多粒子系统与全同性原理2课件

第七章多粒子系统全同性原理在研究由许多相同的微观粒子组成的体系时，必须考虑到量子力学的又一基本原理——全同性原理。这一章讨论多个相同粒子组成的系统。在经典力学中，与处理单粒子系统相比较，处理相同粒子构成的多粒子系统时，新增加的需要考虑的因素就是系统的自由度增加，使具体计算增加困难，而在理论框架里并不需要添加新的原则。在量子力学中则不然，在处理多个微观粒子组成的系统时，粒子的全同性要求在理论框架里增加新的原理。本章就来介绍量子力学的这个基本原理——全同性原理。（一）全同粒子和全同性原理（二）波函数的对称性质（三）波函数对称性的不随时间变化（四）Fermi子和Bose子（1）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。（2）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子1212（一）全同粒子和全同性原理相同的微观粒子，例如电子，具有完全相同的物理性质。当它们能够用经典力学描述时，具体说来就是，如果它们的德布洛意波长相对于运动的空间范围很短，描述它们的波函数在空间中的重叠很小，以致于可以认为它们各自沿自己的轨道运动时，它们仍不失去自己的“个性”。在此情况下，可以给组成系统的每个粒子标一个号码。只要在某一瞬时这样标了号，则在以后可以追随着它们的运动，在任一时刻重新识别每个粒子但是，如果组成系统的各个粒子的波函数在空间中有显著的重叠，使得经典近似失效，情况就变了。由于测不准关系，关于粒子“轨道”的概念失去了意义。即使在某一瞬时，给粒子编了号，在另一瞬时仍然无法辨认它们。在量子力学中，相同的粒子完全失去了自己的“个性”，无法加以区分，这称为全同性原理。这一原理对由相同的微观粒子组成的多粒子系统的波函数加了很强的限制。如果粒子有自旋，则描述粒子状态的力学量完全组除了空间变量r以外，还有自旋变量σ。用一个符号q统一表示它们：q=(r,σ)。考虑由两个相同粒子组成的系统，q1和q2表示描述这两个粒子状态的变量，ψ(q1,q2)表示描述粒子系统状态的波函数。qi的脚标i=1,2只不过表明系统中有两个粒子，由于全同性原理，无法确认那一个粒子是第1粒子，哪一个粒子是第2粒子。将q1和q2交换得到的ψ(q2,q1)和ψ(q1,q2)描述的是同一状态。在量子力学中，描述同一状态的波函数可以差一个相因子，而且只能差一个相因子。因此ψ(q1,q2)=eiαψ(q2,q1)(1.1)其中α为某一实数，它由粒子本身的性质决定在ψ(q2,q1)中交换q1和q2，有ψ(q2,q1)=eiαψ(q1,q2)

代入(1.1)式，得到ψ(q1,q2)=eiαψ(q2,q1)=e2

iαψ(q1,q2)e2iα=1，eiα=±1代入(1.1)式，得到ψ(q1,q2)=±ψ(q2,q1).(1.2)即：描述全同粒子系统的波函数，在交换两个粒子的全部变量时(简单说就是：在交换两个粒子时)，只能是或者对称——交换后波函数不变，或者反对称——交换后波函数改号。将全同性原理和叠加原理结合，可以得到一个重要结论：全同粒子系统的波函数，对于两个粒子的交换是对称还是反对称，完全决定于粒子本身的性质，与所处的状态以及系统中粒子的数目无关。证:用反证法设ψI(q1,q2)和ψII(q1,q2)分别对粒子交换对称和反对称：ψI(q1,q2)=ψI(q2,q1),ψII(q1,q2)=-ψII(q2,q1)由它们叠加成的波函数

ψ(q1,q2)=cIψI+cIIψII将是既不对称又不反对称：ψ(q1,q2)=cIψI(q2,q1)-cIIψII(q2,q1)≠±ψ(q2,q1)违反了全同性原理。ψI和ψII对于两粒子的交换必须有相同对称性。实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。（1）Bose子自旋为整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子如：光子（s=1）；介子（s=0）。Fermi子和Bose子（2）Fermi子自旋为半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。(二)波函数的对称化和反对称化考虑由N个粒子组成的系统。假定粒子之间的相互作用很微弱，在初级近似下可以忽略，定义单粒子态：ψ1,ψ2,…，假定这些单粒子态已经归一化。整个系统的态函数是N个单粒子态函数的乘积：乘积对于任意两个粒子的交换qiqj，不具有一定的对称性，不满足全同性原理的要求为了得到满足全同性原理要求的波函数，需要将(1.3)式对称化(如果所讨论的是玻色子)，或反对称化(如果所考虑的是费米子)III交换简并粒子1在i态，粒子2在j态，则体系能量和波函数为：验证：粒子2在i态，粒子1在j态，则体系能量和波函数为：IV满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而(q1,q2)和(q2,q1)仅当i=j二态相同时，才是一个对称波函数；当ij二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以(q1,q2)和(q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数C为归一化系数S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函数，本征值皆为：VS和A的归一化 若单粒子波函数是正交归一化的，则(q1,q2)和(q2,

q1)也是正交归一化的证：同理：而同理：证毕首先证明然后考虑S和A归一化则归一化的S同理对A有：上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，归一化的

SA依旧因H的对称性式2成立全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。证方法I设全同粒子体系波函数s在t时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以Hs在t时刻也是对称的。在t+dt时刻，波函数变化为对称对称二对称波函数之和仍是对称的依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。同理可证：t时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。（三）波函数对称性的不随时间变化（2）Bose子体系和波函数对称化2个Bose子体系，其对称化波函数是：1，2粒子在i，j态中的一种排列N个Bose子体系，其对称化波函数可类推是：N个粒子在i，j…k态中的一种排列归一化系数对各种可能排列p求和nk是单粒子态k上的粒子数例:N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别记为1、2、

3，求：该体系对称化的波函数。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。另外还有5种可能的状态，分别是：（3）Fermi子体系和波函数反对称化2个Fermi子体系，其反对称化波函数是：行列式的性质保证了波函数反对称化推广到N个Fermi子体系：两点讨论I。行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式， 因而A是本征方程H

=E的解.II。交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调， 由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称 化波函数。此行列式称为Slater行列式。（1）二Fermi子体系其反对称化波函数为：若二粒子处于相同态，例如都处于i态，则写成Slater行列式两行相同，行列式为0（2）NFermi子体系Pauli原理(三)福克表象对称化和反对称化的波函数(1.8)式和(1.7)式不便于应用，因而对全同多粒子系统常采用另一种表象。在(1.8)式和(1.7)式中，先标明第i个粒子所处的状态νi(i=1,2,…,N)，然后再进行对称化或反对称化。为了避免这一复杂性，用另一办法来描述系统的状态。将单粒子态编号:1,2,…,ν,…，指明在各个态中的粒子数:单粒子态12…ν…粒子数n1

n2…nν…(1.9)描述全同多粒子系统的状态。显然，这种描述方法从一开始就不给粒子编号，因而自动满足全同性原理的要求。描述全同多粒子系统状态的这一方法所用的态矢是|n1,n2,…,nν,…〉.(1.11)相应的表象称为福克表象。态矢(1.11)既适用于玻色子又适用于费米子。玻色子nν=0,1,2,…没有限制；费米子则只能有nν=0,1这一差别通过作用在态矢(1.11)上的算符体现出来。算符对态矢(1.11)作用，改变了其中的nν(ν=1,2,…)，使它们减少或增加。基元算符:使nν减少1的算符aν称为消灭算符,使nν增加1的算符a+ν称为产生算符cν,cν′是两个常数。只要有对易关系(1.13)式就能满足，而且单粒子态ν中的粒子数算符的本征值nν=0,1,2,…，符合玻色子的要求。对费米子，nν只能取0和1两个值。用bν和b+ν表示相应的消灭和产生算符。其中|0,0,…,nν=0,…〉是没有粒子的状态，称为真空态cν是另一常数。再用b+ν作用一次，将会使nν变为2，这不可能。必须有(b+ν)2=0。取共轭得(bν)2=0当μ≠ν时，b+μb+ν|0,0,…,nμ=0,…,nν=0,…〉上得到nμ=nν=1的态，而b+νb+μ作用到真空态上也会得到同一状态，但是两个粒子交换了,根据费米子的性质，所得结果应该相差符号因而有取共轭得当μ=ν时回到(b+ν)2=0,(bν)2=0满足对易关系(1.14)式的算符aν,a+ν:玻色子的消灭算符和产生算符；满足反对易关系(1.19)(1.19′)式的算符bν,b+ν费米子的消灭算符和产生算符。全同多粒子系统中一切力学量的算符都可以用它们表示全同多粒子系统的这样一种描述方式称为二次量子化。以上说到的“两个粒子交换”是指描述这两个粒子的全部变量的交换，其中包括坐标变量和自旋变量。坐标变量的函数称为“轨道”波函数，前面已经讨论得很多，下面来讨论电子的自旋波函数。自旋没有经典对应，不可能用坐标和动量的算符把它表示出来可以在s

2和sz的共同表象里，得到它的矩阵表示。§5.5.2电子自旋波函数对粒子交换的对称性电子的自旋角动量量子数s=1/2。电子的自旋s=1/2，电子的自旋算符在s

2和sz表象中的形式为其中称为泡利矩阵电子的自旋角动量的大小是固定不变的，s=1/2，它在任一方向都有(2s+1)=2个投影，即两个指向。自旋指向不同，电子的自旋状态也不同。描述电子自旋状态的态函数在sz表象中写出是二行一列矩阵，由sz矩阵，它有两个本征值，，相应的本征波函数是：自旋波函数χ(σ)中的变量σ就是s

z所取的值和轨道波函数ψ(x)中的变量x是坐标所取的值一样，\一般的自旋波函数(旋量)是它们的叠加：它描述的几率为|c+|2，的几率为|c-|2的状态坐标变量能取无穷多个连续值，自旋变量只能取两个分立值。一般情况下，电子的自旋和轨道运动的耦合很弱，此时可以把电子的总波函数写成轨道波函数和自旋波函数的乘积。Ψ(r1,σ1,r2,σ2)=Ψ(r1,r2)χ(σ1,σ2)，考虑到电子有自旋，描述电子运动的力学量就包含“轨道”变量和自旋变量sz电子的任意波函数可写成Ψ(x,y,z,σ)变量x,y,z取连续值，变量σ取两个分立值:±1/2电子是自旋为半整数的费米子Ψ(r1,σ1,r2,σ2)=-

Ψ(r2,σ2,r1,σ1)

，交换两个粒子

Ψ(r1,r2)χ(σ1,σ2)＝－Ψ(r2,r1)χ(σ2,σ1)为了满足此式，有两种可能\二电子系统的波函数如果对两个电子坐标的交换反对称，则对自旋变量的交换对称；如果对坐标的交换对称，则对自旋变量的交换反对称。Ψ(r1,r2)＝Ψ(r2,r1)χ(σ1,σ2)＝－χ(σ2,σ1)χ(σ1,σ2)＝χ(σ2,σ1)

Ψ(r1,r2)＝－Ψ(r2,r1)尽管电子是费米子，如果只看轨道波函数或只看自旋波函数，则对其中变量的交换都有对称和反对称两种可能；通过轨道波函数和自旋波函数有相反的对称性，保证了总波函数满足全同性原理对反对称性的要求。如果两个电子的自旋相互作用可以忽略，可以把χ(σ1，σ2)写成两个单电子自旋波函数的乘积。当体系Hamilton量不含二电子自旋相互作用项时，二电子自旋波函数单电子自旋波函数可构成4种相互独立二电子自旋波函数：由此又可构成4组具有一定对称性的二电子自旋波函数：对称波函数反对称波函数二电子波函数的构成（1）总自旋算符：总自旋S2，SZ算符的本征函数（2）

S

A是S2SZ的本征函数：证：计算表明，

sI是S2和SZ的本征函数，其本征值分别为22和。相应的自旋角动量量子数S=1，磁量子数mZ=1同理可求得：上述结果表明：具有交换对称的χ(s)描述两个电子自旋平行的态，因而S=1，它有三种取向：Sz=±1,0具有交换反对称的χ(a)描述两个电子自旋反平行的态，因而S=0,Sz=0。如果S=1,则χ=χ(s)ψ=ψ(a)；如果S=0,则χ=χ(a)ψ=ψ(s)如果二电子系统的总自旋S=1，轨道波函数对于坐标交换反对称如果二电子系统的总自旋S=0，轨道波函数对于坐标交换对称。一般情况下，ψ(a)(r1,r2)和ψ(s)(r1,r2)有不同能量。交换相互作用虽然自旋和轨道没有直接的相互作用，但由于全同性原理，二电子系统的自旋状态却影响了轨道运动的能量。§7.2氦原子除了氢原子外，最简单的原子是氦原子。氦原子是由带正电2e的原子核与核外2个电子组成的体系。由于核的质量比电子质量大得多，所以可以认为核是固定不动的。于是氦原子Hamilton算符可用下式表示：其中μ为电子和氦原子核的约化质量，ra和rb分别为二电子的矢径，rab为二电子间的距离。(一)微扰计算将H分成两部分,将最后一项视为微扰其中未扰哈米顿算符H0分成了仅含ra与仅含rb的两项之和，因此未扰态可用分离变量法写成仅含ra与仅含rb的二函数之积：首先用微扰方法来近似地计算能级，然后用全同性原理作一般性讨论。由(3.4)式知：其中φn(ra)与φm(rb)是方程的解。因为a0与b0的形式完全相同，所以φn(ra)与φm(rb)是是同一形式的方程(3.5)［即z=2的库仑场方程］的解。它已经在§6.1.1的(1.56)式中求出。很明显，函数同样也是H0的本征态，而且也对应于本征值E(0)n+E(0)m。未扰态中同一能量E(0)n+E(0)m对应于两个态ψ1和ψ2，所以它有二重简并因为由ψ1交换ra，rb可得ψ2，所以这种简并叫做交换简并。但应注意，这种“简并”之所以产生，是由于我们在哈米顿中人为地分出了“微扰”V，而实际上电子不可能只与核作用而自己之间无相互作用。因此这种“交换简并”并不是真实具有的简并。根据有简并情况下的一般微扰方法，令正确的零级波函数为：代入方程Hψ=Eψ，得到分别乘上ψ1*dτ和ψ2*dτ积分得二方程：其中：V11=V22及V12=V21是由于这些积分都是对于ra，rb的遍及整个空间的积分，交换脚标a，b不改变积分的值。令E=E(0)+E(1)，上二式就成为。这就是§6.1.2(2.42)式。为使它对c1，c2有非零解，需要系数行列式等于零此即久期方程

。解之得E

(1)=K±A，故得能级：由此可见，交换简并被解除