2021-2022学年江苏省镇江市高二（下）期初数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年江苏省镇江市高二（下）期初数学试卷.双曲线=一y2=i的渐近线方程是（）A.2x±y=0B.x+2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0.经过点（一3,1）,且平行于直线y=3x的直线方程为（）A.3x—y-10=0 B.3x—y+10=0C.x+3y=0 D.x—3y=0.记Sn为等差数列｛斯｝的前"项和，若a2=l，a5=7,则56的值为（）A.9 B.12 C.24 D.36.在三棱柱4BC-41B1G中，M,N分别为棱AB,AC的中点，则直线与GN的位置关系为（）A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断.已知数列｛aj满足a.=1+2+3+…+71,则上+—+,,,H---的值为（）ala2 a2022A2021 B2022 c4042 D4044・2022 *2023 *2022 *2023.数列｛〃｝中，=2,an=l±^zi（n>2>n6/v.）i则。2022的值为（）an-lA.—3 B,-- C.- D.22 3.已知点AGa,点、Pga,P在a内的射影为B,C是a内异于A和B的动点，且PC1AC,则动点C在平面a内所组成的集合为（）一个圆，除去A和B两个点一条抛物线，除去A和B两个点一个椭圆，除去A和B两个点D.双曲线的一支，除去A和B两个中的一个点.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，是我国古代劳动人民长期以来总结出的智慧结晶.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的曷长损益相同（展是按照日影测定时刻的仪器，愚长即为所测量影子的长度），二十四节气及愚长变化如图所示，相邻两个节气署长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的愚长为一丈三尺五寸，夏至的唇长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的为（）

耨长逐渐变小耨长逐渐变小A.相邻两个节气号长减少或增加的量为一尺B.立春和立秋两个节气的号长相同C.春分的号长为七尺五寸D.立春的署长比秋分的署长长.已知机，〃为两条不重合的直线，a,夕为两个不重合的平面，则（）A.若m//n,m0a,则m//aB.若mua,afl/?=n,m〃B，则7n//nC.若m1a,nJ_a,则m//nD.若mla,mu。,则a1/?.设椭圆C：9+?=1的左、右焦点分别为F1，F2,P是C上的动点，则（）|PFi|+|PF2|=2V3C的离心率为当△P&F2面积的最大值为企C上有且只有4个点P,使得△PF1F2是直角三角形.已知圆C的方程为（x++y2=%则（）A.若过点（0,1）的直线被圆C截得的弦长为26，则该直线方程为y=lB.圆C上的点到直线3x—4y-12=0的最大距离为5C.在圆C上存在点。，使得。到点（一1,1）的距离为4D.圆C上的任一点M到两个定点。（0,0）,4（3,0）的距离之比为：.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,I,2,5,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.已知数列｛an｝为“斐波那契数列”，则下列结论正确的为（）an=an+2—a^+i对MiGN*恒成立3a5=Q4+08C.+。3++…+。2021=02022Da1fl2+a2a3+a3a4+，，+a2020a2021_・ ~ =a2Q22a2O2O.直线x- +1=0的倾斜角是..圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积为..设等比数列｛即｝的前〃项和为，，若$4=8,58=12,贝US】2的值为..已知圆C与直线x+y=0相切于坐标系原点，请写出满足条件的圆C的一个方程(请用圆的一般方程表示)，如果此时圆C上又有且只有3个不同点到直线x+y-6=。的距离等于鱼，则此时圆C的方程为(请用圆的标准方程表示)..已知等差数列｛an｝的公差为正实数,满足%=4,且即，a3,a$+4成等比数列.(1)求数列国工的通项公式；(2)设数列｛%｝的前〃项和为的，若仄=1,且 ,求数列｛的,+'｝的前”项和为〃，以下有三个条件：①%=2"-1,nCN*；②&=2%-1,n€N*：③Sn+i=2Sn—1.n6N*.从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列｛bn｝为等比数列，并根据题意解决问题..在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的对称轴都是坐标轴，且过P(2,3)点，P到双曲线C两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的方程；(2)如果双曲线C的焦点在x轴上，直线/经过双曲线C的右焦点，与双曲线C交于A,B两点，且4B=6,求直线/的方程..已知数列5｝满足4=1,5+1= 其中P，q为常数.q(i",n为偶数,(1)若p=2,q=3,记b=。2"，写出瓦，b2＞并求数列｛b｝的通项公式；(2)数列｛a.｝能否为等比数列？如能，请求出实数p,q满足的条件：如不能，请说明理由..如图，在三棱锥4-BCD中，三角形A8C是边长为2的正三角形.(1)若平面4BC平面BCQ,且CBJ.BD,求证：BDLACx(2)若二面角4一8。一。的大小为旨且4。=3,求直线AO与平面8CO所成角的大小..在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的准线为x=-l,对称轴为坐标轴，焦点在直线x—2y-1=0上.(1)求抛物线C的方程：(2)若动直线/：x=my+3与抛物线C交于A,B两点.在x轴上是否存在定点P,使得对任意实数机，总有N0P4=nOPB成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由..已知C：W+[=l(a>b>0)左、右顶点分为A,B,其离心率为两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆C的标准方程：(2)过点M(-4,0)作直线PQ交椭圆C于P,Q两点(点P,。异于A,B),若直线AP和BQ的交点为N.求证：丽•而为定值.答案和解析.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的"1”转化成“0”即可求出渐进方程，属于基础题.渐近线方程是=0,整理后就得到双曲线的渐近线.【解答】解:双曲线巴-y2=i,4其渐近线方程是t-y2=o,4整理得x±2y=0.故选：B..【答案】B【解析】解：由题意可设，所求直线方程为y=3x+b,・•・所求直线经过点(-3,1),=3x(-3)+b,解得b=10,故所求直线方程为y=3x4-10.故选：B.由题意可设，所求直线方程为y=3x+b,将点(一3,1)代入该直线，即可求解.本题主要考查直线平行的性质，属于基础题..【答案】C【解析】解：因为等差数列｛斯｝中，。2=1，a5=7,则$6=*邈=3(a2+a5)=24.故选：C.由已知结合等差数列的性质及求和公式可求.本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，属于基础题.【解析】解:如图所示，连接MN,则MN〃BC且MN=”C,又；BC〃BiG且BC=BiG，MN|8传1且MN*B^,•••四边形BiGNM是梯形，故BiM与GN是梯形的两条腰，直线BiM与GN相交，故选：B.作出图形，连接MN,由四边形BiGNM是梯形即可判断.本题考查了空间中两直线的位置关系，属于基础题..【答案】D【解析】解：an=l+2+3+・“+n=^^n(n+l)TOC\o"1-5"\h\z则上+上+…+-^—=2x(1-I4-I-I4—•+- -)%a2 a2022 1 2 2 3 2022 202371=2x(1 )1 20237_4044-2023，故选：D.利用等差数列的求和公式可得斯，利用裂项求和方法即可得出结论.本题考查了等差数列的求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题..【答案】A【解析】解：，,数列｛册｝中，%=2,an=(n>2,nEW*)»1+。1 1+2：•a2= =--=-3/］一即1-2•・•数列｛aj是周期为4的数列,。2022=a2=—3故选：A.根据递推关系式求得数列的周期，进而求解结论.本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和推理能力，属于基础题.7.【答案】A因为P在a内的射影为8,故可得PB1面a,因为A,Cea,故可得。4ua,故CA1PB,又因为PCIAC,PC,PBu面P8C,PCCPB=P,故CA1.面PBC,又BCu面PBC,故可得CA1BC.又CA,C8在同一平面a内，故点C的轨迹是以A8为直径的圆,又c是a内异于A和8的动点,故动点C在平面a内所组成的集合为一个圆，除去A和8两个点.故选：A.根据线面垂直推证得4C1BC,即可求得点C的运动轨迹.本题考查了空间中的垂直关系以及动点轨迹问题，属于中档题.8.【答案】B【解析】解：先取上半年（立冬到夏至）进行研究，设号影长为等差数列也九｝‘公差为",（单位寸）.则=135,a13=15,, 15-135 4八・•・d= =-10,13-1・・・0n=135-10(n-1)=145-10n,・・・立春对应的唇影长04=145-10x4=115,夏至对应的唇影长由3=145-10x13=15.再取下半年(夏至到立冬)进行研究，设号影长为等差数列｛几｝,公差为d'=-d=10,瓦=15,•••立秋对应的卷影长久=15+10x3=45,春分对应的暑影长=145-7x10=75,•••B不正确，ACZ)正确.故选：B.利用等差数列的通项公式即可得出结论.本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】BCD【解析】解：对于A，若m〃n,a,nca,则小〃。，故A错误；对于8,若mua,ad/?=n,m//p,由线面平行的性质定理可得m〃n,故8正确；对于C,若m_La,n1a,由线面垂直的性质定理可得m〃n,故C正确：对于。，若7nla,mu0,由面面垂直的判断定理可得aJ■口，故£)正确.故选：BCD.根据空间线面的位置关系，逐一进行判断即可.本题考查空间线面的位置关系，考查学生的推理能力，属于基础题..【答案】ACD【解析】解：椭圆C：9+?=l的左、右焦点分别为0,f2,尸是C上的动点，由椭圆的定义可知A正确；离心率为：a=今所以B不正确；△PF1F2面积的最大值为：1x2xV2=V2,所以C正确；因为b=V5<2c=2,所以C上有且只有4个点P,使得是直角三角形，所以。正确：故选：ACD.利用椭圆的定义判断4；离心率判断&三角形的面积的最大值判断C；直角三角形的个数判断D本题考查同样的简单性质的应用，是中档题..【答案】BD【解析】解：由圆C的方程为(x+l)2+y2=4,知圆心为C(-l,0),半径为r=2,对于A：过点(0,1)的直线斜率不存在时，直线为x=0,可得x=0被圆C截得的弦长为2V3,符合题意，

过点(0,1)的直线斜率存在时，设直线方程为=kx+1,由题意可得住熟为2+(73)2=2.：.k=0,故过点(0,1)的直线被圆C截得的弦长为28,则该直线方程为y=1或x=0,故4错误；对于8：圆C上的点到直线3x-4y—12=0的最大距离为得粤+2=5,故8正确:对于C:圆心C到。(一1,1)的距离为，(-1+1)2+(1-0)2=1,故圆C的点到。的距离的最大值为1+2=3<4,故在圆C上不存在点O,使得。到点的距离为4,故C错误；对于D圆C的任一点M(“)，则需=哥^^^^=寓.故D正确.故选：BD.利用圆的方程结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性.本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力与转化能力，属中档题..【答案】ACD【解析】解:对A:根据斐波那契数列的定义，0n+2=an+On+1，即On=an+2-On+1，显然4正确：对B：数列为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 即有=5，&4=3,a8=21,则3a5彳。4+。8，故B错误；.对C：a1+CI3++…+。2021=a1+a41a2+a61a4+。8—。6+…+。2022一。2020=。2022，故C正确；对D：=谖，a2a3=a2(a4-«2)=a2a4—谖，a3a4=a4(a4—a2)= —a2a4,a5a4=。4(。6—a4)=~a4-a4a6，•••,a2020a2021=a2020—。2022a2020，所以+a2a3+a3a4+…+a2022a2021=a2022a2020，整理可得，。正确；故选：ACD.根据数列的递推公式逐项分析可以求解.本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.0一3+XV3-30一3+XV3-3V3-3【解析】解：直线方程可化为：y直线x-V3y+1直线x-V3y+1=0的倾斜角为30。故答案为：30。将直线方程化为斜截式，利用直线x-8y+1=0的倾斜角的正切值为斜率，可求直线的倾斜角.本题以直线为载体，考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是求出直线x-V3y+1=0的斜率即倾斜角的正切值.0A=1,PA=2,则OP=V22-1=V3,圆雉的底面积S=7TXI2=7T,体积卜=^-7T-V3=詈,故答案为：字.由题意画出图形，求出圆雉的高，再由圆锥的体积公式求解.本题考查了圆锥的底面积和体积的求法，属于基础题..【答案】14【解析】解：因为等比数列｛an｝中，S4=8.Sb=12,由等比数列的性质可知，S4,S8-S4>S12-S8成等比数列，即8,4,S12-12成等比数列，所以16=8(Si2-12),则%=14.故答案为：14.由等比数列的性质可知，S4,S8-S4,S12-S8成等比数列，代入即可求解.本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题..［答案】x2+y2—ax—ay=0(aH0)(x—2)2+(y—2)2=8【解析】解：与直线x+y=O相切于坐标系原点，则圆心在直线y=x上，且过坐标原点，则圆C的一个方程为/+y2-ax-ay=0(a*0)；若圆C上又有且只有3个不同点到直线x+y-6=0的距离等于迎，则枭一弱2!=&，即°=生••.此时圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8.故答案为：%24-y2—ax-ay=0(aH0)；(x-2)24-(y—2)2=8.由已知可得圆心在直线y=%上，且过坐标原点，由此可写出符合条件的一个圆的方程；再由半径减去圆心到直线的距离等于企求解满足条件的圆的方程.本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题.17.【答案】解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则d>0.由臼=4得g=4+2d,a5+4=8+4d,由Qi，a3,Q5+4成等比数列得(4+2d)2=4(8+4d).所以d=±2,由d>0知d=2,从而=a1+(n—l)d=4+2(n—1)—2n+2.(2)若选①：Sn=2n—1,nEN*,则当n=l时，瓦=Si=2-1=1；当nN2,nWN*时，bn=Sn-Sn^=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.当九=1时，也满足上式，所以bn=2rlt,nWN*.所以用=5三=2,所以数列｛b｝为首项为1,公比为2的等比数列•bn2所以数列｛a.+%｝的前〃项和为7；=当笋包+(2〃-1)=2n+n2+3n-1.若选②：Sn=2bn-l(i),当九=1时，Si=bi=2瓦-1,nWN*,瓦=1；当九>2时，Sn_i=2--0)(")两式相减得:bn=2bn-2bn-i，即bn=2bn_i，n>2,ne/V*.所以口=2.^n-1所以数列｛bn｝为首项瓦=1,公比q=2的等比数列，所以nG/V,.所以数列｛a.+%｝的前n项和为7；=n(4+；E+(2n-1)=2n+n2+3n-1.若选③：Sn+i=2Sn-l(i),Sn+2=2S〃+1—l(u)，(ii)一(i)得：bn+2=2bn+1,nWN*,所以2,数列｛瓦｝是公比为q=2的等比数列，且n=l时%+。2=2%-1,如一1解得Qi=1*所以%=2，t,nEN*.所以数列｛a.+%｝的前n项和为7；=Sj出+⑵-1)=2n+n2+3n-1.【解析】(1)设等差数列｛即｝的公差为4d>0,根据%,a3-a$+4成等比数列求出d的值，再写出通项公式0n.(2)若选①，根据6=2"-1求出瓦，再判断数列｛%｝为等比数列，从而求出数列｛心+%｝的前〃项和.若选②，根据%=2b一1,求出瓦，判断数列｛3｝为等比数列，从而求出数列｛%+%｝的前〃项和.若选③，根据Sn+i=2Sn-l,先判断数列｛b｝是等比数列，再求数列｛%+%｝的前〃项和.

本题来源于课本改编，考查了等差数列与等比数列的定义概念求和问题，也考查了运算求解能力，是中档题.18.【答案】解：(1)因为双曲线C的对称轴都是坐标轴，则C的对称中心是坐标原点.所以C的方程为标准方程.因为C过P(2,3)点，P到C两焦点距离的差的绝对值等于2,①如C的焦点在x轴上，设一成=l(a>0,b>0),所以二;'=1.解得二；'所以双曲线C的方程为一一9=1,②如C的焦点在y轴上，设l(a>0,b>0),所以F_±=1.解得[炉=1所以双曲线c的方程为y2-2X2=1.(2)由(1)知C的方程为/一9=1.所以C的右焦点为尸2(2,0),法一：①若直线/的斜率不存在，则其方程为x=2,代入C方程得/与C交点坐标为(2,-3),(2,3),则弦长为6,符合题意.②若直线/的斜率存在，设/：y=k(x—2),联立g'Fl:21'消去丫得(好一3汝2—4kx+ +3=0.所以42一3H0①,A=16k4-4(fc2-3)(41+3)>0②,设4(X[,yi),B(x2,y2')'则*1+#2=垓三，/*2=会|，所以AB=7—x2)2+(yi—y2)2=V1+/c27(^i+x2)2-^xtx2=71+ =6.解得k=±l,满足①②.所以直线/的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.综上：直线/的方程为x=2,或x-y-2=0,或x+y-2=0.法二：若直线/的斜率为0,则其方程为y=0,此时直线/与双曲线相交弦的弦长为2,不符合题意，舍去.所以可设直线/的方程为％=my+2.{x=my+2,2y2］消去x得(3瓶2-l)y2+i2my+9=0.X万=1，所以37n2-1装0,4=144?n2—36(3m2—1)>0,设B(x2,y2),则丫1+了2=部?;，丫。2=藐廿，所以AB=J(X1—不)2+(月一丫2)2=V1+m2,(%+y2)2_4yly2=V14-V14-m236

3m2-16(l+m2) /-—：~~-=o.3m2-1解得m=±1或m=0,满足①②.综上：直线/的方程为x=2,或x-y-2=0,或x+y-2=0.【解析】(1)分焦点分别在X,y轴上求解可得双曲线C的方程；(2)由(1)知C的方程为/一3=1.所以C的右焦点为尸2(2,0),法一：分斜率是否存在进行运算，可求直线方程，法二：设直线/的方程为x=my+2,利用弦长公式可求加，可求直线方程.考查双曲线的定义、方程、性质，直线与双曲线的位置关系：考查分类讨论思想；考查运算推理能力..【答案】解：(1)若p=2,q=3,则cin+i=｛20“'"为奇权'，3%为偶数,因为Ql=1»bn=Q2n，=q2=2ci]=2,Z?2=Q4=303=602=12.因6九+]—-。271+2=2a2n+i=2x3。2九=6/?九，则—6.所以数列｛bn｝为首项为瓦=2,公比为6的等比数列，所以bn=2x6nT.(2)因为Q]—1,an+l-｛ 0/田"所以Q2-P，。3-pq，qa^rt为偶数,若数列｛每｝为等比数列，则说=。1。3,即p2=pq,所以p=0或p=q.若p=0,则g=0,此时数列｛。工不是等比数列.所以p=所以p=qH0,则即+1=｛pan,n为奇数,

pccnH为偶数,当般为奇数时，皿二口。0；当〃为偶数时，%i=pH0.an Qn所以对任意nWN*,%l=pH0,且Q1=1WO,即数列｛Q九｝为等比数列.an综上知：当「=勺B0时，数列｛即｝为等比数列.【解析】(1)根据递推关系式依次求解，进而推得结论，(2)先假设是等比数列，进而求解pg,即可得到结论.本题主要考查等比数列的定义，考查一般与特殊思想，考查运算推理能力..【答案】解：(1)证明：因为平面48cl平面88,平面ABCD平面BCD=BC,CB1BD,BDu平面BCD,所以8。，平面ABC,又ACu平面ABC,所以BD14c.(2)过点A作40，平面BCD于点O,取8c的中点E,连接OD,OE,AE.AD因为三角形ABC是正三角形，点E为BC中点，所以AEJ.BC.因为AO_L平面8CC,则OE为AE在平面8CZ)内的射影，由三垂线逆定理知E。1BC.所以乙4E0是二面角4-BC-C的平面角，即乙4E0=*因为三角形48c是边长为2的正三角形，所以=TOC\o"1-5"\h\z^Rt^AOE^,AO=AEsin-=>/3x—=-.3 2 2因为AOI平面BCD,所以。。是AZ)在平面BCD内射影.所以nA。。是直线AD与平面BCD所成角.在RM4。。中，sin乙4D。="=2=［，AD3 2因为乙4。。e(0,-),所以乙4。。=2 6所以直线AD与平面BCD所成角的大小为三6【解析】(1)利用面面垂直的性质得到BCJ■平面ABC,即可证明BD14C；(2)过点A作4。，平面BCD于点O,取8c的中点E,连接OD,OE,4E.证明充分条件、必要条件、充要条件乙4EO是二面角A-BC-C的平面角，4ADO是直线4。与平面8c。所成角.在RtAAOD中，解三角形，求出直线AO与平面BCC所成角.本题主要考查异面直线垂直的证明，线面角的计算，考查了转化思想，属于中档题..【答案】解：(1)因为抛物线C的准线为*=一1,对称轴为坐标轴，则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上，又焦点在直线x-2y-1=0上，则焦点坐标为(1,0),所以C的顶点为原点，方程为标准形式，由抛物线的定义得：抛物线C的方程为y2=4x；(2)假设存在满足条件的点P,由2TX+'得丫？-4my-12=0,不妨设P(t,O),4(xi，yj,