2021年广东省深圳市宝安区高考数学押题试卷(5月份)

2021年广东省深圳市宝安区富源学校高考数学押题试卷（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（5分）设集合A={『| 集合B={xly=/g（x2+2r-3）},则AH（RS）=（）A.（…，-3）B.（-1,+8）C.[-3,1]D.[-3,-1）TOC\o"1-5"\h\z（5分）设复数z满足lz-2il=l,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（ ）A.1 B.避 C.i D.3（5分）已知向量0=（2,2jg）,若（a+3b）-L 则b在心的投影是（ ）3 3 4 4A.— B. C.— D. 4 4 3 3（5分）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题满讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ ）TOC\o"1-5"\h\z5 7 9 5A. B. C. D. 12 12 14 14（5分）已知函数/G）=x2«log2lxl,其图象可能是（ ）

（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛（｝,则数列｛4｝各项的和为（ ）A.137835 B.137836 C.135809 D.135810（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3.—3遮；出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点、，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足Xy=/（t）=-??sin（a）I-|-（p）（t>0,a）>0,|（P|<一:,则下列叙述正确的是XA.g= 6B.当作［0,60］时，函数y=f（f）单调递增C.当，=100时，IB4I=6D.当代［0,60］,\f（r）I的最大值为34（5分）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且碉=2,a”+i=S”，若（0,2020）,则称项TOC\o"1-5"\h\z%为“和谐项”，则数列｛（｝的所有“和谐项”的平方和为（ ）I-"_i_81sz△114 1 .io,8 1 .124A.X4~r—B.—X4 C.—X4十—D.—X4 3 33 3 3 33 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.（多选）9.（5分）已知0<a<b<lVc,则下列不等式一定成立的是（ ）A.ac<b（ B,c0<cbC.logoc>logfoc D.sinc>sina（多选）10.（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：a”）服从正态分布，其密度曲线, （®-W—函数为，（旬=———e200 , 则下列说法正确的是ioysx（）A.该地水稻的平均株高为100c,”B.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120c机以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（单位：c/n）的概率一样（多选）11.（5分）在菱形ABCO中，AB=2,N48c=60°,将菱形48。沿对角线AC折成大小为。（0G（0°,180°））的二面角B-AC-。，四面体A8CZ）内接于球。，下列说法正确的是（ ）A.四面体ABC。的体积的最大值是1B.无论。为何值，都有A8_L£）CC.四面体48C。的表面积的最大值是4+24D.当D.当8=60°时，球。的体积为52，j歌

81（多选）12.（5分）已知函数/（2）=25?—1。81X,且实数a,b,cCa>b>c>0）满足T/（a）f（b）/（c）<0.若实数a是函数y=f（x）的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ）A.N）V〃 B.x0>a C.x0</? D.x0<c三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1（5分）己如直线/的斜率为一，且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程6为.（5分）若3+L）（a?H■—L；的展开式中x2的系数为224,则正实数。的值为.（5分）请写出一个函数/（X）=,使之同时具有如下性质：①VxeR,f（x）=f（4-x）,②Vx6R,f（x+4）=f（x）.（5分）在棱长为1的正方体ABCO-A|B|GOi中，M'N分别是Ag,4向的中点，点P在其表面上运动，使MP与BN垂直，则线段BP的最大值是.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。厂bcqsB+1-（10分）在①^=—- ,②2bsinA=atanB,③（a-c）sinA+csin（A+B）=ay3sinA戾inB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.己知△ABC的内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若.(1)求角8；(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时AABC的面积.(12分)已知递增等比数列｛%｝的前〃项和为5”，且与=2,$3=7.(1)求数列｛%｝的通项公式；(2)令粼="%,求数列｛.｝的前〃项和，；(3)记C.二3°一2，(- 是否存在实数人使得对任意的〃6N*,恒有c„+1>cn?若存在，求出入的取值范围；若不存在，说明理由・(12分)在四棱锥尸-48CO中，平面A8COJ_平面PCO,底面A8CO为梯形，AB//CD,AD1DC,且AB=1,4O=OC=OP=2,ZPDC=120".(I)求证：AD±PC；(ID求二面角P-AB-C的余弦值：(III)若M是楼布的中点，求证：对于极BC上任意一点凡M尸与尸C都不平行.(12分)某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令勺=阮中％.=/〃》,得到相关数据如表所示：10Zuivi10j=110SV,i=l10£uri=l30.5151546.5

年利润额/千万元2；d一2：Ag力二启1'61’820为24之6力下「广告费用/十万元(1)从①y=bx+a；®y=m*xk(/n>0,4>0)；三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；(2)根据(1)中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；(3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)10参考数据：—~3.6788,3.6788~49.787.T参考公式：回归方程¥=口+卜/中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=n.X储一刀(兀7)，q=y~bt-21.(21.(12分)已知椭圆C：y—=1(a>6>0)的离心率-直线a-y十修=0与椭圆C有且只有一个公共点.(I)求椭圆C的标准方程(II)设点A(—，T，0)，5(73,o；，P为椭圆c上一点，且直线力与尸8的斜率2乘积为 ，点M,N是椭圆C上不同于A,8的两点，且满足AP〃OM,BP//ON,3求证：△OMN的面积为定值.22.(12分)已知函数f(x)=ev-e~x-asinx,a>0,其中e是自然对数的底数.(1)当x>0,f(x)>0,求a的取值范围；(2)当x>l时，求证:-x+— >sinx-sinUnx).2021年广东省深圳市宝安区富源学校高考数学押题试卷（5月

份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.„1（5分）设集合,={工|2<^},集合B={xly=/g（N+Zr-3）},贝ijAC（CRB）=（）A.（-8,-3）B.（-1,+8）C.[-3,1] D.[-3,-1）【分析】由已知先求出集合A,B,以及集合8的补集，进而可以求解.【解答】解：由已知可得集合4={X氏<-1},令x2+2x-3>0,解得x>l或xV-3,所以集合8={xlx>1或x<-3）,则Cr8={xI-30W1}，所以4。（CrB）=[-3,-1）,故选：D.【点评】本题考查了集合的运算关系，涉及到指数不等式以及一元二次不等式的求解，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.（5分）设复数z满足lz-2il=l,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（ ）A.1 B.避 C.述 D.3【分析】先利用模的几何意义得到复数z对应的点Z的轨迹，然后由圆上的点与圆外的点的距离的最值求解即可.【解答】解：因为lz-2il=l,故复数z对应的点Z的轨迹是以C（0,2）为圆心，1为半径的圆，又OC=2,所以在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是2+1=3.故选：D.【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解和应用，圆上点的最值问题的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知向量3=（2,2百），若（之+3芯）±Q,则另在之上的投影是（ ）S 3 4 4A.— B. C.— D. 4 4 3 3【分析】可求出|%|=4,根据G+3%）_L1即可得出区+3石），%=0，进行数量—F16积的运算即可求出Q•b= ,然后根据投影的计算公式即可求出投影的值.3【解答】解：=4,值+0），£（a+3b）»o=a+3a，H=16+3a，b=0，—f--f_ a 4...b在。上的投影是_>-=——.Ia| 3故选：D.【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.（5分）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题满讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ ）TOC\o"1-5"\h\z5 7 9 5A. B. C. D. 12 12 14 14【分析】基本事件总数h=a!a!.其中高一3人不相邻包含的基本事件个数m=3 0由此能求出高一年级3人不相邻的概率.【解答】解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数"=A：A241920,3 03 5 3其中高一3人不相邻包含的基本事件个数m=A；A；A1=86400,0Ou

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"m86400 5.••高一年级3人不相邻的概率P=—— ——\o"CurrentDocument"n241920 14故选：D.【点评】本题考查概率的运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.(5分)已知函数/己)5.(5分)已知函数/己)=x2*log2M>其图象可能是( )趋势，排除即可得答案.先分析函数的奇偶性，排除BC,再分析函数的变化【解答】解：根据题意，函数【解答】解：根据题意，函数f(x)=x2*log2lrl,其定义域为{xk声0},则f(-x)=x2,log2W=/(jc),即函数/(x)为偶函数，排除BC,当x-+8时，f(x)为增函数且增加得越来越快，排除

故选：A.【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性以即函数值符号的分析,属于基础题.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛册｝,则数列｛%｝各项的和为（ ）A.137835 B.137836 C.135809 D.135810【分析】首先利用数列的数据关系求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前〃项和公式求出数列的和.【解答】解：由于数列中的数能被3除余1且被5除余1的数，故为=15〃-14,当“=135时，an5=15X135-14=2011,所以5侬=所以5侬=135XQ+2011)2=135810.故选：D.【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等差数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3,—3毒；出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足Xy=/(t)=Rsi+(p)(t之0,3>0,|中|V—:,则下列叙述正确的是XA.Q= 6B.当正[0,60]时，函数y=f(f)单调递增C.当1=100时，IB4I=6D.当代[0,60],\f(r)I的最大值为34【分析】求出圆的半径R，利用周期求出3,通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可.【解答】解：由题意，R=J3’+(-3通)2=6,T=120，2HX所以3= =—;T60又点从(3»—3，密代入f(x)可得一3，W=6sin(p，73解得(p=---；2TOC\o"1-5"\h\zJ X又|甲|V—,所以(p= -故A错误；\o"CurrentDocument"2 3八，」又 兀、 冗兀 2工,所以/(i)=6s】n(t ,,当/g[0,60]时,-t G[ > ],所以\o"CurrentDocument"60 3 60 3 6 3函数/(x)先增后减，故8错误；K.X4K当，=100时，1 = 9P的纵坐标为y=一34，横坐标为x=-3,60 3 3所以方=1-3-31=6,故C正确.r6[0,60]时，点P到x轴的距离的最大值为6,故。错误；故选：C.【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题.（5分）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且勺=2,%+i=5“，若册6（0,2020）,则称项品为“和谐项”，则数列｛%,｝的所有“和谐项”的平方和为（ ）11 8 1..„11 4 1io.8 1...124A.—X4~| B.—X4 C.—X4H D.—X4 3 3 3 3 3 3 3 3a+i【分析】根据a”+i=S”得出a,=Sn）（n>2）,然后两式相减，得出——=2,再an12rl然后根据为=2得出a2=2以及= 最后根据“和谐项”的定义得n[2,n=l出通过等比数列前n项和公式求和即可得出结果.【解答】解：因为4+[=5〃，所以4=5〃I(〃》2),则an+1-a,=5„-s„即an+l_an=an'an+\=2an'G+i所以 =2(n>2；,因为白]=2,所以°2=5]=。1=2,TOC\o"1-5"\h\zQ -n故a=｛ ,[2、n=l因为anE(0,2020),所以1/W11,于是数列｛4｝的所有"和谐项”的平方和为：Q；+/+…+°；+。：=4+4+42+…+4/=4+4?一:)=4+41412 io11 1-4 3故选：A.【点评】本题考查数列的前n项和的求法，考查等比数列的定义以及数列通项公式的求法，能否正确理解”和谐项”是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9.（5分）已知OVaVbVIVc,则下列不等式一定成立的是（ ）A.ac<b< B.d<cbC.logac>logfoc D.sinc>sina第13页（共32页）【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解.【解答】解：对于A,哥函数y=下在（0,1）上是增函数，".'0<a<b<1<c,.,.acV*,故4正确，对于8,指数函数y=c1r在（0,1）上是增函数，'：0<a<b<\<c,：.c0<cb,故8正确，11对于C,Vlogcfl<logri<0,fogc= ,logc= ,log’Q logblog,/>logw,故C正确，兀对于。，令c=n,a=—,满足0caCbCIVc,但sinc<sina,故。错误.4故选：ABC.【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握函数的单调性是解本题的关键，属于基础题.（多选）10.（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：c/n）服从正态分布，其密度曲线, （®-W—函数为，（T）= --e 200 , +8），则下列说法正确的是ioyzx（）A.该地水稻的平均株高为lOOcwB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（单位：cm）的概率一样【分析】由已知可得=100,«=10.由此判断4正确，B错误：然后再由。、2。、3。原则求解概率判断C与。.【解答】解：由正态分布密度曲线函数为, （af-100}1- - f（x）=— e200 »3；£（-8,+8）,10A得=100,O=10.

...该地水稻的平均株高为E（X）=100cw,故A正确；该地水稻株高的标准差。=10,方差为100,故8错误；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1'：P（X>120）=[1-P（-2o<X<+2o）]=——（1-0.9544）=0.0228,\o"CurrentDocument"2\o"CurrentDocument"1 1P(X<70)=—[1-P(-3。<X<+3。)]=一(1-0.9974)=0.0013,\o"CurrentDocument"2 2随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cvn以下的概率大，故C正确；P(80<X<90)=[P(-2o<X<+2o)-P(-o<X<+o)]1=(0.9544-0.6826)=0.1359,2P(100<X<110)=一[P(-0<x<+0)]=一X0.6826=0.3413.2 2随机测量一株水稻，其株高在（80.90）和在（100,110）（单位：cm）的概率不一样大，故。错误.故选：AC.【点评】本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和。的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.（多选）11.（5分）在菱形A8CO中，AB=2,NABC=60°,将菱形A8C。沿对角线AC折成大小为。（06（0°,180°））的二面角8-4C-0,四面体A8C。内接于球。，下列说法正确的是（ ）A.四面体ABC。的体积的最大值是1B.无论。为何值，都有A8_LOCC.四面体48co的表面积的最大值是4+2/D.当D.当3=60°时，球。的体积为52/1歌

81【分析】对于A,设二面角8-4。-。的平面角为。=/8瓦）,贝lj4）mbc=国血忘1,进而可作出判断；对于8,假设AB_LCO,可得O8=D4,而OB,D4不一定相等，由此可判断；对于C,由于SaCBD=5白= z^BAD=2sinZBAD<2,由此可得四面体abco表面积的最大值；对于。，分析可知球。的半径为灭='”，进而求得3体积.【解答】解：对于A选项，；AC=45=2,NA8C=60°,则△ABC为等边三角形，取AC的中点E,则BELAC,同理可知，从。。为等边三角形，1TOC\o"1-5"\h\z故oe_LAC,且BE=DE=2sinS00=/，SKas=—AC-BE=Jl，\r laRv<2^ ®设二面角B-AC-D的平面角为e=N8EC,设点D到平面ABC的距离为d,\o"CurrentDocument"则 d=DEsin9=y3sin6 ，\o"CurrentDocument"1 IyD-ABc=VSAABG'd=VXvZ3xVZ3sin6=sin^^L当且仅当。=90°时，等号成立，即当。=90°时，四面体ABCO的体积的最大值是1,故A正确；对于8选项，取A8中点尸，连接CF,若ABLCD,因为A8_LCF,CDCCF=C,所以A8_L平面CO凡从而A8_LO尸，DB=DA,而。8,04不一定相等，故8错误；对于C选项，S…“=S△,疗=J§，△ACDdXBCVs"：AB=AD=BC=CD,BD=BD,:AABD9MBD,1所以，S=S =—AB-ADsinZBAD=2sinXBAD<2,&C3D^AED2因此，四面体ABC。的表面积的最大值是2X/W+2X2=4+2«g，C选项正确；第16页（共32页）j3对于。选项，设M、N分别为ZVIBC、△ACC的外心，则EN=EM=—BE=-一3 3在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点O,,：BELAC,DELAC,BECDE=E,，ACJ_平面BDE,；OMu平面BDE,：.OM±AC,\'OM±BE,BEDAC=E,平面ABC,同理可得ONJ_平面4C£),则。为四面体ABCD的外接球球心，连接OE,,:EM=EN,OE=OE,NOME=NONE=90°,9a:.AOMEmAONE,所以，/OEM=—=30,cos30a3VAC±¥ffiBDE,OEu平面B£)E,：.OELAC,TOC\o"1-5"\h\z。A*OE+AE=-一，即球。的半径为R=-一,3 34c52/li 、《“因此，球o的体积为V=—兀R= X,。选项正确.\o"CurrentDocument"3 81【点评】本小题考查平面图形的翻折问题，空间多面体的体积、表面积的最值问题、外接球的体积的求法以及直线的位置关系的判定，考查空间想象能力及读图能力，考查直第17页(共32页)观想象、运算核心素养，体现基础性、应用性和综合性，属于较难题目.(多选)12.(5分)已知函数人露=2■一！Og1猿，且实数a,b,c(a>b>c>0)满足Tf(a)f(b)f(c)<0.若实数％是函数y=/(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A.x0<a B.x0>a C.x0<b D.x0<c【分析】根据题意，分析函数的定义域和单调性，由a、6、c的大小关系可得f(a),f(b),/(c)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0,据此分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数汽田)=2"-log1B=2x+log/,其定义域为(0,+8),函数丫=21和y=log2X都在(0,+°°)为增函数，则函数f(x)在(0,+8)上为增函数，因为实数a,b,c(a>ft>c>0)满足/(a)f(b)f(c)<0,则/(a),八b),/(<-)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0,如图.则A,B,C可能成立，x()>c,。不可能成立.9故选：ABC.【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的零点，属于综合题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.113.(5分)已如直线/的斜率为一，且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程6为x-6:+6=()或x-6了-6=().a?y 1 b 1【分析】设直线/的方程为一i一=1,根据题意可得Tabl=3,且=——，从而求ab 2 a 6出a与b的值即可得到直线方程.xy【解答】解：根据题意，设直线/的方程为一二=1,abb1 fa=-6fa=6a6 g=l [b=-l所以直线/的方程为 Fy=1或--y=1＞即x-6y+6=0或x-6y-6=0.—6- 6故答案为：x-6y+6=0^,x-6y-6=0.【点评】本题考查直线方程的截距式的应用，考查学生的直观想象和运算求解的能力，属于基础题.（5分）若（t+D3H■—的展开式中"的系数为224,则正实数a的值为2.a【分析】求出a+——）6的展开式的通项公式，分别令X的指数为2和-2,求出对应a的r的值，从而可得（①+ ；的展开式中x2的系数，列方程可求得正实数a的值.a r --【解答】解：（X+—-）6的展开式的通项公式为7；+]=C；/-"（631,所以r=3时，得到x2的系数为C：a3=20a3,0r=6时，得到x-2的系数为C：“6=a6,a从而（r+1）（reH ；的展开式中x2的系数为.6+20a3=224,解得a3=8或a3=-28,所以正实数a的值为2.故答案为：2.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.K . _(5分)请写出一个函数/(x)=cos—x,使之同时具有如下性质：①VxCR,f(x)2-=f(4-x),②VxCR,/(x+4)=f(x).【分析】由性质①确定函数的对称性，由性质②确定函数的周期性，结合所学过的函数进行分析求解即可.【解答】解：性质①：VaGR,f(x)=/(4-x),故函数f(x)关于直线x=2对称，性质②：V.rGR,f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,考虑同时具有对称性和周期性的函数，常见的是三角函数，K故/(x)=cos-X(答案不唯一).2X故答案为：cos—X.2【点评】本题考查了抽象函数的应用，涉及了函数的劝称性以及周期性的理解和应用,考查了逻辑推理能力，属于基础题.(5分)在棱长为1的正方体A8C£)-4|81G0中，〃，N分别是4仇，人声］的中点,点P在其表面上运动，使与8N垂直，则线段8P的最大值是——.~4~【分析】分别取8当，CC|的中点E,F,连接AE,EF,FD,结合条件确定尸点轨迹进而可求线段BP的最大值.【解答】解：如图所示，分别取8打，CG的中点。F,连接AE,EF,FD,则8N1.平面AEFD,过点M作平面a,使a〃平面4EFQ,则平面a与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形,其周长与矩形AEED的周长相等，故8尸的最大值为【一,故答案为： 【点评】本题考查了空间中距离的最值问题，找到P的运动轨迹是解题关键，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(10分)在©—= ,②2bsinA=atanB,③(a-c)sinA+csin(A+8)=aySsinA戾inB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若.(1)求角8；(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时ZVIBC的面积.【分析】若选①：K(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式，结合sinAWO,可得sin(8——)6x: x5x=一,可求范围8——G（——，——■）,进而可求8的值.6 6 6(2)由余弦定理，基本不等式可求622,进而根据三角形的面积公式即可求解.若选②：1(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合siMW0,可求cosB=—,2结合范围se(0,n),可求8的值.(2)由余弦定理，基本不等式可求622,进而根据三角形的面积公式即可求解.若选③：(1)由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式，整理可得：°2+c2-b2=ac,由余弦定理可得cos8=一,结合范围B6(0,TT).可求8的值.(2)由余弦定理，基本不等式可求622,进而根据三角形的面积公式即可求解.第21页(共32页)【解答】解：若选①:TOC\o"1-5"\h\zt>cosB+1 「(1)因为二二 ,由正弦定理可得：/jsinBsinA=sinAcosB+sinA,aJ3sinA因为4为三角形内角，sinAWO,$in8=cosB+l,可得：2sin(B )=1,即sin(B )=一6 6 2兀 定 5兀 元 发因为86(0,n)(可得8-C( ， ),可得8--=—\o"CurrentDocument"6 6 6 6 6所以可得8=一3(2) b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac—16-3ac,即3ac=16-b2,d~\~C；.16-b2W3( )2,解得b22,当且仅当a=c=2时，取等号，2：.bmin=2,ZXABC周长的最小值为6,此时，AA8C的面积5=—2出8=通.若选②：V2fesinA=atanB,asinB sinB...2bsinA= ,由正弦定理可得2sinBsinA=sinA・ cosB cosBVsinA^O,1••可"(导cosB1j2VBG(0,tt),：.B=3Vfe2=a2+C2-2accosB=(a+c)2-3加=16-3ac,即3ac=16-62,a+c，16-b2W3( )2,解得b22,当且仅当a=c=2时，取等号，2.••%加=2,ZXABC周长的最小值为6,此时，OBC的面积5=行火，8=通.若选③：(1)因为(a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB,所以(a-c)sioA+csinC=bsinB,由正弦定理可得：(a-c)a+c2=/;2,整理可得：a2+c2-b2=ac,2,2,2 ,a+c—bacL由余弦定理可得cosB= = =——.2ac2ac2因为Be(0,n),JC所以B——.3Vfe2=a2+C2-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2,d+C.•.16-b2W3( )2,解得当且仅当a=c=2时，取等号，21 L加=2,△ABC周长的最小值为6,此时，"BC的面积S=—acsinB=q.【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.18.(12分)已知递增等比数列｛4｝的前〃项和为S”，且与=2,53=7.(1)求数列｛册｝的通项公式；(2)令与=”册，求数列｛.｝的前"项和7；；(3)记％=3"—2，(一1)13。¥0)，是否存在实数人使得对任意的“eN*,恒有c„+1>cn?若存在，求出入的取值范围；若不存在，说明理由・【分析】(1)设等比数列｛4｝的公比为4,由已知条件可知q>0.由已知利用通项公式即可得出.(2)由(1)得：b=n-2n-1.利用错位相减法即可得出n n(3)利用％+]>7,对〃分类讨论，即可得出入的取值范围.【解答】解：(1)设等比数列｛册｝的公比为4，由已知条件可知q>0.a=aQ=2由已知条件可得彳S=a(H-g+?)=7,q>0, m=4a=1 ,解得或(1,h=2U=y若ai=l,<7=2,则(2。=(2(2"1=2r"1,此时，数列｛%｝为递增数列，合乎题意；若“1=4,q=—,则Gn=tiqn1=4-(—)"-1.此时，数列｛%｝为递减数列，不合乎题意.n~1综上所述，0=2 .n(2)由(1)得：b=n-2n-1.n则7“=1・2。+2・21+3・22+…①27口=1・2+2・2+・••+(n-1)•2 +n,2,②由 ②- ① 得：Tn=n-2n-(l+2+2-F...+2，，-1)=n-2n--^-=(n-1)-20+1.(3)Vcn=3n-2-(-l)nAffln=an-(-l)nX-2n>.-cn+1=3n+1H-(-l)n.A-2n+1.又•*cn+l>cn,，3〃+1+(-1)〃入2+1>3〃-(-1)〃入2〃，即3〃・1+(-1)〃入2-1>0.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 1 3当〃为偶数时，3"1+A2«>>0,则入,AA> ；\o"CurrentDocument"2 23当"为奇数时，3"1-X2«1>0,则入<(—「一，，入VI.23综上： <A<1,且入#0.23故人的取值范围是(—，o)u(0,1).2【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.(12分)在四棱锥P-48CD中，平面ABC。_L平面PCD,底面ABC。为梯形，AB//CD,ADLDC,S.AB=\,AD=DC=DP=2,ZPDC=120°.(I)求证：ADLPC；(II)求二面角PAB-C的余弦值；(III)若M是棱外的中点，求证：对于棱BC上任意一点凡M尸与尸C都不平行.【分析】(I)利用面面垂直的性质定理证明平面PCD,即可证明结论；(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面以8的法向量，由向量的夹角公式求解即可；(III)假设8c上存在点F,使得MF〃尸C,设示=入前，入曰0,1],求出点的坐标以及向量的坐标，利用向量的坐标表示，列出方程组，求解即可得到答案.【解答】(I)证明：\•平面A8C£>_L平面PC。，平面ABCOC平面PC£)=CO,4Ou平ifABCD,ADLDC,.*.AO_L平面PCD,,.,PCu平面PCD,：.ADLPCx(II)解：在平面尸CO内过点。作£W_L£>C,交PC于H,由(I)知，AO_L平面P£)C,DHu平面PDC,：.AD±DH,：.AD,CD,OH两两垂直，以。为原点，DA,DC,。”所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则。(0,0,0),P(0,-1,g,X(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),平面48C。，平面A8CO的一个法向量为7=(0,0,1),乂PA=(2,1,—P&=(2, —设平面布8的一个法向量为椅=(x,y,z),[m-YA=2x-\-y-J3z=0由《一一» L，|m-PB=2x-]-2y-v/3z=0取z=2,则机=(^/3,0,2)，由题意可知，二面角P-48-C为锐角，2〃TOC\o"1-5"\h\z二面角P-AB-C的余弦值为 ；7（III）证明：假设8c上存在点凡使得M尸〃PC,设瓦F=入就，入曰0,1],依题意可知，M（1, ,——）,\o"CurrentDocument"2 2则前=（-2,1,0）,~BF=（-2A,入，0）,所以尸（2-2人，1+入，0）, . 3 .故MF=（1-2A, |~入， ）,PC=（。，3,—/q）\o"CurrentDocument"2 2 丫rl-2X=O士十人=3则，2 ,此方程组无解，故假设不成立，一-~=~^^对于棱BC上任意一点凡M尸与PC都不平行.【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质和面面垂直的性质定理的应用，空间向量共线定理的理解与应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,属于中档题.20.（12分）某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令%=配中得到相关数据如表所示：10Zuivi10z/j=110SV,i=l10Suri=l30.5151546.5■年利润额/千万元10,•・6- ・ •4.■2；5一2iig二二/“1'82’0二:。。而二广告责用/十万元（1）从①y=bx+a； （m>0,jt>0）；③y=c、2+公+e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）10参考数据：——«3,6788,3.6788~49.787.e—>参考公式：回归方程?:^^十卜，中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=

X凡一力（兀-y）i=l ・_二~ ，a=y-bt-i=l【分析】（1）由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，得到选择回归类型.（2）对〉="/两边取对数，得lny=lntn+klnx,BPu=lnm+ku,求出回归直线方程的系数，然后求解回归方程即可.11（3）推出y=?-a?3,通过y=e♦a?⑶>]0,说明下一年应至少投入广告费用.【解答】解：（1）由散点图知，年广告费用X和年利润额），的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型y="/更好.（3分）（2）对 两边取对数，Wlny=lnm+klnxt即u=/〃m+版，（4分）10,10,_«=1由表中数据得，K—mZ«.—10ui=130.5-10X1.5X1.5_146.5-10X1.5XI.5~~3,代分）所以tnm=u—ku=1.5 X1.5=1,所以（7分）31所以年广告费用X和年利润额y的回归方程为y （8分）1（3）由（2）,知>=?・13,— 4"io—令,=小工*>10,得—,得a*>3,6788,（10分）e所以x>3.67883249.787,（11分）所以刀弋49.8（十万元）=498（万元）.故下一年应至少投入498万元广告费用.（12分）【点评】本题考查回归直线方程的应用，散点图的应用，考查分析问题解决问题的能力,是中档题.x,y, —一/ 「21.（12分）已知椭圆C：H--=1（a>b>0）的离心率为 ，直线J；—y十与椭圆C有且只有一个公共点.（I）求椭圆C的标准方程（II）设点A（—0）.5（73,0；，P为椭圆C上一点，且直线以与P8的斜率2乘积为 ，点M,