2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点五十四圆锥曲线中的最值、范围问题

五十四圆锥曲线中的最值、范围问题2 2 后1.椭圆反~ 5=1(a>6>0)的离心率是手，过点P(0,1)作斜率为A的直线/,椭圆a b 3£与直线/交于48两点、,当直线/垂直于y轴时|力8|=3、R.(1)求椭圆£的方程；(2)当女变化时，在x轴上是否存在点欣加，0),使得的是以48为底的等腰三角形，若存在，求出勿的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由已知椭圆过点(乎，1),「27147+?=1,可得〈a2=Z?2+c2,c_#叠一3，2 2Yy解得a?=9,5=4,所以椭圆£的方程为§+；=1.⑵设4(*1，%),5(及,%),18的中点。(荀，%),(y=kx-\-\,由消去y得(4+9〃)*+18a*—27=0,忖+Lg、i 二+应 -9k _ 4所以也——^—一百赤‘%一4”。+1一在赤•当杼0时，设过点。且与/垂直的直线方程为__1(19k) 4了-113+9#+4+9〃，5将M(勿，0)代入得m——.7+94k4 f4~若Q0,则7+942、［X9k=12,若AVO,则1+94=——+(-9A)W

-2--(—9k)-2--(—9k)=-12,5 5所以一访WrVO或.当k=0时，m=0,综上所述，存在点〃满足条件，m5 5的取值范围是一丁^2（2022•杭州模拟）如图，已知抛物线C：夕在点A处的切线7与椭圆心-+/=1相交，过点力作/的垂线交抛物线G于另一点8,直线①（0为直角坐标原点）与/相交于点〃,记/(M，%),B(xi,%),且乂＞0.（1）求为一莅的最小值;（2）求署的取值范围.2【解析】（1）因为V=2x,所以切线/的斜率为2%,点4处的切线方程为尸,联立，y=2x,x—x立，y=2x,x—xxf+/=1(l+8x)y-8x4(l+8x)y-8x4x+2x—2=0,

i所以4=644-4(1+8%)(2%-2)＞0,2解得0V营＜4+717,所以直线46的方程为尸x+x.+所以直线46的方程为尸x+x.+］，f1.2.1 3联立， 2,得2为系+4—2X]—由=0,lV=y所以Xi+及所以及一*2=2xi+；22,当且仅当时取等号,乙X*] 乙所以及一及的最小值为2.(2)记点0,3到直线/的距离分别为，，&,所以"=7^7'隈+第=v^卜crr,1^1—虫4x： 4 所以而一%一(1+4/)2~7~\―y'—+4

)2因为0＜营＜4+717,所以」-+4＞正，T74T73+4A.即l^T的取值范围为(°，高.(2022•焦作模拟)已知抛物线G/=2分(0＞0)的焦点为区过点6且垂直于x轴的直线与。交于4B两点,△月阳(点0为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线。的方程;(2)若过点£(0,a)(a＞0)的两直线/“心的倾斜角互补，直线上与抛物线C交于明N两点,直线小与抛物线。交于R。两点，A/W与△碇的面积相等，求实数a的取值范围.【解析】(D因为焦点所以盘，P2'所以盘，P2'-P所以犯=)•2p• =2,解得。=2,乙 乙所以抛物线的方程为/=4x.

⑵设点水为，必)，N@,%)，由已知直线/1，4的斜率存在，且不为0,设直线人x=t{y-a),联立，V=4x联立，V=4xx=t(y—a)所以4=16-2—16aZ>0,y+%=4byxy2=^at,所以|物V|=[1+，|/i—J2I=y]1+t2[16(产-at)=4y/l+eyjf—at,焦点厂到直线Z的距离d=所以五的=3x4以1+广\lt:—atx’旨;2ylF—at11+I,设直线心的方程为x=一「(y—a),联立抛物线的方程，得42=16^+16*>0,将方用一t代换，得S△.田=2«，+/|ta—11,由Smu产Smpq,得2yjt~dt11+=2yft2+atIta-11,化简得、/户="I,两边平方得，产=4,\lt-ata—\ 2—a所以2-a2>0,解得OVaV^,又由4>0且A>。，得tV—a或1>a,知/>才，所以>/,即(，-l)2>0,所以a#l,所以a的取值范围是(0,1)U(1,小).2 2XV(2021•重庆模拟)已知直线x+y=2过椭圆-?+r=1(a>6>0)的右焦点，且交椭圆于auA,A,6两点，线段44的中点是也423,3(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线/与线段4?相交(不含端点)且交椭圆于。，〃两点，求四边形4狈面积的最大值.【解析】(D直线x+y=2与x轴交于点(2,0),所以椭圆右焦点的坐标为(2,0),故c=2,

因为线段46的中点是JTOC\o"1-5"\h\z、 , 8 4设4（久，必），B（xz，%），则乂+是=§,%+%=§,且廿二f2 2 2且廿二f一X\ Y\ X2 %2 2%f-0目一°又一r+下"=1,-i2 2%f-0目一°2 2小出r田&一%作差可得一7~a（苞-%）（而+氏）（苞-%）（而+氏）.（%-%）（%+必）=0得甘=26,又才=万+「2,。=2,所以‘2=4,得甘=26,又才=万+「2,。=2,所以‘2=4,a=8,因此椭圆的方程为卷+《=1;

o4（2）由（1）联立3=184解得,x+y=2（2）由（1）联立3=184解得,x+y=2x=0y=28A=3y=一,不妨令加0,2）,乙3/的斜率存在,2 2/的斜率存在,2 2XV设直线/：y=kx,代入K+t=1•

o4得(2〃+1)*=8,解得X—2m十解得X—2m十:IlV2A2+12m2〃+1设。（“3,必），D〈Xa,必）则I"3—X』=2^+14/2片+1则则।cd\=q1+必।为一黑=71+必•4-22+1因为4=71+必•4-22+1因为4(0,2),8_235-32到直线y=kx的距离分别是j=y[T+H'由于.直线/与线段46（线/与线段46（不含端点）相交,所以(AXO-2)<0,即所以(AXO-2)<0,即k>~\，所以d+4=838-(A+l)o四边形ACB