2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点二十七平面向量的概念及线性运算

二十七平面向量的概念及线性运算基础落实练• 3（）分钟60分一、单选题（每小题5分，共20分）.化简能-AC-BC=（ ）A.2BC B.0C.-2BC D.2AC【解析】选C.因为拔-AC-BC=CB-BC=-2BC..下列叙述正确的是（）A.若非零向量a与力的方向相同或相反，则a+力与a,b其中之一的方向相同/a/+/6/=/a+6/=a与6的方向相同AB+BA=0D.若4W0,4a=46,则a=6【解析】选D.对于A,当a+6=0时，其方向任意，它与a,右的方向都不相同；对于B,当a,b中有一个为零向量时结论不成立；对于C,因为两个向量之和仍是一个向量，所以能+BA=0；对于D,4（&-6）=0时，因为儿W0,所以此时一定有a=b.的铀【加练备选】下列说法正确的是（）A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量，所以该说法错误；对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确；对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量，所以该说法错误；对于选项D,共线向量所在直线可能重合，也可能平行，所以该说法错误.3.（2021•威海模拟）设a,6不共线，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线，则实数0的值为(A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.因为反1=a+b,CD=a-2b,所以砺=BC+CD=2a-b.又因为4B,〃三点共线，所以龙，而共线.设法=入曲，所以2a+pb=4(2a—b),所以2=2儿，p=一4,即4=1,p=-1.4.已知0,A,6是平面上的三个点，直线46上有一点C,满足衣+3乃=0,则应=( )A./应I一,OC ~OA+/OC2一1一 1一,2一C.~OA—~OCD.-04+-0C【解析】选D.因为直线44上一点。满足衣+3乃=0,则位置关系可用如图表示:所以6为线段力。上靠近。的三等分点,则由平面向量的线性运算可得2OB=而+AB=OA+-AC=OA+|(充一洒)=(而+|花露3【加练备选】已知三角形4%是等边三角形，〃为46的中点，点£满足2亦+砺=0,则立=()1 9 9【解析】选A,由2无+BE=0知无=-CB,BE=~BC,所以立=AB+BE=AB+-BC=丽+|(BD+DC)=丽+I卜昴一司4质-洛.二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）5.（2022•济宁模拟）已知4B,。是三个不同的点，OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,则下列结论正确的是（）A.AC=2AB B.AB=BCC.AC=3BC D.A,B,C三点共线【解析】选ABD.由题可得崩=OB-OA=a-2b,AC=OC-OA=2a~4b,BC=花'-OB=a—2b,所以衣=2崩，故A正确；AB=反',故B正确；AC=2比，故C错误；由衣=2葩可得衣〃拔，又力为公共点，故4B,。三点共线，故D正确.6.（2022•德州模拟）有下列命题，其中是真命题的有（）A.若初〃而,则4B,C,〃四点共线B.若而//~AC,则A,B,。三点共线2 1C.若e，e?为不共线的非零向量，a=4ei—-e2,b=—e^+—则5 10D.若向量e,。是两个不共线的向量，且满足等式48+&玦=0,则左=4=0【解析】选BCD.根据共线向量的定义，若而〃用,则46〃徵或4B,C,〃四点共线，故A错；由石〃衣且诵，衣有公共点4则4B,。三点共线，故B正确；由a=4ei—叁.=—4（—=-46,所以a〃Z）,故C正确，若条件等量关系中系数不都为0,则a与色共线，与已知矛盾，故D正确.三、填空题（每小题5分，共10分）在如图所示的方格纸中，向量a,b,c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与Yxa+yb{x,y为非零实数）共线，则；的值为.【解析】设e”比分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量。=。-2e，a=2ei+e>,b=-2e\—2e>,由c与xa+必共线，得c=4（xa+yb）,所以a—2e=24（x-y）6i+）（a—2y）研，'__3_TOC\o"1-5"\h\z[24（x—y）=1, “4'所以1，9、一?所以I口[人（x—2y）——2, 5x 6则一的值为£.y 5_. 6答案：（2021•唐山模拟）在直角梯形力用刀中，N1=90°,N6=30°,A8=2小,BC=2,点E在线段切上，若虚=而+HAB,则〃的取值范围是.【解析】由已知/gl,CD=木,所以贬=2龙.因为点£在线段口上，所以庞=ADC（0WZD.因为港'=AD+DE,2H又衣=AD+u~AB=AD+2uDC=AD+—DE,A所以衅=1，即〃=4".因为OWxWl,所以4/ z—「答案：0，2国【加练备选】若而|=|衣|=|法—衣|=2,则\AB+AC|=.【解析】因为IAB|=|AC|=|AB-AC|=2,所以△46C是边长为2的正三角形，所以|南+AC|为△46。的边比'上的高的2倍，所以|荔+AC1=273.答案：2:四、解答题（每小题10分，共20分）（2022•宣城模拟）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若觉=a,BA=b,BE=3EF,用a,•表示诙.c【解析】BF=BC+CF=BC+1EA=BC(EB+BA}=BC+1卜轲斗南即雄=的+1卜涉十可,53f 16f,12f口r-16 ,12,解得如=—BC+—BA,即斯=—a+—b.25 25 25 25(2022•青岛模拟)如图所示，已知在△力如中，点。是以力为对称中心的点6的对称点,OD=2庞，〃。和04交于点、E,设汤=a,3B=b.⑴用a和b表示向量充，DC；⑵若应'=4应,求实数4的值.TOC\o"1-5"\h\z2 — —【解析】(1)由题意知，力是a1的中点，且勿=§OB,由平行四边形法则，"+OC=2OA,所以窗=2OA—~OB=2a~b,~DC=OC一应？=(2a~b)--b=2a~-b.r 5(2)因为.又因为=0。一应'=(2a-/>)-4a=(2—/l)a—8,DC=2a~~b,所2—A —1 4以F—=T,所以.2 5 5-3•素养提升练 2()分钟4。分.(多选题)下列命题不正确的是( )A.向量a,。共线的充要条件是有且仅有一个实数共，使6=乂8B.在△?!%中，AB+比+CA=0C.不等式〃a/-/b〃W7a+b/W7a/+/b/中两个等号不可能同时成立D.若向量a,6不共线，则向量a+6与向量a—6必不共线【解析】选ABC.对于A,当a=0时，不成立，对于B,0应为0；对于C,当a与b有一个为0或同时为0时，两个等号同时成立，对于D.因为向量a与•不共线，所以向量a,b,a+b与a—b均不为零向量.若a+6与a—6共线，则存在实数3使a+6=4(a—A),即(八—l)a=(1+A)b,

fA—1=0,所以1+40,此时人无解，故假设不成立，即a+b与a—万不共线，故D正确.2.已知平面内一点P及AABC,若用+PB+PC=AB,则点夕与△力比'的位置关系是（ ）A.点尸在线段四上 B.点P在线段6。上C.点P在线段4。上D.点夕在△44。外部【解析】选C.由属I+PB+PC=而知，PA+PB+PC=闲-PA,即死'二一2禽，故点P在线段ACk.I【加练备选】如图，在直角梯形力用力中，46=242=2%,£为a'边上一点，BC=3EC,6为四的中点,则砺=()则砺=()1- 2-A.-AB—~AD—,2---AB+-ADO O2-> 1--AB--AD

O O【解析】选B.根据平面向量的运算法则得砺=；威砺，砺=|比，BC=衣-AB.因为太=AD+DC,DCAB,所以砺=-1AB+1[AD+^AB-AB2f1一=--AB+-AD.oo.（能力挑战题）直线/上有不同的三点4几C,0是直线/外一点，对于向量应=（l-cosa}OB+sin。充（。是锐角）总成立，则。=.【解析】因为直线/上有不同的三点4B,C,所以存在实数4，使得力=ABC,所以涝-0B=八(应-Off),即汤-(1-4)南+AOC,f1—A=1-cosa,所以＜ 所以sina=cosa,{A=sina,因为。是锐角，所以。=45°.答案：45°.在△48。中，点M,N满足初=2MC,BN=NC.若砺=xAB+yAC,则x=【解析】的=MC+CN=~AC+JVb=~AC+]（AB—~AC）AB—7衣=xAB+yAC,2b以所以所TOC\o"1-5"\h\z小生1 1一案：2 -g। 2.在△4函中，N是47边上一点且加您，P是BN上一点,若/=嬴而，求z y实数"的值.fl―► —>lf _> 2f 2f【解析】因为丽=-AZ?,所以说=~AC,所以力=niAB+-AC=mAB+~~AN,因为P乙。 *J2 1是外上一点，所以8P,N三点共线，所以屁鼻=1,则勿=鼻.O O

.经过的重心G的直线与04卷分别交于点凡Q,设赤=丽,0Q=nOB,m,nGR-,求加+/?的最小值.【解析】设应=a,