考点03 余弦定理、正弦定理的应用（解析版）

考点03余弦定理、正弦定理的应用一、单选题1．已知的内角、及其对边、满足，则为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．不能确定【答案】B【分析】由正弦定理可得，然后可得，然后可得出答案.【详解】因为所以由正弦定理可得，即所以，即所以或所以或因为、是三角形的内角，所以，所以是直角三角形故选：B2．甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（）A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为【答案】C【分析】根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.0【详解】如图示，在中，∠ABD=60°，BD=20m，∴，即甲楼的高度为40m.在中，设，由余弦定理得：，即解得：则乙楼的高度分别为.故选：C【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．3．甲船在处，乙船在甲船北偏东方向的处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】在中，由正弦定理求得，进而得到，即可求得的范围.【详解】设甲船与乙船的相遇点为，据题意，，.在中，由正弦定理，有，则，所以.因为，，则，所以.故选：A.4．如图，是外一点，若，，，，，则（）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】由得，在中结合正余弦定理求解即可．【详解】由得．在中，由余弦定理得，所以，则．因为，所以．在中，，所以由正弦定理得，故选：C．【点睛】方法点睛：用正、余弦定理解决平面多边形问题时，应把多边形分割为多个三角形，通过各个三角形之间的关系解决问题．5．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达B处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意作图可得，，设，在，中求出，，在中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】

由题意可知：平面，，，，设，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，即，解得：，所以山的高，故选：A.6．中，已知，，，且的面积为，则边上的高等于（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据面积公式，可求得，根据余弦定理，可求得，根据题意，可求得a，c的值，根据三角函数定义，即可求得答案.【详解】如图所示，设，AB边上高为h，由面积公式得，所以，又，所以，又因为，即，所以，所以.故选：A7．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.【详解】，由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得：，，所以，由，有，得，所以，，，，由余弦定理可得.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.二、多选题8．在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（）A． B．的最大值为1C．的最大值为 D．【答案】ABC【分析】由面积公式可得，再由正弦定理化简即可判断A；由根据可判断B；利用余弦定理可得，进而得出可判断C；由已知结合余弦定理即可判断D.【详解】，即，由正弦定理可得，，，即，由正弦定理可得，故A正确；，，,则当时，取得最大值为1，故B正确；由余弦定理得，，，其中，则可得的最大值为，故C正确；由，联立可得，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出.9．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若，，则面积的最大值为【答案】ABD【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；对于B选项，，则，所以，有两解，B选项正确；对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，，D选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.三、填空题10．已知正方形的边长为1，M为内一点，满足，则___________.【答案】【分析】中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得，得，由等腰三角形可得所求角的大小．【详解】如图，由得，，中，，，所以，又，中，，即，所以．故答案为：．11．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点、，测得，，，，则、两点的距离为______.【答案】【分析】在中，利用正弦定理计算出，分析出为等腰三角形，可求得，然后在中，利用余弦定理可求得.【详解】在中，，，，，在中，，，，由正弦定理可得，，在中，，，，由余弦定理可得，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题12．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且__________．（1）求a的值；（2）若，求周长的最大值．从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）若选①：根据正弦定理、逆用两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理和诱导公式进行求解即可；若选②：根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；若选③：根据正弦定理、逆用两角和的正弦公式进行求解即可.（2）根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】解：（1）若选①，则由正弦定理得：,因为所以，因此；若选②，则由正弦定理得：，因为且，所以，因此；若选③，则由正弦定理得：，因为且，所以，因此；（2）若，则由余弦定理得：，，又，故，即，当且仅当时取等号，∴的最大值为．13．已知的内角，，的对边分别为，，，，设，且．（1）求角的大小；（2）延长至，使，若的面积，求的长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据诱导公式，结合两角和与差的余弦公式化简可得，由向量平行的坐标表示结合正弦定理可得，进而可得结果；（2）结合（1）中的结论得出为等边三角形，由三角形的面积得出的值，最后由余弦定理得结果.【详解】（1）由可知，即，可得．由可得，由正弦定理可知，因为，所以，因此或．分别代入，可知当时，，不成立．因此．（2）由可知，即，因此为等边三角形，即，，整理可得，即，由余弦定理可知，在中，，因此的长为．【点睛】易错点点睛：（1）中由结合角的范围解得或，需要结合题意分别对其进行检验.14．如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据等面积法将的面积转化为的面积，又由于为直角三角形，求出边长，进而计算面积即可.【详解】解：在锐角中，，，，由正弦定理得，又因为为锐角三角形.，.，，.在中，，，，又，.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求a的值；（2）求的值．条件①：；条件②：的面积为．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）选条件①：由正弦定理边角互化得，再结合已知条件和余弦定理得；选条件②：由得，进而根据面积公式得，再结合已知条件和余弦定理得；（2）由余弦定理得，再结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：（1）选条件①：．因为，由正弦定理，得．因为，解方程组，得，．由余弦定理，得，所以．选条件②：的面积为．因为，所以．因为的面积为，所以．所以．因为，解方程组，得，．由余弦定理，得，所以．（2）由余弦定理，得．所以．所以．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查边角互化，运算求解等，是中档题.本题选条件①时，解题的关键在于利用正弦定理边角互化得；选条件②时，解题的关键在于利用同角三角函数关系和面积公式得，再根据余弦定理求解.16．在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的大小；（2）如图，在边的右侧取点，使得，若，求当为何值时，四边形的面积最大，并求其最大值.【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积取得最大值.【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，求出角B；（2）设，分别求出的面积，利用三角函数求最值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，化简得.因为，所以.又，故.（2）由（1）知，且，所以为等边三角形.设，则在中，由余弦定理得，所以，，四边形的面积.因为，所以.当，即时，.所以当时，四边形的面积取得最大值.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.17．如图，在平面四边形中，，，.（1）求边的长；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用余弦定理可得关于的方程，进而可解得边的长；（2）分析出为等边三角形，可得出，在中，利用正弦定理求出，进一步求出，利用两角和的正弦公式求出，进而利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得，即，即，，解得；（2）在中，由正弦定理得，解得.又因为，所以为锐角，所以，因为，，则为等边三角形，则，所以，所以的面积为.【点睛】方法点睛：已知三角形的两边及一角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种：（1）利用余弦定理求出其它角；（2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好.18．在锐角中，角的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，进而得解；（2）根据正弦定理边角互化可得，结合锐角三角形的范围可得解.【详解】（1）由，得，得，得，在，，由余弦定理，得，即，解得或.当时，即为钝角（舍），故符合.（2）由（1）得，所以，，为锐角三角形，，，，，故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.19．在中，，点D在边上，满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到的大小，进而求得的大小；（2）由，得到，根据向量的线性运算，求得，进而得到，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以或，当时，可得，可得；当时，可得，因为（舍去），综上可得.（2）因为，所以，由，