平面与空间直线练习题

高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第I、II卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入题后括号内，第II卷可在各题后直接作答.第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是（）空间不同三点确定一个平面空间两两相交的三条直线确定一个平面四边形确定一个平面和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析:根据公理3（经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面）知不在同一直线上的三点，才能确定一个平面，所以A错.如图（l）,a,b,c三条直线两两相交，但a,b,c不共面，所以B错误.如图（2），显然四边形ABCD不能确定一个平面.2.已知AB〃PQ,BC〃QR,ZABC=30°，则ZPQR等于（）A.30°B.30。或150°C.150°D.以上结论都不对答案:B解析:由等角定理可知ZPQR与ZABC相等或互补，即ZPQR=30。或150°.3.如右图,anB=l,AWB,BWB,ABni=D,CWa,则平面ABC和平面a的交线是（）A.直线A.直线ACC.直线AB答案:DB.直线BCD.直线CD解析:解析:CD为平面ABC与平面a的交线.故选D.4•如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()答案:c解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C中的PQ与RS异面.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是()①aHb=0且a不平行于b②au平面a,bu平面B且anB=0③au平面a,b@平面a④不存在平面a,使au平面a且bu平面a成立A.①②B.①③C.①④D.③④答案:C解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知，结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①，既然两直线不平行，则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行，故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交，故③不正确•综上所述，只有①④正确.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ZABC的值为•••()A.180°B.90°C.60°D.45°答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置，可知ZABC在等边AABC内.7.在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是()A.MN>aB.MN=aC.MNvaD.不能确定

答案:c解析:如图，取AC中点P则MP2BC,NPAD,且MP+NP=2(BC+AD)=a>MN,故C正确.8•如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC］、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A.<10C.5D.3答案:B解析一:如图⑴,取面CC1D1D的中心为A.<10C.5D.3答案:B解析一:如图⑴,取面CC1D1D的中心为H,连结FH、D1H.易知OE〃FH,所以ZD^H为所解析二:如图2）,取BC中点为G连结GC］、FD「则GC1#FD1.再取GC中点为H,连结HE、oh,贝yZOEH为异面直线所成的角.在AOEH中，OE=<3,HE「v5由余弦定理，可得cosZOEH=9•空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P,Q两点之间的最小距离为（）订3A.1B.C.\2D.\'32答案:C解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长•易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ丄AB,PQ丄

CD.在RtABQP中，•・•BQ=、3,BP=1,.•・PQ=J3—1=、2.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体•容易知道BM与ED异面,CN与BE平行，故①②不正确.因为BE〃CN,所以CN与BM所成的角是ZEBM=60°，延长CD至D'，使DDZ=DC,则DzN〃DM,ZBND‘就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,因为BN=〔3a,ND‘=丫2a,BD‘=、；5a，所以BN2+D'N2=DZB2，即BN丄ND',BN丄DM.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）以下四个命题:®A£l,AGa,BGl,BGanluaA£a,Aep,BGa,Bepnanp=AB1ga,A£lnA电a;A,B,C£a,A,B,C£卩，且A,B,C不共线na与卩重合.其中推理正确的序号是.答案:①②④3232解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线1可能与平面a相交于A.故③不正确.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有个.答案:6解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面（不重复）,此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.13.（2006全国重点中学一模,11）给出三个命题:若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.其中不正确的序号是.答案:①②解析:在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1解析:在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中,A]D]丄D1D,C1D1丄D]D,即A1D1与D1D,C1D1与D1D所成的角都是90。,但A1D1与Cp不平行，可知①②不正确，由公理4可知③正确.14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如果E、F分别为AB、CC1的中点，那么异面直线A1C与EF所成的角等于.答案:arccos1解析:延长AA1到P,使A1P=-AA1，厶连结PF,贝yPF〃A]C，设A1A=a.3110则PE2=(—a)2+(—a)2=116a2，EF2=(—a)2+a2+(—a)2=才a2,PF2=A1C2=3a2.3a2+.*.cosZPEF=10-a24直线A£直线A£与EF所成的角等于arccos迈~3三、解答题(本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D&］、B1C1的中点，ACABD=P,a1c1aef=q，求证：D、B、F、E四点共面；若直线A1C交平面DBFE于点R,则P、Q、R三点共线.(1)证法一:TEF是厶D1B1C1的中位线，AEF#B1D1.在正方体AC］中，B1D1〃BD,••・EF〃BD.由公理3知EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面.证法二:延长BF,CC1交于点G延长DE,CC1交于点G'.C,F疋寺卫匚“仇^~C［Cc.E念土皿2G与G'重合DE,BF是相交直线=D,B,F,E四点共面.(2)证明:正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为a,设平面DBFE为B,QeEFnQepnQnQ为a、B的公共点.•又QeACnQea11同理,P亦为a、B的公共点，ReACnRea1.•・又Re卩\nrgpq,I卩p、Q、R三点共线.由公理2可知点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.16.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n.(1)证明E、F、G、H四点共面.m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形？在(2)的条件下，若AC丄BD,试证明EG=FH.(1)证明:VAE:EB=AH:HD,・：EH〃BD.VCF:FB=CG:GD,.•・FG〃BD,・・EH〃FG・・・E、F、G、H四点共面.⑵解:当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.EHAEmm•・•==,・・EH=BD.BDAE+EBm+1m+1n同理,FG=BD.由EH=FG得m=n.n+1故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.(3)证明:当m=n时，AE：EB=CF:FB,・EF〃AC.又VAC丄BD,・ZFEH是AC与BD所成的角..•.ZFEH=90°.从而EFGH为矩形，・EG=FH.点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.17•如图,a,b,c为不共面的三条直线，且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上，点Q是b上异于N的点，判断MN与PQ的位置关系,并予以证明.证法一:(反证法)假设MN与PQ共面于B,则点M,N,P,QWB.又点N,QebnbuOeplo>c>=cuPOebJPepJ同理,auB.••・a,b,c共面,与已知a,b,c不共面矛盾.故MN与PQ为异面直线.点M,N,Q共面于MONl又Qeb且异于Nnj点Q电MN,OP农平面MONljn点P纟平面MON.PecJ故平面MON内一点Q与平面外一点P的连线PQ与平面内不过Q点的直线MN是异面直线.18•如图所示，今有一正方体木料ABCD—A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点，要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下解:作法如下:⑴连结MN并延长交DC的延长线于F连结D]F交CC]于Q,连结QN;⑵延长NM交DA的延长线于E,连结D]E交AR于P连结MP;(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.19.如图,AB,CD是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F分别是线段AD,BC上的点，且ED=2AE,FC=2BF,EF=*7a,G丘BD,EG〃AB.求AB求AB与CD所成的角;求厶EFG的面积.解: