高等数学课件：导数的定义

一、引例1.变速直线运动的速度则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为或，其中设描述质点运动位置的函数为一、引例1.变速直线运动的速度则到的平均速12.曲线的切线斜率当点N沿曲线C向点M无限接近时，割线MN的极限位置MT定义为曲线C在点M处的切线。，的点上异于点任取曲线NMC2.曲线的切线斜率当点N沿曲线C向点M无限接近2曲线切线的斜率求曲线在的点

处切线的斜率。曲线切线的斜率求曲线在的点处切线的3两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量4二、导数的定义定义1.

设函数在点的某邻域内有定义

,记作:并称此极限为则称函数在点处可导,在点的导数.即如果下面的极限存在二、导数的定义定义1.设函数在点的某邻域内有定义,记5导数的一般意义是对于因变量变化快慢的度量。由所以在有些应用中直接称之为变化率。导数的一般意义是对于因变量变化快慢的度量。由所以在有些应用中6记作:注意:若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.就称函数在

I内可导.若也称在的导数为无穷大.此时切线的倾角切线先求导后代值记作:注意:若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成7

单侧导数即在点的某个右邻域内若极限定义2

.

设函数有定义,则称此极限值为在处的右导数,记作存在,同理可定义左导数，记作函数在一点可导的充分必要条件是在该点的左右导数都存在且相等单侧导数即在点的某个右邻域内若极限定义2.设函数有定义8例1.

求函数(C

为常数)的导数.解:即例2.

求函数解:的导数.

例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数9说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明10例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得例3.求函数的导数.解:则即类似可证得11例4

求函数的导数解:则例4求函数的导数解:则12例5.

求函数的导数.

解:

即或例5.求函数的导数.解:即或13求解:

当时，时，当由于当时，得

于是例6求解:当时，时，当由于当时，得于是例614三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:经过曲线的切点，垂直于切线的直线称为曲线在该点的法线。三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:15例7.

问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行16四、

函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处17内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必18思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数思考与练习1.函数在某点处的导192.设存在,则3.

已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可205.

设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时21一、引例1.变速直线运动的速度则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为或，其中设描述质点运动位置的函数为一、引例1.变速直线运动的速度则到的平均速222.曲线的切线斜率当点N沿曲线C向点M无限接近时，割线MN的极限位置MT定义为曲线C在点M处的切线。，的点上异于点任取曲线NMC2.曲线的切线斜率当点N沿曲线C向点M无限接近23曲线切线的斜率求曲线在的点

处切线的斜率。曲线切线的斜率求曲线在的点处切线的24两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量25二、导数的定义定义1.

设函数在点的某邻域内有定义

,记作:并称此极限为则称函数在点处可导,在点的导数.即如果下面的极限存在二、导数的定义定义1.设函数在点的某邻域内有定义,记26导数的一般意义是对于因变量变化快慢的度量。由所以在有些应用中直接称之为变化率。导数的一般意义是对于因变量变化快慢的度量。由所以在有些应用中27记作:注意:若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.就称函数在

I内可导.若也称在的导数为无穷大.此时切线的倾角切线先求导后代值记作:注意:若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成28

单侧导数即在点的某个右邻域内若极限定义2

.

设函数有定义,则称此极限值为在处的右导数,记作存在,同理可定义左导数，记作函数在一点可导的充分必要条件是在该点的左右导数都存在且相等单侧导数即在点的某个右邻域内若极限定义2.设函数有定义29例1.

求函数(C

为常数)的导数.解:即例2.

求函数解:的导数.

例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数30说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明31例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得例3.求函数的导数.解:则即类似可证得32例4

求函数的导数解:则例4求函数的导数解:则33例5.

求函数的导数.

解:

即或例5.求函数的导数.解:即或34求解:

当时，时，当由于当时，得

于是例6求解:当时，时，当由于当时，得于是例635三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:经过曲线的切点，垂直于切线的直线称为曲线在该点的法线。三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:36例7.

问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行37四、

函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处38内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必39思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数思考与练习1.函数在某点