2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷八（学生版+解析版）

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷八学校： 姓名：一 .班级： —考号：一题号—•一三四总分得分注意：本试卷包含I、1[两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第I[卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.已知集合4={x|x>l},则下列关系中正确的是（）A.0UA B.{0}£aC.0QA D.{0}GA.已知m、n、I是三条不同的直线，a、/?是两个不同的平面，则下面说法中正确的是A.若mua,nua,且IIn,贝!R_LaB.若lua,nu0,且，_Ln,则I_L，C.若m1a且，1m,则，〃aD.若m1a,nLp,且l〃m,I//n,贝ija〃£.点P（cosa,sina）在直线y=kx+2上，则实数k的取值范围是（）A.[—V3,V3] B.（—oo,—^3]U[V3,+oo）C.[—V2,V2] D.（-oo,-V2]U[V2,+8）.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A.72种 B.144种 C.288种 D.360种.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）A.2022年12月 B.2023年2月 C.2023年4月 D.2023年6月.已知直线l:x-y+4=0与x轴相交于点A,过直线1上的动点P作圆/+y2=4的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是C。的中点，则|AM|的最小值为（）A.2V2 B.3V2 C.V17 D.3.过双曲线卷一，=l(a>0,b>0)的左焦点F作直线!与双曲线交于A,B两点，使得|4B|=4b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是()A.(1净 B.(Vs,+oo)C.(f,V5) D.(1净u(遥,+8).已知函数/'(x)=2*-/x<0)与g(x)=log2(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，贝Ua的取值范围是()A.(-oo,-V2)B.(-oo,V2)C.(-OO,2V2)D.(一2夜，号)二'多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。.下列说法正确的是()A.命题p：3x<0,e*-x>l的否定7)：Vx<0,ex-x<1B.二项式(1+2x)s的展开式的各项的系数和为32C.已知直线au平面a,则“〃/a”是〃/a”的必要不充分条件D.函数y=sinx+二一的图象关于直线x=T对称sinx 210.已知实数X,y满足方程炉+、2-4》+1=0,则下列选项正确的是()A.左的最大值是苧B.看的最大值是北C.过点(1,一式)作/+y2_奴+1=0的切线，则切线方程为x-V2y+1=0D.过点(1,一金)作/+y2-4x+1=0的切线，则切线方程为x+V2y+1=011.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cos。为角。的正矢，记作versine，定义1一sin。为角。的余矢，记作coversine，则下列命题中正确的是()A.函数y=coversinx—versinx在g,兀］上是减函数B.若U""SIml=2,则coversin2x-uersin2x=-2versinx-1 5C.函数/'(x)=i7ersin(2020x—§+coversin(2020x+，)，则/1(x)的最大值2+尤D.versing一①=coversine.已知/(%)=%—亍—sinx,则()A.f(x)的零点个数为4 B.f(x)的极值点个数为3C.%轴为曲线y=/(x)的切线 D.若fQi)=f(冷)，则不+不=兀

第II卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知向量1=(1,1),b=(m,-2)，且丘〃0+2彳)，则m的值等于..若复数z满足|z-i|W应(i为虚数单位)，贝收在复平面内所对应的图形的面积为..正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X〜N(100,225).若成绩低于m+10的同学人数和高于2m-20的同学人数相同，则整数m的值为 ..已知正方形ABCD边长为3,点E,F分别在边AB,4。上运动(E不与4,8重合，尸不与A,D重合)，将△4E尸以EF为折痕折起，当4E,尸位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF体积的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.已知数列｛即｝中，%=1,an>0,前n项和为无，即=店+底='(neN*,且n22).(1)求数列｛%3的通项公式；(2)记求数列｛%｝的前n项和.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2a+c=2bcosC.(1)求角B的大小；(2)设。为边4c上一点，/.ABD=Z.CBD,BD=1,求A4BC面积的最小值..如图，三棱柱ABC-AiBiG的所有棱长都为2,BIC=#,且AB_LB】C.(1)求证：平面ABBiA，平面ABC：(2)若点P在楼SB】上且直线CP与平面4CC1为所成角的正弦值为右求BP的长..在平面直角坐标系xOy中，已知点F(0,3),E(2,-3),动点C满足关系式|祝•就|=3|不『(1)求动点C的轨迹M的方程：(提示：求谁就将谁的坐标设为(x,y))(2)过点尸任意作一直线AB交M于A,B两点，试确定在y轴上是否存在点P,使得直线P4PB的斜率之和恒为零？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由..据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，4市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生).(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生数X的分布列；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从4市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数丫的期望和方差..已知函数“x)=lnx-&F+L(1)求函数f(x)的极值；(2)(i)当x>1时，/(x)>0恒成立，求正整数k的最大值；(ii)证明：(1+1x2)(1+2x3)...[1+n(n+1)]>e"。一言).绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷八学校： 姓名：一 .班级： —考号：一题号—•一三四总分得分注意：本试卷包含I、1［两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第I［卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.已知集合4={x|x>l},则下列关系中正确的是（）A.0UA B.{0}£aC.0QA D.{0}GA【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合，集合与集合之间的关系的判断，属于基础题.根据集合4中元素满足的性质x>1,逐一判断四个答案，即可得到结论.【解答】解：•••集合4=（x|x>1},4中，0是•个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0>1不成立，•••{（）}=4不对，故8错误；。中，空集是任何集合的子集，故C正确；。中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故。错误：故选：C..已知m、n、，是三条不同的直线，a、0是两个不同的平面，则下面说法中正确的是A.若mua,nua,且I_Lm,11n.贝!Jl1aB.若Iua,nc°,且，1n,则，10C.若m1a且11m,则，//aD.若m1a,nip,且l〃m,I//n,贝Ua〃0【答案】D

【解析】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题.【解答】：由m,n,，是三条不同的直线，a,0是两个不同的平面，知：在4中，考察直线与平面垂直的判定，缺少条件，n与n相交L所以推不出/la,故A错误；在8中，若，ua,nu0,nJ.，，则，与夕相交、平行或！ua,故B错误；在C中，若m1a,I1m,则，与a平行或在a内，故C错误：在。中，由条件可得，_La,iLp,所以得a〃夕，故。正确.故答案为D..点P(cosa,sina)在直线y=依+2上，则实数k的取值范围是()A.[—V3,V3] B.(—co,—^3]U[V5,+8)C.[―V2,V2] D.(—00,—V2]U[V2,+°°)【答案】B【解析】解：•；P(cosa,sina)的轨迹是半径为1的圆，直线y=kx+2恒过(0,2)与圆有公共点，如图，临界为相切时刻，直线和圆相切时，根据1=/翳，求得k=土百，所以kG(—00,-V3]U[V3,+oo),故选：B.根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求吐伙的值，数形结合可得结论.本题主要考查任意角的三角函数的定义，直线和圆相切的性质，属于基础题..本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()A.72种 B.144种 C.288种 D.360种【答案】B【解析】【分析】本题主要考查排列与分步计数原理的综合应用，属于基础题.利用分步计数原理结合排列公式计算即可.【解答】第一步排语文，英语，化学，生物4科，且化学排在生物前面，有丝=12种排法，第二步将数学和物理插2入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有A：=12种排法，所以不同的排表方法共有12X12=144种，故选B..随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）A.2022年12月 B.2023年2月 C.2023年4月 D,2023年6月【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的应用，考查等差数列的求和，考查分析与计算能力，属于基础题.根据题意，每月建设的基站数为首项由=5,公差为d=1的等差数列（单位为万个），设累计开通500万个基站数要花n个月，即可得&=n%+若卫口=430,计算解得n的值，即可求解得到答案.【解答】解：根据题意，每月建设的基站数为首项%=5,公差为d=1的等差数列（单位为万个），设累计开通500万个基站数要花n个月，由题70+Sn=500,即Sn=430,所以5"="%+当2,d=430,Bp1n2+^n=430,解得m=25.17,n2=-37.17（舍），所以经过26个月后，即2023年2月，可累计开通500万个基站，故选B..已知直线，:x-y+4=0与x轴相交于点4,过直线l上的动点P作圆/+y2=4的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是CC的中点，则|ZM|的最小值为（）A.2V2 B.3V2 C.V17 D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.设P（X0,Xo+4）,则以OP为直径的圆的方程为（x—_）2+（y一竽）2=尤华出，化简与/+y2=4联立，可得CD所在直线方程：xox+（x0+4）y=4,直线CD过定点由题意得，0MleD,Q为直线CD上的一个定点，则点M在以0Q为直径的圆上，可得M点的轨迹为：（x+》+（y-}2=；,圆心01,半径R,由题可知4（-4,0）,可得答案.【解答】解：如图:设P(Xo，Xo+4),则以OP为直径的圆的方程为(X-£)2+(y-芋)2=X"+丁•化简得_XqX_(%0+4)y4-y 27.过双曲线版一£=l(a>0,b>0)的左焦点 27.过双曲线版一£=l(a>0,b>0)的左焦点F作直线I与双曲线交于A,B两点,使得|/B|=4b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是()A.(1净 B.(V5,+oo)C.(f,V5) D.(1净u(通,+8)【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题.根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线左支相交，②48与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案.【解答】可得CD所在直线方程：xQx+(x04-4)y=4,易得，直线CD过定点Q(-1,1),由题意得，OM_LCD,Q为直线C。上的一个定点，则点M在以。Q为宜径的圆上，可得：M点的轨迹为：(X+()2+(y-手2=3，圆心。1(一(，3),半径R=?.由题可知4(-4,0),•••140/=J(_4+)+G)2=当,二线段4M长的最小值为也-立=2々.2 2故选A.解：由题意过双曲线捻一，=19>0溥>0)的左焦点「作宜线1与双曲线交于4,B两点,使得|AB|=4b,(1)当直线I与左支交于两点时，可畔<|AB|=4b,并且2a>4b,解得：0<±<；,可得：l<e<更;(2)当直线I与两支都相交时，可畔>|AB|=4b,并且2a<4b,解得：(>2,可得：e>6；综上可知：有2条直线符合条件时，6>遍或1<3<立.2故选D.8.已知函数/(无)=2X-1(%<0)与g(x)=log2(x+q)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(-oo,-V2)B.(-oo,V2)C.(-OO,2V2)D.(一2夜，号)【答案】B【解析】【分析】本题主要考查对数函数、指数函数的图象的判断等基础知识，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键.求出/(x)关于y轴对称的函数，则方程2-。=lo免(h+0)在(0,+8)上有解，根据图像即可求解.【解答】解：由/'(X)关于y轴对称的函数为：1九(X)=/(-x)=2~x--,(x>0),令h(x)=g(x),得『b—1=10①(H+a),(H>0).则方程h。-i=10仍(#+a)在(0,+8)上有解，作出y=2-“一：与》=10缴(£+0)的图象，如图所示：当a40时，函数y=2-x-（与y=lo如（工+a）的图象在（0,+8）上必有交点，符合题意,若a>0,若两函数在（0,+8）上必有交点，则log2a<±解得0<a<或，综上可知，实数a的取值范围是（-8,我），故选B.二'多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.命题p：3x<0,e*-x>1的否定~Vx<0,ex-x<1B.二项式（1+2x»的展开式的各项的系数和为32C.已知直线au平面a,则“〃/a”是〃/a”的必要不充分条件D.函数y=sinx+二一的图象关于直线x=T对称SIfIX 4【答案】AD【解析】解：对于A：命题p：3x<0,靖一刀>1的否定—口：Vx<0,ex-x<1,故A正确；对于B：二项式（1+2x）5的展开式的各项的系数和为（1+2）5=35,故b错误；对于C：已知直线au平面a,由于直线I与a的关系不确定，故“〃/a”是〃/a”的既不必要不充分条件，故C错误；对于。：由于*关于x=：的对称点为兀-X,1 一 1 1c故/（x）=sinx+—（满足f（7T-x）=Sins-x）+丽右=sinx+-=/（x）,故函数y=sinx+二一的图象关于直线x=对称，故D正确.sinx 2故选：AD.直接利用命题的否定，二项式展开式的系数和二项式系数的关系，线面平行的判定和性质，对勾函数的性质的对称轴，判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：命题的否定，二项式展开式的系数和二项式系数的关系，线面平行的判定和性质，对勾函数的性质的对称轴，主要考查学生的运算能力，属于基础题.10.已知实数x,y满足方程/+y2一4x+1=0.则下列选项正确的是（）W的最大值是当W的最大值是北C.过点（1,一夜）作/+y2-4x+i=o的切线，则切线方程为X-V2y+1=0D.过点（1,一/）作/+丫2-4刀+1=0的切线，则切线方程为x+&y+1=0【答案】AD【解析】解：由%2+y2-4》+1=0,得(X-2)2+/=3.圆心坐标为C(2,0),半径r=l.对于48,设m7="，即y=k(x+l),由圆心(2,0)到直线y=k(x+1)的距离等于半径，得悬=V3,解得即加皿=苧,%加=一争故A正确，B错误；对于CD,点(1,一夜)在圆(*-2)2+y2=3上，过点(1,一或)与圆心(2,0)的直线的斜率k=V2.由切线的性质可得,〃=一立，2则切线方程为y+，I=一号(*一1),即x+VIy+l=0，故C错误，D正确.故选：AD.由圆的方程求得圆心坐标与半径.设W=m即y=k(x+l),由圆心到直线的距离等于半径列式求得k,即可判断4与8；判断点(1,-VI)在圆上，求出该点与圆心连线的斜率，得到切线斜率，再由直线方程的点斜式求得切线方程判断C与。.本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义—cos。为角。的正矢，记作versine，定义1一sin。为角。的余矢，记作coyerdne，则下列命题中正确的是()A.函数y=coversinx-uersinx在g,扪上是减函数B.若皿0rsm—=2,则couersin2x-versin2x=—1versinx-l 5C.函数/'(x)=i7ersin(2020x*)+coversin(2020x+)则/(x)的最大值2+/D.ver皿［一。)=cover阻6Jf【答案】BD【解析】【试题解析】【分析】本题考查三角函数的性质，属于中档题.解题时利用等式verein6=1-cosOcoverein6=1-血6将每个选项分别化简判断即可.【解答】选项A：jf=awereinx-vereinx=1-einx-(1-coex)=coex-dnr=v^coe^x+^J当:x+^e ，可知其不是》=886k+.)的单减区间，故A错:coverein®—1 1-einx—1选项B： -=2a =tanx=2,贝ijvereinx-1 1-coex-1coverein2x-wrein2x=1-ein2x-(1-coe2x)=coe2x-ein2x9 9 cos21r-sin2x—2sinxcosx1-tan2x—2tanxcos2x—sin2x=coszx—sinzx—2sinxcosx= = ； coszx+sinzx 1+tanzxTOC\o"1-5"\h\z1—4—4 7= ——1+4 5故B对；所以其最大值为4,故C错;选项D：versiii—S)=1—coe=1—sin。，coverdn?=1—eta.所以versing-①=covergin。.故D对；*故答案选BD..已知/(x)=x sinx>贝(1()A.f(x)的零点个数为4 B.f(x)的极值点个数为3C.x轴为曲线y=/(x)的切线 D.若/(.)=/(x2),则%+x2=n【答案】BC【解析】【分析】本题考查了导数的综合应用，函数单调性、极值、零点等判断，属于较难题.令/(幻=0可得1-日=cosx，根据y=1-蔡和y=cosx的函数图象判断/(x)的极值点及/(x)的单调区间,计算f(x)的极值，从而可判断各选项是否正确.【解答】解：令f'(x)=1———cosx-。可得1——=COSX.n n作出y=1一日和丁二cosx的函数图象如图所示：由图象可知1-§=COSX有三个解，即/'(为=0有三解，分别是0, n.由图象可知：当x<0时，f'(x)=1--cosx>0;当0<x<彳时，/'(X))=1cosx<0;当：<X<7T时，f(x))=1---COSX>0；当X>7T时，/Z(x))=1—--COSX<0,二/(X)在(一8,0)上单调递增，在(0金)上单调递减，在G，兀)上单调递增，在(乃,+8)上单调递减.:.当x=。时，/(X)取得极大值/(0)=0;当X=?时，f(X)取得极小值/(乡=：-1;当X=兀时，/(X)取得极大值/(兀)=0,二当k=0或x=兀时，f(x)取得最大值为0,f(x)有3个极值点，f(x)有两个零点，故A错误，B正确:由于/(x)的极大值为0,故x轴为/(x)的一条切线，故C正确；f(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,今上单调递减，故存在41，处满足条件巧<0<x2<p且/'(xD=/(x2).显然/+x2<p故D错误.故选：BC.第H卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知向量日=(1,1),b=(m,-2).且五〃0+23)，则m的值等于【答案】-2【解析】【分析】本题考查向量共线的充要条件，考查向量的坐标运算，属于基础题.根据向量共线，利用公式计算即可.【解答】

解：由已知五=(1,1)1=(m,-2)，可得之+2b=(2m+1,-3)，因为热〃位+29)，所以—3—(2m+1)=0,解得m=-2.故答案为-2..若复数z满足忆-“4夜(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为.【答案】27r【解析】【分析】本题考查了复数的几何意义，设2=x+yi(x,yeR),由得/+(y-1)?w2,从而得出结果.【解答】解：设2=工+丫((乂丫€/?),由区一斗4々，得|x+(y-l)4W/，ax2+(y-iy<：2,・••z在复平面内所对应的图形为以(0,1)为圆心，夜为半径的圆内，•••Z在复平面内所对应的图形的面积为27r.故答案为2”..正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X〜N(100,225).若成绩低于m+10的同学人数和高于27n—20的同学人数相同，则整数m的值为.【答案】70【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量〃和。的应用，考查曲线的对称性.由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于m+10的同学人数和高于2m-20的同学人数相同，可得P(X<m+10)=P[X>2m-20),由此列式求得m值.【解答】解：由X〜N(100,225),可知正态分布曲线的时称轴为4=100,若成绩低于m+10的同学人数和高于2nl-20的同学人数相同，则P(X<m+10)=P(X>2m-20),W网3?=g=100,解得m=70.

故答案为：70..已知正方形ABCD边长为3,点E,F分别在边4B,4D上运动（E不与A,B重合，尸不与4,。重合），将

A4EF以EF为折痕折起，当4E,F位置变化时，所得五棱锥4一EBCDF体积的最大值为.【答案】2V3【解析】【分析】本题主要考查五棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数思想，属丁・难题.设4E=x,AF=y,当平面4EF_1_平面后8。。产时体积有最大值，建立五棱锥4一EBCDF体积V=gsh=利用基本不等式后换元建立函数，利用导数求出函数的最大值即可得到五棱锥4-EBCCF体积的最大值.【解答】解：设AE=x,AF-y,因为正方形4BCD边长为3,所以底面EBCOF的面积为S=9-1xy,设aAEF的高为九，所以xy=y]x2+y2/i»所以九=田因为翻折时，当平面4EF1平面EBCDF时体积有最大值，所以五棱锥A-EBCDF体积V=白九=]（9-；xy）x/今，因为》2+y2>2xy,当且仅当X=y时取等，所以VW（9-MX篇=,（9一2）历，设=t,0<t<3»所以f（t）=（9-产）t=9t-*3,r（t）=9-32,令-（t）=9一“2=0,所以t=x/6，因为在定义域中有唯•极值点，所以当t=时，函数f（£）=9t—g有最大值=6>/6»所以五棱锥A—EBC。/7体积的最大值为立x6>/6=20.6故答案为2代.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分).已知数列｛册｝中，%=1,an>0,前n项和为S”，=店+JC(neN*,且nN2).(1)求数列｛a.｝的通项公式；(2)记％=箫，求数列｛7｝的前n项和〃・【答案】解：(1)在数列｛/｝中,0n=Sn-Sn.！(n>2)①，an=，Sn+yjSn_I(2)11.On>.•.①式+②式得：A-底==l(nN2),••数列｛离｝是以同=国=1为首项，公差为1的等差数列，••y[S^=1+(n-1)=n,•S-fi=M2,当">2时,Qn=Sn—Sn.1=n2—(n—I)2=2n-1,当n=l时，ax-1,也满足上式，・,・数列｛册｝的通项公式为“=2n-l;(2)由(1)知，an=2n-l,2-n・•・Cn=—»TOC\o"1-5"\h\zmlrn10—1 2—Tl则〃=w+/+灸+…+f1 1 0 -1 3-n 2-n—T= 1 1 1-...-I -I 271 22 23 242n 2n+1两式相减得，It=*二+二+…+二一三2n2 2? 23 2n2"1=»(/+*+…+专)一煞，111_1__RFG_2-n_rt―2 1-1 2n+1—2n+1>2.r—2L,•ln-2”・【解析】本题考查求数列的通项公式，以及由错位相减法求和，其中利用前n项和与通项的关系式与已知式子作商得到｛后｝是等差数列是关键，属于中档题.(1)由an=Sn—Sn_i(n>2),得数列｛店｝是以何=何=1为首项，公差为1的等差数列，应用等差数列的通项公式得前n项和公式，进而得通项公式：(2).=*，利用错位相减法求得结果.

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a+c=2bcosC.(1)求角B的大小;【答案】解：(1)山正弦定理知,a_b_c

sinAsinBsinC9(2)设。为边4c上一点，【答案】解：(1)山正弦定理知,a_b_c

sinAsinBsinC9v2q+c=2bcosC,：•2sinA+sinC=2smBcosC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,・•・2cosBsinC+sinC=0,i・••sinCHO,•*-cosB=-2vBe(0,7r),(2)由⑴知，5=y,rr/.ABD=4CBD=3在AABC中，由余弦定理知，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-COS/.ABD=c2+1-2c•1•|=c2-c+1,在^BCD中，由余弦定理知，CD2=BC2+BD2-2BC-BD-coszCFD=a2+1-2a-1|=a2-a+1,由角分线定理知，差=*=£,CDBCa.・.£二c+i=q,化简得(a-C)(Q+C-QC)=0,a2-a+la2 、八 /当a—c=0,即a=c时，△ABC为等腰三角形，其面积为定值；当。+(:-加=0时，有如=。+£：227^,二加24,当且仅当a=c=2时，等号成立，ABC的面积S=|ac-sinB>|x4xsiny=V3,4BC面积的最小值为百.【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，即可得解；(2)在4 BCD中，均使用余弦定理表示出A”和。。2,再结合角分线定理，推出(°-c)(a+c-ac)=0,然后分类讨论，并结合基本不等式，得解.本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的运用，还涉及基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.19.如图，三棱柱ABC-481cl的所有棱长都为2,8母=遍，印48,8《⑴求证：平面人88出1平面4BC；(2)若点P在棱B8i上且直线CP与平面4CG4所成角的正弦值为右求BP的长.【答案】(1)证明：取4B中点D,连接CD,BM因为三棱柱力BC—AiBiG的所有棱长都为2,所以48_LCD,CD=瓜BD=1.又因为4B_LB£,且CDClBiC=C,CD,夕道仁平面必。。，所以48J_平面B]CD.又因为8山u平面为C0,所以在直角三角形&BD中，BD=1,BiB=2,所以当£>=旧.在三角形BiCD中，CD=V3,BXD=V3-BtC=V6,所以CZ)2+B]D2=b42,所以CD工B!D.又因为ABJ.B[D,ABClCD=D,AB,CDu平面4BC,所以为。_L平面4BC.又因为当。u平面48a公,所以平面4BB1&，平面48c.(2)解：以DC,DA,Da所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，贝必(0,1,0),8(0,—1,0),C(73,0,0),当(0,0,75),因此西=(0,l,V5),AC=(V3,-l,0),京=西=(0,l,V5).因为点P在棱BBi上，则设前=4两=4(0,1,百)，其中0W441.则而=CB+BP=CB+%西=(-73,-1+尢V3A).易设平面4CC14的法向量为元=(x,y,z),由‘三=。，得产7y=。，(n•AAr=0,(y+V3z=0.取x=l,y=V3»z=-1,所以平面4CC]4的一个法向量为元=(1,V3,-1).因为直线CP与平面力〜出所成角的正弦值为亲所以cos<n,CP>=： ―,-2^==--二一占|n|x|CP|V5x73+(A-1)2+3A2 51化简得16A2-8A+1=0,解得4=A4所以BP=4BBi=：.【解析】本题考查了面面垂直的判定，也考查了空间角的计算问题，考查了运算求解能力和逻辑思维能力，是中档题.(1)由CD_LB1D,48J.当。证得81。1平面4BC,再由面面垂直的判定定理可得平面4BB14_L平面ABC,(2)以。C,DA,OB1所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系，设乔=/西=A(0,l,V3).其中0<A<1.结合空间向量法可得直线CP与平面4CG4所成角的正弦值的式子，故可解得BP的长.20.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(0,3),E(2,-3),动点C满足关系式10声正|=3|次(1)求动点C的轨迹M的方程；(提示：求谁就将谁的坐标设为(x,y))(2)过点尸任意作一直线AB交M于4B两点，试确定在y轴上是否存在点P,使得直线P4PB的斜率之和恒为零？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：(1)设动点C(x,y);则有而=(0,3)，EC=(x-2,y+3)，CF=(-x,3-y).又由•正|=3|B|，得|3(y+3)|=3〃2+(3-y)2,化简得/=12y.故所求动点C的轨迹M的方程为/=12y.(2)如图，假设满足条件的点P存在，设P(0,a),4(必,％)，B(x2,y2).由于直线48过点尸(0,3),显然直线48与x轴不垂直，设直线4B的方程为y=kx+3,代入方程/=12y中，整理得小一12匕-36=0,其△>()显然成立，由韦达定理得与+x2=12k,xtx2=-36.依题意，有力=kXi+3,y2=kx2+3,

由0=部4+4「8=管+三=^^^+^^,得0=x2(.kx1+3—a)+Xi(fcx2+3—a)=2kxix2+(3—a)(x1+x2)=-36k—12ak,即12k(a+3)=0对kCR恒成立，只需a=-3即可，此时P(0,-3).故存在唯一一点P(0,—3)满足题中条件.【解析】本题考查求轨迹方程，考查抛物线和直线的位置关系，考查圆锥曲线的探索性问题，属于中档题.(1)依题意设点建立等量关系求轨迹方程；(2)假设满足条件的点P存在,设P(0,a),4(右,yi)，8(必,丫2)•由题意有yi=k/+3,丫2=5&+3,根据条件即4+kpB=0进行探究求解.21.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，4市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生).(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大?(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生数X的分布列;(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从4市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数丫的期望和方差.【答案】解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则PQ4)=器=0.24,“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件8,则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为当件4B,则P(4B)=击=0.08,故所求的概率为：尸(8|4)=需=覆=[所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是(2)依题