2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点六十五离散型随机变量及其分布列、均值与方差

六十五离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础落实练

3（）分钟6（）分iC,3【解析】iC,3【解析】选C.由分布列的性质,得=1,解得a=3,所以夕（才=2）=2X3一、单选题（每小题5分，共20分）.设随机变量力的分布列为P（x=i）=止（7=1,2,3）,则尸（淤=2）等于（ ）乙a1A-9.已知X的分布列为设勺21+3,则以力的值为（设勺21+3,则以力的值为（X-101P121316)7A.-7A.-B.4C.-1D.1【解析】选A.£Q）=-lxRox；+1X、_1-33.有10件产品,B.1514C.正D.1CC：7CC：7-15,C；尸(f=2)=-r3o号，所以f的分布列为C 7 7£(D=£(21+3)=2£Q)+3=—鼻+3=-.o o其中3件是次品，从中任取2件，若f表示取到次品的件数，则£（门等于（【解析】选A.f的所有可能取值为0,1,2,A<=0）=—=—，.（f=1）=§012P715715115TOC\o"1-5"\h\z7 7 13所以以f)=0X正+ix—+2X—=-.10 10 1o0【加练备选】一道试题,_4 &一道试题,乙解出的概率为三.设解出该题的人数为X则〃(乃等于□22A.-B.86225225C 484D.22585【解析】22A.-B.86225225C 484D.22585【解析】选B.X的可能取值为0,1,2.因为尸(¥=0)=；o1X5115, ,21146 , 、2 4,尸3=1)=§X5+3X5=15'尸(>=2)=5X5以才的分布列为所以少(给=0X7710X012P115615所以少(给=0X7710X012P1156158158 22+1Xl5+2Xl5=1522TKx0-T5152+9'(I221522152 86=225,.设OVpVl,随机变量f的分布列是则当夕在(0,1则当夕在(0,1)内增大时，(012P1一。212P2)A.〃(GA.〃(G减小B.〃(9增大C.〃(门先减小后增大 D.〃(9先增大后减小【解析】选D.由分布列可知£(f)=OX宁+ix1+2X§=p+),所以方差〃(f)=

乙 乙 乙 乙jo一夕一X^;^-+[1—0—x1+（2—0—温=~p+p+t，所以〃（f）是k 乙, 乙I, 乙,/ \ 乙）乙 X关于0的二次函数，开口向下，所以〃（f）先增大后减小.二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.已知随机变量才的分布列为4a910P0.30.1b0.2若£0）=7.5,则以下结论正确的是（）A.a=7 B.6=0.4C.E(aX)=52.5 D.£(1+6)=7.9【解析】ABCD.由0.3+0.1+6+0.2=1,得6=0.4.因为析力=4X0.3+aXO.1+9X0.4+10X0.2=6.8+aXO.1=7.5,所以0.la=0.7,所以a=7.所以E(aX)=aE(#=1 .5=52.5,£(X+6)=7.5+0.4=7.9.6.已知随机变量f的分布列如表，则()-10aP42+a3TA.b=ai5£（9的最大值为一三£（f）的最小值为一*【解析】选BC.根据分布列的性质得，所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到6—a=0,a=bG—1.根据公式得到£（f）=—1X；+a（g-b）=-；+£—°），化简得到F（9=一5+；b~\.根据二次函数的性质得到函数最大值在对称轴b=\处取4 4 o得，代入得到剧二一||，最小值在6=6处取得，代入得到代）=-1.

三、填空题(每小题5分，共10分).已知随机变量f的分布列为123P0.5Xy若E(f)=—，则0(f)=O1x=g,3尸1x=g,3尸于TOC\o"1-5"\h\z15 1I又£(0=不，得2x+3尸不，可得〈o o2 3 55V 8-64,,、( ⑸2 12 3 55V 8-64,"口=(17x2+12-TJx8+(3-4_. 55答案:就.在一次随机试验中，事件/发生的概率为0,事件4发生的次数为八则数学期望以门=,方差双。的最大值为.【解析】记事件R发生的次数f可能的值为0，1.01p1—pp数学期望仪f)=oxa-p)+ixp=p,方差D(&)=(0—p)2X(1—p)+(l—p)"Xp=P(l—p).故数学期望£(0=",方差。(f)的最大值为：.答案：p-陲邕3 【加练备选】若随机变量才满足〃4c)=l，其中C为常数，则仅X)的值为【解析】因为尸(x=c)=l，所以MX)=cxi=c,所以Z?（l）=（c-c）2Xl=0.答案：0四、解答题（每小题10分，共20分）9.（2022•吉林模拟）某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在［80,100］评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在［60,80）评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在［40,60）评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在［20,40）评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为人求X的分布列与数学期望£0）.【解析】⑴得分［20,40）的频率为0.005X20=0.1；得分［40,60）的频率为0.010X20=0.2；得分［80,100］的频率为0.015X20=0.3；所以得分［60,80）的频率为1-（0.1+0.2+0.3）=0.4.设班级得分的中位数为x分，于是x—600.1+0.2+--X0.4=0.5,解得x=70.所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70.（2）由（1）知评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1.由题意可得力的所有可能取值为1,2,3,4,5,6

, 、c：C；2 , 、C；+C；C；1 , 、C；C；+C2W-D-'2〜-4,,W-2)-2J' 3)—1 2, 、C： +c' C； 4。(才一4)一 2 一R,C,o 15, C： C； 4 、c； 1W-5)-C^o“"("6)飞—15'所以才的分布列为C；_11一45，X123456p2451911454154151152 1 11 4 4 1 171 19M-1X+2Xq+3X_+4X,-+5X”+6X,--—二.所以X的数学期望£(给=19T10.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选19T项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15%,7 2且这两种情况发生的概率分别为§和§;项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能损失30%,也3 1 1可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为E，鼻和左.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【解析】若按“项目一”投资，设获利为4万元，%的所有可能取值为300,-150.则冰的分布列为4300-150P79297 2所以£(4)=300Xg+(-150)X-=200(万元).7 2Z?(^)=(300-200)2X-+(-150-200)2X-=35000,

若按“项目二”投资，设获利％万元，%的所有可能取值为500,-300,0.则友的分布列为%500-3000P35J.3115TOC\o"1-5"\h\z3 1 ]所以£(及)=500又三+(—300)X-+0X—=200(万元)，5 3 153 1 1Z?U)=(500-200)2X7+(-300-200)2X-+(0-200)2X—=140000.□ 0 10所以£(%)=£(%),〃(以<〃(4),这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.素养提升练 2()分钟4()分.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后,从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为人则彳的均值£(给等于()TOC\o"1-5"\h\z126 6 168 7A-T25B*5C•砺D*5【解析】选B.125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，97 54 36 8所以从中随机取一个小正方体，涂漆面数X的均值£0)=赤X0+—X1+—X2+—125 125 125 125X3X3=150125.(多选题)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是()A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为々loB.四人去了同一餐厅就餐的概率为不为1zyo95C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为市2D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为§【解析】选ACD.四人去餐厅就餐的情况共有6,种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，bA,5则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为全=—,故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为《=上，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为S萨=需，TOC\o"1-5"\h\zbzlb o21b故C正确；54设四人中去第一餐厅就餐的人数为f,则f=0,1,2,3,4.则P(f=O)=m，P(f=l)C：53 , 、C：5? , 、CX5, 、1=~T；-,P(f=2)=-T；-,P(f=3)=T；,f=4)=T7,0 0 o 0则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为01234P51c：536,C；£6,C；X56"1c« r1c3r2c2dX5则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值£(f)=OX5+1X-^-+2X-^-+3X-^r-+TOC\o"1-5"\h\z1 24X^7 ,故D正确.£即蜜I 【加练备选】(多选题)(2021•杭州模拟)已知随机变量f的分布列如下：012

Pb—aba则当a在(0,J内增大时()A.£(f)增大 B.减小C.〃(f)先增大后减小D.〃(门先减小后增大【解析】选AC.由随机变量f的分布列得"0W6—hWI,0W6W1,< 解得6=0.5,0WaW0.5,所以£(f)=0.5+2a,OWaWO.5."―a+b+a=1,故a在(0, 内增大时，£(f)增大.〃(f)=(-2a-0.5)2X(0.5—a)+(0.5-2a)2X0.5+(1.5~2a)2a1 (H2 1=-4a+2a+-=—4^a--J+-,所以当aG(0,时，〃(门单调递增，当0时，〃(f)单调递减.93.现有4B,C3个项目，已知某投资公司投资力项目的概率为鼻,投资反。项目的概率均为夕，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X=0)=今,则随机变量才的均值£0)=.【解析】由题意可知，才的所有可能取值为0,1,2,3,由于尸(彳=0)=*,故］(1—。"=*，所以.1-21-1-21-2XX1-21-2XX1-31-3.4-F1-644-1-21-2XX2-121-21-25121-32-3+-+1-21-24-12XX-.(才=1)=-x-O乙, 、2 1W=2)=-X-*J乙,、1/?(J=3)=1--i i 5 1 5所以夕(a=OXr+1x-+2X—+3X-=-.•L乙 O J.乙 \JO答案：2.随机变量才的分布列如下：X-101Pabc其中a,b,c成等差数列，则P(|X|=1)=,公差d的取值范围是—【解析】因为a,b,c成等差数列，所以26=a+c.又a+6+c=l,所以,2所以。(|川=l)=a+c=g.又a=；d,c=g+d,TOC\o"1-5"\h\z12 12 1 1根据分布列的性质，得+d^~,所以一鼻W运Q.o o o o o o田a2 「1 1答案：三一三，TO oo.现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率]_21838购买基金:投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率P13Q⑴当。时，求g的值;(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至4少有一人获利的概率大于W,求夕的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知。=:，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数乙 O学期望较大？请说明理由.【解析】(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种1 1 5投资结果相互独立，所以+q=l.又0=],所以<?=适.(2)记事件[为“甲投资股市且获利”，事件8为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利"，则。U7BUAB,且4月独立.由题意可知，夕(4=；,P=p,———11111所以P(O=P(AB)+P(A+P(A殓=-(1-p)+-p+-p=3+-p.乙 乙 乙 乙乙TOC\o"1-5"\h\z1 1 4 3因为尸(。=5+$P>7，所以"三.2 2 5 51 2又2+鼻+q=l,g20,所以夕W鼻.O o(32'所以P的取值范围为旨g.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，则随机变量X的分布列为X40-2P1218383 5则£Q)=4X?+0X-+(-2)X-=-.Zo o4假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，则随机变量卜的分布列为Y20-1

P121316则£(»=2X：+0x1+(-1)因为/所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.6.在某电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如图所示的频率分布直方图.频率屈O424O424方433.O.0.0O,0.0.0.014- 0.010- । ।]O253