2023年中考数学一轮复习第8讲：图形的变化

2023年中考数学一轮复习第8讲：图形的变化.规律型：点的坐标规律型：点的坐标..坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题..常量与变量(1)变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量.(2)方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如7T是常量..函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程：②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个..函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.注意：①函数图形上的任意点（x,y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上：③判断点尸（x,y）是否在函数图象上的方法是：将点尸（x,y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上...全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形..等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定..直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+必=^.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式02+房=,2的变形有：a=y/c2_b2,6=，2-22及c=Ja2+b2.(4)由于。2+62='>『，所以c>q,同理即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边..等腰直角三角形(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.HP：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=&+1,所以八/?=1：V2+1..矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角：③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半..正方形的性质(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形,有四条对称轴..正方形的判定与性质(1)正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定..生活中的轴对称现象(1)轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称：这条直线叫做对称轴.(2)轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合..轴对称的性质(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称：②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线..轴对称图形(1)轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.(2)轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折卷时，互相重合：轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条.(3)常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等..镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面(镜子、镜像)对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的(和原来的图形一样).2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴.3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果..关于x轴、y轴对称的点的坐标(1)关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.即点尸(x,y)关于x轴的对称点尸'的坐标是(x,-j).(2)关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.即点P(x._v)关于y轴的对称点P'的坐标是(-x,y)..坐标与图形变化-对称(1)关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数.(2)关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数.(3)关于直线对称①关于直线对称，P(a,b)0P(2m-a,b)②关于直线夕="对称，P(a,b)0P(.a,2n-h).作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足：②直线的另一侧，以垂足为一端点，作•条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形..利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案..剪纸问题一张纸经过折和剪的过程,会形成一个轴对称图案.解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴.一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案..轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线工上的同侧有两个点4、B,在直线Z上有到4、8的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解

第6页共15页决，多数情况要作点关于某直线的对称点..翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折会是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折登和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数..图形的剪拼图形的剪拼..坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x,y）=尸（-x,-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°..几何概率所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点假设点M必落在G中，且点”落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点A/，点M落在G内的部分区域g”的概率尸定义为：g的度量与G的度量之比,即P=g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比,体积比等..列表法与树状图法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出〃，再从中选出符合事件/或8的结果数目m,求出概率.（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果〃.（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.一、选择题（共10小题）（2022•滦南县二模）第一次：将点力绕原点。逆时针旋转90。得到4；第二次：作点4关于x轴的对称点4；第三次：将点&绕原点。逆时针旋转90。得到4；第四次：作点4关于x轴的对称点4；按照这样的规律，点4叱的坐标是（ ）（2022•馆陶县二模）如图是一个钟表，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（）

TOC\o"1-5"\h\z（2021•远安县二模）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）1号袋2号袋4号袋3号袋A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋（2021•商河县校级模拟）如图，AJ8C与ADEF关于直线轴对称，则以下结论中错误的是（ ）NA.AB/IDF B.NB=NEC.AB=DE D.所连的线段被MN垂直平分（2021•金华模拟）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，在。1,C8上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形可能是（ ）

A.B.6.（2021•海淀区校级模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（A.B.6.（2021•海淀区校级模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）（2020•长丰县二模）如图，矩形48CC中，AB=A,对角线4C、8。交于点O,A.2>/7 B.2+道 C.5D.ZJO£）=120°,E为BDA.2>/7 B.2+道 C.5D.（2020•新都区模拟）平面直角坐标系中，已知点P（a,3）在第二象限，则点尸关于直线机（直线机上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（ ）A.（一a，3） B.（a,-3） C.（一a+2,3） D.（-a+4,3）（2020•南昌县模拟）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种.

A.6B.5A.6B.5C.4D.3（2019•常州模拟）点M（l,2）关于y轴对称点的坐标为（ ）A.（-1,2） B.（-1,-2） C.（1,-2） D.（2,-1）二、填空题（共5小题）（2022•温州一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向.当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为一.（2022•花溪区模拟）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②,③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域—.（填序号）（2021•江都区校级模拟）如图，在RtAABC中，N84C=90。，AD1BC,垂足为。，A4O8与A4O*关于直线40对称，点8的对称点是点*,若NC48'=14。，则N8的度数为—,（2020•薛城区模拟）如图，在矩形48CO中，48=8,8c=4,一发光电子开始置于48边的点尸处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射,碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45。，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与边的碰撞次数是.（2014•射阳县三模）已知点尸（a+1,2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是—.三、解答题（共7小题）（2022•兰州模拟）如图1,在RtAABC中，ZACS=90°,AC=8cm,BC=6cm,点、D为48上的一定点，AD=2cm.ZC上有一动点E,点尸为4E的中点，连接尸。，过点E作EG/ATO,交于点G,设C,E两点间的距离为xcm（Q.x<8）,E,G两点间的距离为ycm.小军尝试结合学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小军的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据C,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm0.001.001.602.202.703.003.404.004.805.506.006.507.207.80ylem5.374.494.003.543.19a2.782.532.402.502.682.943.393.84请你通过计算补全表格：«=（2）描点、连线：在平面直角坐标系X。中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：结合函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是一；（填写序号）①随着自变量x的不断增大，函数值y先不断减小，然后不断增大；②该函数的图象是轴对称图形：③当x=0时，'的值最小.（4）解决问题：当。尸=CE时，EG的长度大约是cm.（结果保留两位小数）

17.(2022•碑林区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A/18C三个定点坐标分别为4-4,1),8(-3,3),C(-l,2).(1)画出关于x轴对称的△