2022年普通高等学校理数统一模拟招生考试新未来4月联考试卷

2022年普通高等学校理数统一模拟招生考试新未来4月联考试卷阅卷入一、单选题(共12题；共24分)得分(2分)复数Z满足/022?=昌，则复数z=( )A4t3. R43. r4,3. n43-f■十fI d•—尸一=•十l*•一号>一"?■[【答案】D【解析】【解答】由?2=一1,i4=1可得j2022="505+2=(产/5.田=_],则一z=7r、/ J3-53-5+4-53-5-4-5故答案为：D.【分析】利用复数的几何意义，以及复数的除法运算，即可求解.（2分）已知全集U=R,集合4={训、=2工，x>1},B=（x\-2<x<4},则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.[—2,2] B.(—2,2) C.(—2,2] D-[—2,2)【答案】C【解析】【解答】因为A={y|y=2X,x>1},所以A=(2.+oo),又B={x|-2<x<4],全集U=R,所以图中阴影部分表示的集合为Bn(GM)=(-2,2].故答案为：c.【分析】由已知求出集合A,B,以及B的补集，根据韦恩图可得答案.（2分）新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据:月份代码X12345碳酸锂价格y(万元/kg)0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为y= +0,16,则( )A.0.28 B.0.29 C.0.30 D.0.31【答案】A【解析】【解答】由表中数据可得元=1+2+：+4+5=3, 0.5+0.6+1+1.4+1.5=1)TOC\o"1-5"\h\z5 z 5代入线性回归方程1=方x3+0.16,得5=0.28.故答案为：A.【分析】根据表格求出元=3,歹=1,代入计算即可(2分)已知亍出丝_=1,则tana=( )1—cosza3D.3A.-3 B.-1 C.D.3【答案】D【解析】【解答】2sinacosa_cosa_]

2sin2a—sina-【解析】【解答】・•tana=3•故答案为：D【分析】利用三角形的恒等变换及同角三角函数的基本关系可得结论.(2分)在等比数列5｝中，“四>。2”是>。6”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】设公比为q,由a1>a2%-a2>0Q«1(1—q)>0,由ci3>。6o—。6>0oaicl2~a】q5>00a1q2(l—q3')>0>所以aiq2(l—q)(l+q+q2)>0.由l+q+q2=(q+引之+彳〉。，qHO,可得：Q3>。6 。1(1—q)>。，所以“即>。2”是七3>。6”的充要条件.故答案为：C【分析】由>。2o%(1-q)>0,由。3>%oa1q2(l-/)>0,即aiq2(i一q)(i+q+q2)>0,结合1+q+q?=(q+32+*>0,所以“%>a?”是“。3>a6”的充要条件.(2分)为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了6名教师支援新疆4个不同的地区，要求A,B两个地区各安排一人，剩下两个地区各安排两人，则不同的分派方法有( )A.90种 B.180种 C.270种 D.360种【答案】B【解析】【解答】根据题意，分4步进行分析：①在6人中选出1人，安排在A地区，有6种选法；②在剩下5人中选出1人，安排在B地区，有5种选法；③在剩下的4人中选出2人，安排在C地区，有或=6(种)选法；④最后2人安排在D地区，有1种选法；则有6X5X6X1=180(种)安排方法.故答案为：B【分析】根据分布乘法求解即可.(2分)在高一入学时，统计高一(1)班所有同学中考数学成绩的方差为m(m>0),后来又转学来一位同学，若该同学中考数学成绩恰好等于这个班级原来的平均分，且现在这个班级数学成绩的方差为则这个班级现在的学生人数为()A.51 B.52 C.53 D.54【答案】B【解析】【解答】设高一(1)班原来的人数为n,这n个人的成绩分别为小，*2，…，&，有元=11-(X1+x2+—+xn)»m=-[(%1-x)2+(x2-X)2+…+(xn-x)2]»可得mn=(%!-元)2+(x2-元)2+…+(xn-x)2,故签=磊[(Xi-x)2+(x2-x)2+…+&一元)2+(元一五)2]=罂,解得n=51,可知这个班级现在的学生人数为52.故答案为：B【分析】设高一(1)班原来的人数为n,根据平均数与方差的定义得m= -无产+(*2一云)2+…+(xn-元)2],多个平均数后耳啰=岛山勺-X)2+(x2-元)2+-+(x„-%)2+(x-元)2]=器，解得n=51,可得班级现在的学生人数•(2分)己知函数/(x)=/elx|,a=/(log23),b=f(-logs8),c=/(-21001)»则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】【解答】显然，定义域为R,由/(一切=f(x)可知函数/。)为偶函数，又当x>0时，/(%)=x2ex,有f'(x)=(7+2x)e*>0，可知函数/(x)的减区间为(一8,0),增区间为[0,+00),又由log23=Wlog29>*log28=2'1唯3<log24=2.Q Q Qlog58=31og52=^log54<^log55=J,21001>2,由b=/(log58),c=/(21001).可得c>a>b.故答案为：D.【分析】先判断出/(x)为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较log23,log58,21°°1的大小，再由单调性即可求解.(2分)某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1,那么该四棱锥的最长棱长为( )

【答案】C【解析】【解答】根据四棱锥的三视图可得四棱锥P-4BCD,如下图示,.,•该四棱锥的最长棱长为PB=Vl2+22+32=V14-故答案为：C【分析】根据三视图画出立体图，应用长方体结构特征计算最长棱长即可.(2分)若函数/(%)过点(0,V2)，其导函数/(x)=Acos(2x+@)(4>0,0<<p<£)的部分图象如图所示，则/(兀)=( )A.0 B.1 C.4 D.V2【答案】D【解析】【解答】因为导函数过点(看,0),所以Acos(4+9)=0,所以孚cos0—孕sin</>=0,即tan<p=1,又。<0〈自，所以少=$所以/1(x)=Acos(2x+»根据图像易知/'(%)过点(0,V2),代入得4=2,所以f'(x)=2cos(2x+9,所以设/(%)=sin(2x+/)+九，因为函数/(x)过点(0,V2).所以si吟+h=/，所以h=¥，所以/(x)=sin(2x+今)+冬所以/(兀)=sin今+?故答案为：D.【分析】因为导函数过点G，0),代数求值得tanw=l,所以w=全根据图像易知f'(x)过点(0,V2),代入得4=2,所以f'(x)=2cos(2x+9,设/1(X)=sin(2x+/)+以过点(0,&)求得h=多所以/'(%)=sin(2x+/)+冬从而求得/(兀)的值•(2分)对任意x>0,不等式e*-ln(ax)+(1—a)x20恒成立，则正数a的最大值为( )A.疵 B.白 C.1 D.e【答案】D【解析】【解答】•••解-ln(ax)+(1-d)x>0,.,.x+ex>ln(ax)+ax=In(ax)+/“2).令/(x)=x+ex,则不等式化为/(x)>f(ln(ax)).V/(x)=x+ex[x>0)为增函数，'.x>ln(ax),即a<%.令g(x)=g，则g'Q)=a要”，当0<x<l时，g(x)<0>即g(x)递减；当x>l时，g\x)>0.即g(x)递增；所以g(x)min=g(l)=e=>a<e.；•实数a的最大值为e.故答案为：D

【分析】由题意得％+e"2ln(ax)+qx=ln(ax)+?皿。幻，令/(x)=x+e%,则不等式化为f(x)N/(ln(ax)).令g(x)=更，则9'。)=七尹，根据导数分析函数g(x)的单调性，得到所以X Xg(x)min=g⑴=e^a<e.(2分)已知Fi，尸2分别为双曲线3一/=1Q>。，b>0)的左焦点和右焦点，过尸2的直线1与双曲线的右支交于A,B两点，△A&F?的内切圆半径为勺，△BaF2的内切圆半径为上,若勺>r2,且直线1的倾斜角为60。，则会的值为( )A.2 B.3 C.V3 D.2^3【答案】B【解析】【解答】记AAFiB的内切圆圆心为C,边AF],AF2,F/2上的切点分别为M,N,E,则C,E横坐标相等，则|AM|=|AN|,|FiM|=旧用，|尸2川=旧用,由-MF2I=2a,即|4M|+IMF/-(|AN|+INF2。=2a,得|MF/-|NFz|=2a,即|&E|-\F2E\=2a,记C的横坐标为劭，则EQ。，0).于是%o+c-(c-Xo)=2a,得X。=a,同理△BF1F2的内心D的横坐标也为a,则有CD1x轴，由直线的倾斜角为60。，则/OF2。=30°,zCF2O=60°,在△CEF2中，tanzTFz。=tan60。= 可得门=V5|EF2l，在△DEF2中，tanzDF2O=tan30°= 可得屯=乎区尸2卜一丽2人阴E."故答案为：B【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.阅卷入二、填空题（共4题；共4分）得分（1分）己知非零向量优方的夹角为9\a\=V3,a1（a-6）.贝响=.【答案】2（解析】【解答】由五1（3—石）得d（a-b）=\a\2-ab=\a\2-|a|■|b|cos^=3—浙|=0,解得向=2.故答案为：2【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得：|中2-2）=|“一面.|&COS亲，解出|山=2.{2x—y—1<0.x+y-2<0,,贝Uz=x+3y的取值范围3x-y>0,为.【答案】[-10,5]【解析】【解答】由线性约束条件作出可行域，如图所示

作出直线x+3y=0并平移使它经过可行域的点，经过4时,O，所以,«■).\,y=2此时Z取得最大值，即Zmax=/+3x|=5.作出直线x+3y=0并平移使它经过可行域的点，经过8时,小渭口解瞰：二；，所如(T-3).此时Z取得最小值，即Zmm="1+3X(-3)=-10.所以可知z的取值范围为[-10,5].故答案为：[-10,5].【分析】由线性约束条件作出可行域，根据z=x+3y的几何意义求解即可.1(1分)已知数列｛a九｝满足刖=2,即+i-2=+2九(九€N)则数列｛；；-｝的前2022项的和Lt兀【解析】【解答】由题意可知，满足臼=2,%+i—册=2几+2,当n>2时，—an_j=2(n—1)+2=2n,

・•・g—=4,%—=6,a4—a3=8,…，an—an_i=2n,以上各式累加得，=Q1+（。2-。1）+（。3-。2）+（。4—03）+…+Qn—^n—1）=2+4+6+8+…+2n._（_（2+2n）n=n（n+1），1 1 11当n=l时，即=2,也满足上式，...即=〃5+1)，则遍=而而=同一行!•二数歹见今｝的前n项和为Sn=/+/+…+/=l_：+/_g+…+:一/1=1_21=信，・c_2022•••>2022=2023,故答案为：需I【分析】由题意可知，满足勺=2,当nN2时，an- =2(n-1)+2=2n,所以即=国+1111(a2~al)+(a3~a2)+(a4~a3)+…+(an~an-l)=n(n+1),—="计］)=元一根据裂项相消求得前2022项的和.(1分)已知点F为椭圆C：^+£=l(a>b>0)的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线1,若直线1上存在点P满足cosnOPF=%^，则椭圆C的离心率的取值范围为.【答案】［2+浮,D【解析】【解答】如图

., 一,, s 1设F(c,0),P(a,m),其中?n>0,右顶点为A,由cos/OPF=商，贝Ijsin/OPF=面,1tanzOPF=子，又由tan"0A=又由tan"0A=募,tan^PFA= 有tanZOPF=tan(zP04-/.PFA)=m_m万q+c71+^—

q"+qcmea24-ac4-m2'me me_me_c c1又由砂+成+路-2k2：c)m2-2m商+a12商+砒'有25n当且仅当a?+ac=时取等，整理为25c2-4此一4a2NO,可得25e2-4e-4N0,解得组舞ge<L故答案为：［2+,浮,1）.【分析】设F（c,0）,P（q,巾），其中m>0,由coszOPF=卷求出taniOPF=g结合正切的差VZo 5C角公式及基本不等式求得tanQ°PF）W/ ,解不等式即可求得离心率的取值范围.阅卷人三、解答题（共7题；共70分）得分（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin与C=asinB.（1）（5分）求角A的大小；（5分）若D为8C边中点，且40=2,求a的最小值.【答案】（1）解：•.•bsin且扰=QsinB,=asinB,即bcos?=asinB.由正弦定理得sinB•cos^=sinA-sinfi.A AAVsinBH0, cos=sinA=2sin2cos•M.A1cos2。0，••sin2^=2*TOC\o"1-5"\h\z又,.•o<2<3,-'4=^ =?2 2 2 6 J（2）解：：D为BC边中点，，2亚=万+而，即4|而产=（同+而产，AD=2,.*.16=c2+b2+2bccosA,.,.b24-c2=16—bc>：.2bc<b2+c2=16-bc,即beW苧，当且仅当b=c=隼时取等号，J 3,**a2=b2+c2-2bccosA=h24-c2—he=16—2bc，.*.a2>16-2x^=^即aN攀A的最小值为竽.【解析】【分析】⑴根据诱导公式及正弦定理得sinB-cos^=sinA-sinB，进而化简得sin^另，从而求得4=J；(2)根据D为BC边中点，可得2而=而+而，即4|而产=(而+/)2,根据余弦定理得16=c2+b2+26ccosA即。2+c2=16-be，根据基本不等式即可求出a的最小值.(10分)灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上.只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为常且每局比赛都分出了胜负.(5分)求比赛结束时乙获胜的概率；(5分)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X,求随机变量X的分布列.【答案】(1)解：比赛结束时，乙获胜有三种情况：①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，TOC\o"1-5"\h\z比赛结束时乙获胜的概率P= + + = + =(2)解：由题意可得，X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-铲=券八八7V、2 3 3,3 2 3 36P(X=1)=耳*耳*耳+耳乂耳乂耳=Y25»44P(X=2)=1—P(X=0)—P(X=1)=市..•.X的分布列为X012P(X)9253612544125【解析】【分析】(1)根据已知条件，分别求出乙两场获胜和三场获胜的概率，并对所求得结果求和，即可求解；

（2）由题意得，X的所有可能取值为0,1,2,分别求出对应的概率，即可求解.（10分）如图，在三棱锥P-ABC中，D,E分别为AC,PB的中点，且AD=DB,EC_L平面ABC.（1）（1）（5分）证明：AB1PC；（5分）若AC=2BC=26EC，求锐二面角8-4P-C的大小.,jr【答案】⑴证明：:D为AC中点，且・,•乙48C=会即481BC._L平面4BC,4Bu平面ABC,：.EC1AB.'：BCQEC=C,."BJ"平面EBC.又u平面BCE,：.AB1PC（2）解：由（1）可知，以BC为x轴，8/为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设EC=a,<AC=2BC=2^EC，；.B(0,0,0),E(百a,0,a)，P(2岛，0,2a),4(0,3a,0).C(V3a,0,0),nBA=0,

.n-FP=0nBA=0,

.n-FP=0.设平面PAB的法向量为五=（xi，y1（zi）,有3ay1=0, 人 9 「,—1,得7i—(1>0,—V3).2a/3q%i+2azi=0,

设平面APC的法向量为隹=(必，z2)-由前=(Via,-3a,0),CP=(V3a,0,2a),wfZc.m=V3ax2-3ay2=0 =则力=?,,2=-3(CP•m=V3ax2+2az2=0可得钻=(2百，2,-3),有正•方=275+375=56，|fn|=V12+4+9=5,|n|=2,...二面角B-AP-C的余弦值为|cos<m,n>\=犀豆=缪=孚,故锐二面角B-AP-C的大小为专.【解析】【分析】D为AC的中点，且AD=CB,推出AB1BC,根据直线与平面垂直的性质，可推出EC_LAB,从而得到结论;(2)以BC为x轴，BA为y轴，建立空间直角坐标系.设EC=a,设平面PAB的法向量为元=Qi，yvQi，yvZ。，有n-~BA=0,.n-BP=0.推出刘=(1,0,-V3)，设平面APC的法向量为记=(r，y2,Z2),(2国，2,-3),根据向量的夹角运算公式即可求解.(10分)已知函数/(x)=Inx+詈厂*其中aeR.(5分)讨论函数/(%)的单调性；(5分)讨论函数f(x)零点的个数.【答案】(1)解：函数/(*)的定义域为(0,+00),八乃=；在一元二次方程%2+(2—a)x+1=0中，4=(2—a)2—4=a2-4a=a(a—4),①当a<0时，/(x)>0.此时函数f(x)单调递增，增区间为(0,+8),没有减区间;②当0WaW4时，/(%)>0，此时函数f(x)单调递增，增区间为(0,+oo),没有减区间;③当a>4时，一元二次方程*2+(2-a)x+1=0有两个不相等的根，分别记为打，x2(x2>Xi),有Xi+X2=a-2,xrx2=1>0,可得也>打>0,有 a-2-Ja2—4a_a-2+Ja」-4a,%]= 2 ，亚= 2可得此时函数/(%)的增区间为(0,Xi),(x2,+8)减区间为x2),综上可知，当aW4时，函数f(x)的增区间为(0,+00),没有减区间；当a>4时，函数/(%)的增区间为(0,。一2-#2-4与(―+产―4a,+减区间为尸-2- 4aa-2+Ja2-4a( 2 ' 2 )(2)解：由(1)可知：①当aw4时，函数/(外单调递增，又由/(1)=0,可得此时函数只有一个零点为x=1；②当a>4时，由％1%2=1>0，x2>xv可得0<X1<1<0，又由/⑴=0,由函数的单调性可知/Qi)>f(l)=0,f(x2)</(l)=0.当0<x<1且0<*<e-躺，可得lnx<lneW有3+拼<0,可得/(*)<Inx+a—胃=Inx+^<0,当x>e2时»/(x)>Inx—^>lne2—一3=0可知此时函数/(x)有且仅有3个零点，由上知，当aW4时，函数f(x)有且仅有一个零点；当a>4时，函数/(%)有且仅有3个零点.【解析】【分析】(1)对函数/(x)求导，分类讨论a<0,0<a<4,a>4时，函数/(x)的单调性；(2)通过分类讨论当aW4时和a>4时，分析函数f(%)零点的个数即可..2L(10分)已知直线，：x-ky+k-1=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A,B两点，过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线l_Lx轴时，\AB\=4.(5分)求抛物线C的标准方程；(5分)求|。叫的最小值.【答案】(1)解：当直线轴时，x=l,代入y2=2px解得y=土回，=2四=4,得p=2,...抛物线C的标准方程为y2=4x(2)解：设4(*4，为)，B(xb,yB),D(xd,yD).联立得y?-4ky+4k-4=(y/=4%,0-:-yA+yB=4k,力，丫8=轨一4①,•・•直线2：%一/0/+左一1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点，点(1,1)在抛物线上，・・・k£0,当直线4。和直线BD斜率存在时，设直线4。：y=mx4-n»联立'mx+n,.\my2—4y+4n=y2=4x,0,A=16—4m-471=0,Am-n=1, 同理，设直线BD：y=ox+b,则ab=1,yB=联立(y=mx+n9. =焉'[y=ax+b,,，U=1+1.由①可知2+2=4k,2.2=4k_4,：.1+1-L=2,即%一2孙=2,...点D在直线24—mama mama uy+2=0上.当直线AD或直线BD斜率不存在时，即直线1过原点时，k=l,过原点的切线方程为x=0,易知另外一点为(4,4)>过点(4,4)的切线方程设为x-4=t(y-4),联立,一2c一,)，得y2一也+的一16=0,Zl=16t2-4(16t-16)=0,解得t=2,即切线方程y=4x+2.此时交点D的坐标为(0,2),在直线2%-y+2=0上，故OD的最小值为原点到直线2x-y+2=。的距离，即专=等.【解析】【分析】(1)直线！%轴时，x=l,代入V=2p%,求得，y=±/^，可得|4B|=4,解出P的值，进而得到抛物线的方程；⑵设4(44，X4)，B(xb,yB),D{xd,yD).联立,卜?：/0-运用韦达定理得力+yB=4k,yA-yB=4k-4,再由导数的几何意义可得A,B处的切线方程，联立得。的坐标，再由两点的距离公式和二次函数的最值求法，可求得|0。|的最小值.(10分)在平面直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为pcos。+psin。-2=0.(5分)求曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程；1 1(5分)若直线1与曲线C交于P,Q两点，且点M(0,2),求扁+扁f的值.【答案】(1)解：曲线C的参数方程为卜=3,(t为参数)，ly=2t2转化为直角坐标方程为“2=%可得y=2/;直线1的极坐标方程为pcos。+psin0-2=0,转化为直角坐标方程为x+y-2=0(氏(2)解：把直线1的方程换成参数方程，得1 2 (t为参数)，代入d=今"+会得产—乎t—2=0，・・亡1+以=芋，11以=—2，显然ti，。异号,由+扛=闯,|MQ|=|t2p1 1_1,1+11+1切1“—21_J(tl+t2)2-4qt2—炉—国商+两=符十寸= =~~\t^\ =2=—【解析】【分析】(1)消去参数可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标系方程的互化公式可得直线的直角坐标方程；(2)首先写出直线的参数的方程，然后结合参数方程的几何意义即可求出舄可+高的值.(10分)已知函数/(x)=氏-1|+|x+2|.(5分)求不等式/(x)W5的解集；(5分)设时，/(x)的最小值为M.若正实数a,b,满足a+b=M,求金y+*7的最Q十1D~rZ小值.【答案】⑴解:/(x)=|x-l|+|x+2|<5,当％W—2时，不等式化为—％+1—%—245,解得％N—3,此时—3WxW—2；当一2VxVI时，不等式化为一x+1+x+2=345,恒成立，此时一2VxVI；当x>1时，不等式化为x—l+x+2=2x+lW5,解得％<2,此时1<x<2.综上所述，不等式的解集为[-3,2](2)解：f(x)——11++21N\x—1—x—2\=3.所以M=3,即a+b=3.所以(a+1)+(b+2)=6,当且仅当a+l=b