2022年中考数学压轴难题附答案

2022年中考数学压轴题1.如图①，C为线段8E上的一点，分别以8c和CE为边在的同侧作正方形488和正方形CEFG,M、N分别是线段AF和GO的中点，连接MN(1)线段MN和GD的数量关系是MN=IdG,位置关系是MN1DG；(2)将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°,其他条件不变，如图②，(1)的结论是否成立？说明理由；(3)已知8c=7,CE=3,将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变,直接写出的最大值和最小值.解：(1)连接FN并延长，与4。交于点S,如图①.•••四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，.•./。=90°,AD=DC,GC=GF,AD//BE//GF,：.NDSN=Z.GFN.在丛SDN和△尸GN中，(/.DSN=Z.GFNZS/VD=乙FNG,(DN=GN.♦.△SDVg"GM：.DS=GF,SN=FN.:.MN〃AS,MN=^AS,：.4MNG=ND=90",MN=1(AD-DS)=1(.DC-GF)=1(DC-GO=1z)G.故答案为A/N=%G,MNIDG；(2)(1)的结论仍然成立.理由：过点A/作A/7J_OC于T,过点“作MR_L8C于R,连接FC、MD、MG,如图②,则/、F、C共线，MR//FG//AB,MT//EF//AD.•：4M=FM,；.BR=GR=*BG,DT=ET=^DE，1：.MR=^(FG+AB),(EF+AD).••四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，:・FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD,:.MR=MT,RG=TD.在△MHG和中，(MR=MT\z-MRG=乙MTD,{RG=TD：.AMRGmAMTD,:.MG=MD,NRMG=NTMD,:・/RMT=NGMD.:/MRC=/RCT=/MTC=90°,•・四边形MHCT是矩形，：.ZRMT=90°,：.ZGMD=90°.:MG=MD,/GMD=90°,DN=GN,1:・MNLDG,MNpDG.(3)延长GM到点尸，使得尸W=GM,延长G尸、AD交于点、0,连接力P,DP,OM如图③，在尸和△FMG中，(AM=FM{Z.AMP=乙FMG,(PM=GM：.“MPW4FMG,:.AP=FG,4APM=/FGM,

:・AP〃GF,，ZPAQ=ZQ,:ZDOG= /OGC+/GCO,/ODQ=NOGC=90°,・・・N0=NGCO,，ZPAQ=ZGCO.V四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，：.DA=-DC,GF=GC,：.AP=CG,在△API）和△CGO中，AP=CG/-PAD=乙GCD,AD=CD:•△APDQACGD,：.PD=DG.:PM=GM,：.DM.LPG.:DN=GN,:・MN=^DG.VGC=C£'=3,，点G在以点。为圆心，3为半径的圆上，:DC=BC=7,••・QG的最大值为7+3=10,最小值为7-3=4,.二MN的最大值为5,最小值为2.图③

2.如图，四边形43co中，ZJ=Z5=90°,AD+BC=CD,以43为直径作。。.(1)求证：CO与OO相切；(2)若CO切。。于E点，连接OE、ZC交于尸，若FC=2AF,求名的值.(1)证明：如图1中，延长CO,DA交于点〃，过点。作OELCO于E,VZJ=Z5=90°,NAOH=NBOC,AO=BO,:•△AOH9XBOC(ASA):.AH=BC,HO=CO,•；AD+BC=CD,AH+AD=HD,:.CD=DH,：・4H=NDCH,：NOAH=/OEC=90",HO=CO,:.△AHO94ECO(AAS):・AO=OE,TOE为半径，OELEC,・・C。与OO相切；(2)解：如图2中，作CTLBC交OE的延长线于T,连接图2:/B=/TCB=90°,/.Z5+ZTCB=180°,:.AO〃CT,CFCT• — ―7-04一，：.CT=2OA99：AB=2OA9：.CT=AB,•・四边形48CT是平行四边形,：NB=90°,・・四边形Z6CT是矩形，AZATC=90°,:AT〃BC,AT=BC,:AD〃BC,：.A,D,T共线，设/O=OE=x,CB=CE=y,则。4O=y-x,YCO是切线，J.OTLCD,：.ZDET=ZDTC=90°,:/TDE=NCDT,:.RDTEsRDCT,.TDDE,DC~DTftN=de・dc,(y-x)2=x(aHj),整理得：f=3号，.■产0,，y=3x,BC3x" □• j•ADx.如图，在RtA48C中，N/C8=90°,以斜边上的中线C£＞为直径作。。，与BC交于点M,与的另一个交点为E,过M作MNL48,垂足为N.(1)求证：是。。的切线；一，“ q，(2)若。0的直径为5,sin8=可，求E£)的长.【解答】（1）证明：连接OM,如图1,"：OC=OM,：.乙OCM=ZOMC,在RtZ\Z8C中，8是斜边上的中线,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=NDBC,J.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,：0知过O,...MN是。。的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2,rc。是。。的直径，；.NCED=90°,ZDMC=90°,即£>A/J_8C,CEkAB,由（1）知：BD=CD=5,为8c的中点，3VsinB=g,

cosB=弓，在RtZ\5A/Q中，BM=BD・cgsB=4,：.BC=2BM=S,在RtACEB中，BE=BC・cgsB=停3? 7：.ED=BE-8。=』-5=可..已知/MPN的两边分别与OO相切于点儿B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点力，8之间的优弧上，NMPN=80°,求N/C8的度数;（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形4pBe为菱形，N/P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.A/BNPBNP bN图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接CM,OB,图1;以，尸8为。。的切线，:・NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,・・・N/P8+N/O8=180°,VZJP5=80°,AZAOB=\00°,/.ZACB=50°；(2)如图2,当N”8=60°时，四边形ZP6C是菱形,连接ON,OB,M图2由(1)可知，/4O8+N4P8=180°,VZAPB=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=NAPB,・・,点C运动到PC距离最大，:.PC经过圆心，・・・Rh尸8为OO的切线，：.PA=PB,NAPC=/BPC=30°,又*：PC=PC,:AAPgABPC(SAS),；・NACP=NBCP=30°,AC=BCf：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC.:・AP=AC=PB=BC,・・四边形ZPBC是菱形；(3)・・・。。的半径为八：・OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,，前的长度=6：.丁=^r,lowo•・阴影部分的周长=%+尸。+而=8什〃+*=(V3+1+^)r..如图，以为。。的切线，尸8c为。。的割线，451.0尸于点。，△4JC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.,：OAVAP,AD1.OP,二由射影定理可得：P42=PD,PO,AD1=PD-OD.•••（5^-）又由切割线定理可得PA1=PB-PC,:.PB・PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）二ZPDB=4PC0=NOBC=NODC,NPBD=乙COD,:.MBDsACOD,PDBD：.—=—,…（15分）CD0D：.BD*CD=PD-OD^AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,：.ZBAD=ZACD,：.AB是△4DC的外接圆的切线,；.NBAE=NACB.

7.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所以.口PCACnay/3a—2于