的一天推测出考试的日期。一个学生“证明”了：考试不会在一周的最后一天进行。

（3）、意料之外的考试：64（4）、哪辆车中的异性多：甲乙两辆汽车都坐满了40人，甲车中40个男人，乙车中40个女人，甲车中10个男人到乙车中去了，又从乙车中下来10个人（几男几女不清楚）到甲车中去，问：甲乙二车中哪辆车中的异性多？（4）、哪辆车中的异性多：65（5）、格里林悖论－1908年形容词有两种：一是“自状的”：如“抽象的”、“中文的”等均适用于自身；一种是“非自状的”：如“圆的”、“单音节的”、“英文的”等均不适用于自身。现在问：“非自状的”这一性质是自状的还是非自状的呢？（5）、格里林悖论－1908年66（6）、飞虫悖论：一只飞虫在二辆骑自行车相对而行的人之间来回飞行（二车同速，匀速为每小时2公里，相距18公里），当二车在中点碰面时，飞虫共走了多少距离？一个递减的级数之和？－VonNeumann，1903－1957，美

逆问题（6）、飞虫悖论：67二、数学的特征及其在科学中的地位（一）、数学的特征1、抽象性2、逻辑的严格性3、系统地使用符号①、计算的需要②、逻辑推理的需要③、使数学形式简化的最佳途径二、数学的特征及其在科学中的地位684、广泛的应用性①、数字电视②、1991年海湾战争③、姜伯驹的就职演说5、数学美简洁美对称美和谐美奇异美4、广泛的应用性69

•Poincare（1854－1912）说：“感觉数学的美，感觉数与形的调和，感觉几何学的优雅，这是所有数学家都知道的真正的美感。”

•Pythagoras（-580－-500）声称，万物皆数，美是数的和谐。

•Davinci（1452－1519）认为“黄金分割是美的原则。”•Poincare（1854－1912）说：“感觉数学70

•Euler（1707－1783）公式

•项武义－情理之中，意料之外•Euler（1707－1783）公式•项武义－情71（二）、数学在科学中的地位1、古希腊－科学的同义词2、欧洲中世纪－经院哲学盛行R.培根（1214－1294）：数学是所有科学的支柱。（二）、数学在科学中的地位723、文艺复兴时期－带头学科Copernicus

1473-1543,波兰Kepler1571-1630,德国Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英国3、文艺复兴时期－带头学科73•Galliler：宇宙是一部巨著,其中的内容是自然科学,它的语言是数学,符号是几何图形.如果不懂数学,就无法读懂它.•Galliler：744、19世纪，Laplace（1749－1827）－“数学是自然科学的工具”•孔德（法）：数学力学天文学物理学化学生理学社会学4、19世纪，Laplace（1749－1827）－“数学755、19世纪末，数学与自然科学并列•马克思：一种科学只有在成功地运用数学时，才能达到真正的完善。•数学是横断科学5、19世纪末，数学与自然科学并列76三、数学发展的几个重要阶段及其主要特征1、数学萌芽时期（至前6世纪）算术、几何开始形成主要成就出现在：巴比伦、埃及、中国三、数学发展的几个重要阶段及其主要特征77•巴比伦：一些数表•埃及：-1800，算术级数，几何级数，正方形锥台的体积•中国：甲骨文中的数字，六十甲子•特点：有简单的推理•巴比伦：一些数表782、初等数学时期（-6世纪—17世纪）：又称为常量数学或有限数学时期•西方数学的中心：古希腊→阿拉伯和印度→西欧•中国数学独立地发展着2、初等数学时期（-6世纪—17世纪）：79（1）、古希腊：科学发展的第一个黄金时期

•泰勒斯

Thales

-624_-547

几何学鼻祖（1）、古希腊：科学发展的第一个黄金时期80•毕达哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整数论•毕达哥拉斯Pythagoras81•亚里士多德Aristoteles-384_-322逻辑学创始人•亚里士多德Aristoteles-384_-32282欧几里德Eulid

-330_-275公理法欧几里德Eulid83•阿基米德Archmedes

-287_-212数学之神穷竭法积分法•阿基米德84阿波罗纽斯Apollonius

-262_-190《圆锥曲线》阿波罗纽斯85•丢番图Diophantus

246-330代数方程论•丢番图86－1世纪，罗马消灭古希腊，数学的中心转移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二项式定理（3）三角学出现－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世纪，罗马消灭古希腊，数学的中心转移到阿拉伯87托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）88（2）、西方文艺复兴前后（15—17世纪）：科学发展的第二个黄金时期①、代数学已系统地使用符号。标志:Vieta1540－1603，意，代数学之父（2）、西方文艺复兴前后（15—17世纪）：89②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亚1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法90③、“印度—阿拉伯数码”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、产生了十进制小数及对数③、“印度—阿拉伯数码”定型通用91（3）、中国：《九章算术》•唐朝李淳风校定的“算经十书”：《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《张邱建算经》，《五曹算经》，《五经算术》，《辑古算经》，《夏侯阳算经》，《缀术》

（3）、中国：《九章算术》92李淳风602－670李淳风602－67093主要成就：①、勾股定理及测量－赵爽，刘徽②、正负数运算法则－刘徽③、多元一次方程组的解法－刘徽④、极限思想在几何中的应用——刘徽的“割圆术”主要成就：94⑤、中国传统数学最辉煌的时期——宋元时期：

泰九韶的剩余定理和高次方程数值解法李治和朱世杰的天元术和四元术贾宪和杨辉的二项式展开系数表朱世杰和沈括的高阶等差级数求和算筹的发展，元代产生了算盘⑤、中国传统数学最辉煌的时期——宋元时期：95初等数时期的特点：①、除虚数外，初等数学已基本完备②、与萌芽时期数学的主要区别③、这一时期的数学虽然有极限思想及其初步运用，但主要是以常量、有限和不变图形的研究为特征的初等数学。初等数时期的特点：963、近代数学时期（17世纪中期—19世纪末期）：又称为变量数学时期或高等数学时期或无限数学时期（1）、十七世纪的数学：①、几何问题代数化②、变量进入数学③、概率论产生，使数学开始涉及偶然事件3、近代数学时期（17世纪中期—19世纪末期）：97（2）、十八世纪的数学：①、为微积分作奠基工作②、在微积分的基础上发展出无穷级数，常微分方程，偏微分方程，变分法等学科③、概率论也发生了变化：组合概率时期到分析概率时期（2）、十八世纪的数学：98（3）、十九世纪的数学：数学发展的第三个黄金时期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世纪的数学：数学发展的第三个黄金时期。99分析方面——确立了微积分的现代形式，产生了复变函数几何方面——罗氏几何代数方面——伽罗瓦创立群论分析方面——确立了微积分的现代形式，产生了复变函1004、现代数学时期（19世纪以来）：①、数学方面：

1900年希尔伯特提出的23个全局性问题，是推动19世纪数学发展的强大动力。②、现代数学的特点：4、现代数学时期（19世纪以来）：101Ⅰ、集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研究基本的数学结构Ⅱ、数学的抽象化程度越来越高，分支越来越细，内在联系揭露的越来越深Ⅲ、电子计算机进入数学领域，推动了数学的发展Ⅳ、应用数学蓬勃发展Ⅰ、集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研102四、数学的真理性问题问题：数学体系是否具有真理性？（）

A、严密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，无法彻底消除；

D、不知道四、数学的真理性问题103（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机104（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机1、毕达哥拉斯悖论：

①、毕达哥拉斯悖论：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（无理数）的发现导致第一次危机（一）、悖论（Paradox）与三次数学危机105希伯索斯在研究边长为1的正方形时,发现其对角线不能用整数之比来表示,即证明不可公度量的存在.

意义：无理数的发现导致了西方数学史上的第一次危机，致使以后数域的扩张，从而为数学的发展做出了巨大的贡献。希伯索斯在研究边长为1的正方形时,发现其对角线不能用整数之106证明不是有理数。证明：（反证）若是有理数，即，，则，于是是偶数，则可设，代入有，即可得是偶数，这与矛盾！证明不是有理数。107②、关于负数和虚数：Ⅰ、比“没有”还小的数Ⅱ、瓦里斯-负数应大于无穷大Ⅲ、-1/1=1/-1

负数-错的数,荒谬的数；负根-假根Ⅳ、虚数的名称：卡尔丹诺——诡辩量；纳皮尔——实数的鬼魂；笛卡尔——虚拟的数；莱布尼兹——它是介于存在和不存在之间的两栖物②、关于负数和虚数：Ⅰ、比“没有”还小的数108③、关于无穷：Ⅰ、庄子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”Ⅱ、芝诺悖论：芝诺（Zenon，-490—-436），古希腊唯心主义哲学家，巴门尼德的学生，埃利亚学派的主要代表之一。认为世界上唯一真实的东西只是“唯一不动的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“静”而不是“动”。③、关于无穷：Ⅰ、庄子（-369－-286）：109《数学哲学史》课件110“二分法”——运动不存在理由是：“运动着的物体在到达目的地之前，必先到达半路上的一点。”即欲从甲处到达乙处，必先到达其1/2处，又必先到达其1/4处，...，由于线段无限可分，所以根本就不可能开始运动。问：是怎样到达的？“二分法”——运动不存在理由是：“运动着的物体在到达目的地111阿基里斯追龟假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，而乌龟在阿基里斯前100米处，二者同时同向起跑，当阿基里斯追到100米时，乌龟前进了10米；阿基里斯追上了10米，这时乌龟又前进了1米；阿基里斯又追上1米，乌龟又前进了0.1米，...，阿基里斯总要经过乌龟的起点，即阿基里斯总在乌龟的后面，不管这个距离如何短。所以阿基里斯永远追不上乌龟。阿基里斯追龟假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，而乌龟在阿基里112飞箭不动一只飞着的箭在一定的时间内经过许多点，但在每一个瞬间都占有一个特定的位置，它在这一瞬间是不动的，无限个不动的瞬间的总和还是不动，所以飞箭不动。如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，矛盾！飞箭不动一只飞着的箭在一定的时间内经过许多点，但在每一个瞬113Ⅲ、普罗克鲁斯悖论一个无穷大＝两个无穷大Ⅲ、普罗克鲁斯悖论114Ⅳ、亚里士多德悖论大小不同的两个圆周长相等Ⅳ、亚里士多德悖论大小不同的两个圆周长相等115Ⅴ、伽俐略悖论：“部分等于全体”Ⅴ、伽俐略悖论：“部分等于全体”1162、贝克莱悖论：1650年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，使数学进入了变量时代，但当时的微积分理论还不是很严密，例如关于实无穷小量，产生了严重的逻辑困难，因而导致了第二次数学危机。2、贝克莱悖论：1650年，牛顿和莱布尼兹创立了117①、展开，含有，当时认为是有限的非零的量，要多小就有多小，在展开式中不去掉；②、但求导数时，又可以把高阶无穷小去掉。①、展开，含有，当时认为是有限的非零118Newton认为，对函数有

Newton认为，对函数119英国的贝克莱（Beckly）大主教说：“是逝去量的鬼魂！”——招之即来，挥之即去。马克思在《数学手稿》中也曾说过：“把高阶无穷小去掉是暴力镇压！”---导致了第二次数学危机。英国的贝克莱（Beckly）大主教说：“是逝去量的鬼魂！”—120分析的严密化过程17－19世纪①、分析学最后归结为实数理论Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分划说——对数轴用不同的分划有不同的有理数和无理数Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理数的逼近构造无理数微积分理论建立在实连续统的基础上分析的严密化过程17－19世纪①、分析学最后归结为实数理121②、集合论的建立集合论的建立成为整个现代数学的基础。它的创始人是康托Cantor，1829－1920，德—朴素的集合论②、集合论的建立集合论的建立成为整个现代数学的基础。它的创122结论：到19世纪，现代数学是建立在实数理论和与它相联系的集合论的基础上的。这样，分析的严密化过程基本结束。结论：到19世纪，现代数学