受迫振动中振幅和频率的讨论

关于受迫振动中振幅和频率的讨论第一页，共四十三页，2022年，8月28日关于受迫振动的微分方程振子的受力情况：回复力、阻力、策动力回复力：阻力：第二页，共四十三页，2022年，8月28日策动力的讨论一般情况下策动力需要周期性变化，因此，我们可以用弦类函数去表示策动力同时策动力一般是有稳定的最大值我们看到在受迫振动中，策动力成为振子运动的主要因素。所以策动力的方向应该与位移方向相同。第三页，共四十三页，2022年，8月28日几处要点使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使策动力能取到不同的相位。余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使策动力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下，策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。第四页，共四十三页，2022年，8月28日微分方程这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程第五页，共四十三页，2022年，8月28日为了简化运算，我们做参数替换方程变为以下形式第六页，共四十三页，2022年，8月28日对应的齐次方程为设方程的一个解为：代入齐次方程第七页，共四十三页，2022年，8月28日这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程。第八页，共四十三页，2022年，8月28日讨论根的情况但是，上述两个解都不含有任意常数，所以它们都不是方程的通解。我们可以利用常数变易法去讨论在上述方程的解中γ，ω，1均为常数，但是前两者由方程给定，只有“1”是我们的假设。第九页，共四十三页，2022年，8月28日所以，我们可以把“1”，变为一个与自变量t有关的变常数C(t).第十页，共四十三页，2022年，8月28日对方程进行整理，可以得到：第十一页，共四十三页，2022年，8月28日γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理第十二页，共四十三页，2022年，8月28日两边积分，得到：再次积分，得到：第十三页，共四十三页，2022年，8月28日代入C(t),得：第十四页，共四十三页，2022年，8月28日可以看到：第十五页，共四十三页，2022年，8月28日第十六页，共四十三页，2022年，8月28日可以看到，两者是等价的

因此，解可以合并为：同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形式产生影响第十七页，共四十三页，2022年，8月28日第十八页，共四十三页，2022年，8月28日第十九页，共四十三页，2022年，8月28日经过整理，可得：第二十页，共四十三页，2022年，8月28日第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日进行两次积分，得到：以上为齐次方程的通解情况第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日接下来我们求非齐次方程的特解：第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日根据解的叠加原理，待求的非齐次方程的通解，为下列两个非齐次方程的通解之和。第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日利用待定系数法求解两个微分方程第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日显然我们可以看到：第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日同理，我们对方程：第三十页，共四十三页，2022年，8月28日第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日得到方程组：第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日这就是非齐次方程的特解。第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解。第四十页，共四十三页，2022年，8月28日此时即为稳态的受迫振动我们看到，稳态受迫振动的角频率为策动力的角频率利用辅助角公式可以求得振幅第四十一页，共四十三页，2022年，8月28日可以看到，当Ω=ω