平面向量的坐标表示

7.2.2平面向量的坐标表示7.2.3共线向量的坐标表示课型：新授课课时：1课时一、教材分析前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个

自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件（如果存在实数九，使得a二九b，那么a与b共线），本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示•这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示•要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的.二、教学目标1、知识与技能目标进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件.2、过程与方法在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力.3、情感态度与价值观通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.

三、教学重点、难点重点：平面向量的坐标运算.难点：对平面向量共线的坐标表示的理解.四、教学过程1、创设情境前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数九，使得a二九b，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？复习引入：平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底•任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。2、新知探究(1)问题1：我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=(x,y),b=(x,y),1122你能得出a+b,a—b,九a的坐标表示吗？活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：a+b=(xii+yij)+(x2i+y2j)=(xi+x2)i+(yi+y2)ja+b=(x+x,y+y)1212a—b=(xii十yij)—(x2i十y2j)=(xi—x2)i十(yi—y2)j

a-b=(X1-X2,yi-y2)九a=九(xi+yj)=Axi+Xyj即九a=(Ax,Xy)111111结论:两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.rrrrrrrr例1：已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b.—H—B-解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5)—F-—*a-b=(2,1)-(-3,4)=(2-(-3),1-4)=(5,-3)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(6-12,3+16)=(—6,19)rrrrrr练习：已知a=(—2,4),b=(1,2)，求a+b,-3a-2b.(2)问题2：①如何用坐标表示两个共线向量?②若a=(x,y),b=(x,y)，那么1122三=厶是向量a,b共线的什么条件？xx12活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:—ir设a=(x,y),b=(x,y),其中b丰0.我们知道，a,b共线，当且仅当存在1122实数A，使得如果用坐标表示,可写为即消去A如果用坐标表示,可写为即消去A后得(x1,y1)=A(x2,y2).x=Ax12

y=Ay12x1y2-x2y1=0.(b丰0)共线.这就是说，当且仅当xy-(b丰0)共线.1221又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1x是等价的,但这与十=》是不等价的.12因为当x=x=0时，xy-xy=0成立，但£=£均无意义.121221xx121212因此2i二£是向量a,b共线的充分不必要条件xx12^1注：1°消去九时不能两式相除，•・•y,y有可能为0,而b丰0,・•・x,y中至少有一1212个不为0.x,x有可能为0).12x,x有可能为0).12xxS//S//bb(農0)o[a”b〔xy-xy=012213°从而向量共线的充要条件有两种形式:3、典型例题例1已知a=(4,2),b=(6,y)，且S//b，求y.rr解：•・•a//b，•:4y-2x6=0..Iy=3.点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.,,-►—*■■■―a.—Hi变式训练：已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a//b,则2a+3b等例2:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系.解:在平面直角坐标系中做出A、B、C三点，观察图形我们猜想A、B、C三点共线,下面给出证明.uuuruuurJAB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2x6-3x4=0,uuuruuur・AB//AC.•・•直线AB、直线AC有公共点A・•・A,B,C三点共线点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2：若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为.例3：设点P是线段PP上的一点，P、P的坐标分别是(x,y),(x,y).12121122当点P是线段PP的中点时，求点P的坐标；12当点P是线段PP的一个三等分点时，求点P的坐标.1——解：⑴如图（I）由向量的线性运算可知OP=1——解：⑴如图（I）由向量的线性运算可知OP=2（OP1+OP2）='x+x-42I2所以，点卩的坐标为［宁,宁］P图（3）2）如图，当点P是线段PP的一个三等分点时，有两种情况，即12——1PP=2PP2或PP=2PP1221如果PP二2PP（图⑵），那么122t1t■■・bI・OP=OP+PP=OP+_PP

1113122—=OP+_(OP-OP)=OP+_OP13213132'2x+x2y+y'I33丿即点P的坐标为：同理’如果平-2匹时（图⑶），那么点p的坐标为：］今,点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.4、课堂小结熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行