行程问题-例题答案

模块一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3,二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则A、B两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比， 即两个人相遇时所走过的路程比为 4:3.第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙TOC\o"1-5"\h\z4 5两个人共走了3个全程，二个全程中甲走了-31-个全程，与第一次相遇地7 7\o"CurrentDocument"5 4 2 2点的距离为一（1—）—个全程.所以a、B两地相距30—105（千米）.7 7 7 7【例2】B地在A,C两地之间.甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回 B地至少要用多少时间。【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：A <10分钟-10分钟§ c A

10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的 3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10+（3—1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信10分钟10分钟10分钟§10分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10+10+5+5=30（分钟），同理丙追及时间为30+（3—1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距 B地：10+5+5+15+15=50（分钟），此时追及乙需要：50+（3—1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5+5+15+15+25+25=90（分钟）同理先追及甲需要时间为 120分钟【例3】（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米,乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的 C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相

等，问A、B两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的4,乙走了全程的2.第二次甲停留，乙没有停留，且前后7 7两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的 4,甲行了全程的2.由7 7于甲、乙速度比为4:3,根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙

走了93,所以甲停留期间乙行了 ，2日1,所以a、B两点的距离为74 77441607—=1680（米）.4【例4】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？一 一,，一，. 1 5 , * 4 一，【解析】 两车相遇时甲走了全程的 -,乙走了全程的 4,之后甲的速度减少 20%,乙的速9 9度增加20%,度增加20%,此时甲、乙的速度比为5（120%):4(120%)5:6,所以甲1 ~，所以1 ~，所以A、45B两地到达B地时，乙又走了46_8_,距离a地5.8.9515 9151的距离为10—450（千米）.45【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下午2点时两人之间的距离是 15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块. 下午2点时两人之间的距离是 15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时 30千米.由下午3点开始计算，小王再有 1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045千米，故小张的速度是 45与=15千米/时，小王的速度是15+30=45千米/时.全程是453=135千米，小张走完全程用了135+15=9小时，所以他是上午10点出发的。【例6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快 15千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定.从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路.这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程（即第二小时走的路程）多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走 1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路.所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路.⑵由于第二小时比第三小时多走 25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时 30千米.所以第二小时内用在走平路上的时间为 25305小时，其余的1小时在走6 6上坡路；1因为第一小时比第二小时多走了 15千米，而」小时的下坡路比上坡路要多走61301517.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为61,,—一，一， 112,, 157.515-小时，所以在第一小时中，有---小时是在下坡路上走的，TOC\o"1-5"\h\z2 263…，1,,，一， ，，剩余的1小时是在平路上走的.3.. 157因此，陈明走下坡路用了 5小时，走平路用了--‘小时，走上坡路用了366\o"CurrentDocument"1 7一1——小时.66⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是7 7-：-4:7.那么下坡路的速度为 3015 105千米/时，平路的速度是每6 74小时1051590千米，上坡路的速度是每小时 903060千米.那么甲、乙两地相距105290760-245（千米）.3 6 6模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例7】 甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米.求A,B两地间的距离.【分析】甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人白^速度之比为4:3,那么在3小时内的路程之比也是4:3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为35 20千米，即A,B两地间的距离为20千米.34【例8】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从B地出发时是8点几分.【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的 3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比， 如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10X3=30分钟，所以前后两段路程的比为 20:30=2:3,由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分.【例9】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多. 已知下坡的速度是平路的 1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是 1.由于下坡路与一半平路的长阳目同，根据路程一定，时间比等于速度的唇比,11t下坡路所需时间是11.65,因此，走上坡路需要的11可是 2—」，那么，上坡速度与平唧度的比等喇用时间的反比， 为1:一8:11,可，8坡速度是平路速度的一倍.8 11【例10】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750米，预计50分钟到达.但汽车行驶到路程的3时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，5汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【分析】当以原速行驶到全程的3时，总时间也用了所以还剩下50（1-）20分钟的5 5 5路程；修理完毕时还剩下20515分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3,根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与4预7E的速度之比也为4:3,因此每分钟应比原来快750-750250米.3小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便.【例11］王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280千米后，将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划的1勺0/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为：1.5T/10=15（小时）；按原计划的速度行驶 280千米后，将车速提高 1/6,即此后车速为原来的 7/6,则此后所用时间为原计划的1旬6=6/7,即此后比原计划少用 1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶 280千米后余下的时间为：5/3+7=35/3（小时），所以，原计划的速度为： 84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：84>15=1260（千米）.【例12】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达.如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】车速提高20%,即为原速度的6/5,那么所用时间为原来的5/6,所以原定时间为51(1-)6小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30%,此时速度为原速6度的13/10,所用时间为原来的10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为1(110)41小时.所以前面按原速度行使的时间为 64- 小时根据速TOC\o"1-5"\h\z13 3 33度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的 96m3 18【例13】一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%,则可以提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？【分析】车速提高20%,速度比为5:6,路程一定的情况下，时间比应为6:5,所以以原速度行完全程的时间为1U6小时.6以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象， 车速提高25%,速度比为4:5,所用时间比应为5:4,提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要405410,,一一 一一一,，、 108,,一40V£小时，所以以原速行驶 120千米所用的时间为6108小时，甲、乙两地的距离为12086270千米.3【例14】甲火车4分钟行进的路程等于乙火车 5分钟行进的路程.乙火车上午8:00从8站开往A站，开出若干分钟后，甲火车从 A站出发开往B站.上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16.甲火车从A站发车的时间是几点几分？［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比.根据题意可知，甲、乙两车的速度比为 5:4.从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:415:12,而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16.说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车 1个小1时所走路程的1612 16-.也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也4就是15分钟.所以甲火车从A站发车的时间是8点15分.模块三、比例综合题【例15】小狗和小猴参加的100米预赛.结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到 90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪 10米.小狗同意了，小猴乐滋滋的想： “这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【解析】小猴不会如愿以偿.第一次，小狗跑了 100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为100:9010:9;那么把小狗的起跑线往后挪 10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了110旦99米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚10到达终点.【例16】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了 35千米.求A,B两地间的距离.【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小日(3+1)两个人速度比为：甲：乙二4:3当两个人在相同时间内共行 35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35+(4+3)%=20(千米)，所以，A、B两地间距离为20千米【例17】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行多少米？［分析1根据题意，乙加速之前步行 2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2:2.258:9,乙的速度是甲的速度的1.125倍；乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.75 4:5.加速后乙的速度是甲的速度的 1.25倍；由于乙加速后每小时多走 500米，所以甲的速度为5001.251.1254000米/小I【例18】甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车. 12分钟TOC\o"1-5"\h\z后丙也骑车从A地出发去追甲.丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了 3千米时又遇到乙.已知乙的速度是每小时 7.5千米，丙的速度是乙的 2倍.那么甲的速度是多少？丙 A甲 .B3A DE3c乙 AA-［分析］丙的速度为7.5215千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了12一，一，一一一，15—3千米后与甲、乙同时出发.60如图所示，相当于甲、乙从A,丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉头走了3千米在E处和乙相遇.从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了321.5千米，故CD为4.5千米.那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了 34.57.5千米，由于丙的速度是乙的速度的 2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.54.512千米，因此速度为12112(千米/小时).【例19】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应1是一个单程的 1X1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2倍。两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1小

时，所以甲下山要用 1/2小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时）课后作业练习1.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的3,并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）7的地点与第2008次相遇的地点恰好相距 120千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米？【解析】甲、乙速度之比是3:7,所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第2007次相遇时甲总共走了 3X（2007X2-1）=12039份，第2008次相遇时甲总共走了 3X（2008X2-1）=12045份，所以总长为120+[12045-12040（12040-12039）]>10=300米.练习2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了 20%,乙的速度提高了30%,这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同， 所以第一