2021-2022学年江苏省南京高二（上）月考数学试卷（10月份）（附答案详解）

202L2022学年江苏省南京第五高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）.若复数z满足z-i=3-2i,其中，为虚数单位，则z的共规复数的虚部为（）A.3 B.-3 C.3i D.-3i.在平面直角坐标系中，经过点P（2夜，-夜），渐近线方程为y= 的双曲线的标准方程为（）v2r2D.匕一二=114 7.已知sin。+cos。=当，则cos（26+3的值为（）.已知点4（2,-3）,8（-3,-2）,若直线/：y= -1）+1与线段AB相交，则直线/的斜率的范围是（）A.k>:或k<-4 B.-4<k<74 4C.k<-- D.--<fc<45 4.已知"?，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，给出下列命题：①若m_La,n//a,则m1n；②若m〃n,nua,则m〃a；③若m〃a,n//p,a〃0,则m〃n；④若zn_L0,mlla,则a_L夕.其中所有正确命题的序号是（）A.①② B.®® C,®® D.①④.若三棱锥P-ABC的四个面都为直角三角形，且PAJ■平面ABC,P4=AB=1,AC=2,则其外接球的表面积为（）A.67r B. C.4rt D.37r.已知直线/：x+2=0与x轴交于点P,过点P作抛物线C：y2=4x的切线，切点为A,点A到直线/的距离为d,尸为C的焦点，则蜉=（）A.- B.- C.- D.-5 3 4 5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（k>0且kw1）的点的轨迹为圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0（0,0）,4（3,0）,圆C：（x-2/+y2=〃（r>0）上有且只有一个点P满足|PA|=2|P。1则r的取值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45"C.a=6,b=3V3,B=60° D.a=20,b=30,A=30°.已知椭圆^■+A=l(m>0)的离心率e=半，则机的值为()A.3 B.- C.V5 D.—3 3.下面是关于复数z=W(i为虚数单位)的四个命题：①|z|=2；②z?=2i：③z的共规复数为1+i：④若%—z|=l,则|z()|的最大值为迎+1.其中正确的命题有()A.① B.② C.③ D.@.已知曲线C：9+3=1,Fi，尸2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是()A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为gB.若曲线C的离心率e=2,则巾=一27C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得N&PF2=]D.若m=3,P为C上一个动点，则△P&F2面积的最大值为3夜.若圆锥的底面积为9万，体积为12乃，则该圆锥的侧面积为..已知平面向量窗3满足Zi=2.|1|=1.||一29|=2.则|五|=..已知椭圆捻+，=l(a>b>0)的焦距为6,短轴为长轴的？，直线/与椭圆交于A,B两点,弦AB的中点为M(2,l),则直线/的方程为..直线/：y=kx+3(k>0)与圆O：/+y2=4相交于A,B,若S4aob=则k=..如图，在直三棱柱ABC-&BiCi中，A/与相交于点M,N为B1cl的中息.(1)求证：MN〃平面A41GC：(2)若4cl.BC,AC=44],求证：MN平面&BC.8.在①B=f,②AABC周长为5+2百，③c=2,这三个条件中任选一个，补充到4下面的问题中，并加以解答.已知ZMBC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,a=273,,求4ABC的面积S..某海域有A、B两个岛屿，8岛在4岛正东4海里处.经多年观察研究发现，某种鱼群涧游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、8岛距离和为8海里处发现过鱼群.以4、8所在直线为x轴，A8的垂直平分线为)'轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的标准方程：(2)某日，研究人员在A、8两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A、B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5：3,问你能否确定P处的位置(即点尸的坐标)？.已知圆O：x2+y2=4.(1)过点P(l,2)向圆。引切线，求切线/的方程；(2)过点M(l,0)任作一条直线交圆。于A、B两点，问在x轴上是否存在点N,使得乙4NM=NBNM?若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由..中心在原点的双曲线C的右焦点为尸(巧,0),渐近线方程为y=±夜x.(回)求双曲线C的方程；(团)直线/：y=依-1与双曲线C交于P,。两点，试探究，是否存在以线段PQ为直径的圆过原点.若存在，求出左的值，若不存在，请说明理由..已知椭圆C：2+'=l(a>b>0)的离心率e=T，为椭圆上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)己知产为椭圆C的右焦点，过点尸的直线/交椭圆(异于椭圆顶点)于A、8两点，试判断三+六是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由・答案和解析.【答案】A【解析】解：•••复数z满足z-i=3—2i,其中i为虚数单位，3-2i (3-2i)i 3i-2i2 «o.---z=—=-^=-=-2-31'z=-2+3i,・・・z的共加复数的虚部为3.故选：A.求出2=±3=空咨=一2-3八从而W=—2+3i,由此能求出z的共施复数的虚部.I I2本题考查复数的代数形式的乘除运算法则、共规复数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题..【答案】B【解析】解:根据题意，双曲线的渐近线方程为y=土近x,设双曲线方程为：?-9=a,双曲线经过点P(2a,-0)，则有8-1=a,解可得a=7,则此时双曲线的方程为：—春=1,故选：B.设出双曲线的方程，经过点P(2夜，-&)，求出。的值，即可得双曲线的方程.本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用..【答案】A【解析】解：sin。+cosd=乎，・•・两边平方得:1+sin20=7・•・sin20=--957r 7:.cos(20+—)=-sin20=故选：A.利用诱导公式可知，cos(20+y)=-sin20,再由sin。4-cosd=?求得sin2。即可.本题考查诱导公式与二倍角的正弦，求得sin28的值是关键，属于中档题..【答案】A

【解析】解：由题意可知点与直线的位置关系如图:直线/：y=k(x-l)+l恒过P(l,l)点，直线/：y=k(x-1)+1与线段AB相交，则直线/的斜率的范围是kNkps或k-kpA，kpB=7_7=t»k$kpA=i+oq1+3 ，—=-4.1-2直线/的斜率的范围是：上2：或44一4.故选：A.画出图象，判断直线恒过的定点，判断直线的斜率的范围得到结果即可.本题考查直线系方程的应用，直线的斜率，考查数形结合以及计算能力..【答案】D【解析】解：由机，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，知：对于①，若mla,n//a,则由线面垂直的性质和线面平行的性质得rn_Ln,故①正确；对于②，若?n〃n,nua,则m〃a或mua,故②错误；对于③，若小〃访n//p,a〃夕，则小与〃相交、平行或异面，故③错误；对于④，若巾1夕，m//a,则由面面垂直的性质定理得a1/?,故④正确.故选：D.对于①，由线面垂直的性质和线面平行的性质得m•1"n；对于②，m〃a或mua；对于③，，"与"相交、平行或异面；对于④，由面面垂直的性质定理得aJ.£.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题..【答案】B【解析】【分析】构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R.可得2R=PC=VP42+4司2,利用球的表面积计算公式即可得出.本题考查了长方体的性质、三棱锥的外接球，考查了空间想象能力与计算能力，属于基础题.【解答】解：构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R.则2R=PC-\lPA2+AC2—Vlz+22=V5.其外接球的表面积=4nR2=57r.故选:B..【答案】C【解析】解：根据题意，作出如下的图形,由题可知P(-2,0),设切点4(而/0)，切线方程为y=k(x+2),又y2=4x,则y2-2y+8=0,有唯一根y(),由韦达定理知，y(),yo=8即韬=8,而九=4xo，所以X。=2,\AF\2+13

"~d~=2+2=4'故选：C.由题可知P(-2,0),设切点A(Xo，yo)，切线方程为y=fc(x+2),与抛物线方程联立得y2一》+8=0,由韦达定理知，yl=8=4%0,解得&=2,然后结合抛物线的定义即可得解.本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题..【答案】A【解析】解：设P(x,y),由|P4|=2|P0|,得(x-3>+y2=4/+4y2,整理得(x+ +y2=%又点P是圆C：(X-27+y2=r2(r>0)上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆(x+I)2+y2=4的圆心坐标为(—1,0),半径为2,圆C：(》一2)2+丫2=厂2(「>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,当两圆外切时，r+2=3,得r=l,当两圆内切时，|r-2|=3,得r=5.故选：A.设出动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：。一2)2+丫2=「23>0)上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值.本题考查阿波罗尼奥斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档偏难题..【答案】BC【解析】解：对于A,•••/?=7,c=3,C=30°,••由正弦定理可得：sinB=—=^=^>1,无解；C3 6对于&b=5,c=4,8=45。，••由正弦定理可得sinC=三普==平V1,且cvb,有一解；b5 5对于C,Va=6,b=3V3,B=60°,•・由正弦定理可得：sin4=竺普=>"=1,A=90°,此时C=30°,有一解;b3V3对于O,va=20,b=30,A=30°,•・由正弦定理可得：sinB=竺吆=色合=4V1,且b>Q,a20 4有两个可能值，本选项符合题意.故选：BC.利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断选项的正误.本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，是基本知识的考查..【答案】AB【解析】解：当椭圆的焦点在x轴上时：a2=5,b2=m,则e2=Q/=la2 5 5解得m=3.当椭圆的焦点在y轴上时：a2=m,b2=5,则e?=1-，=1-*=：,解得巾=g.故选：AB.分焦点在x、y轴上讨论，分别求出m的值.本题考查了椭圆的方程、离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题.【答案】BD【解析】解：①|z|=|七|= =鱼H2；所以①不正确；②z?=尸三4=三=2i；所以②正确；(-1+1)2 -21③复数Z= ==-1-I.-l+l(-l+l)(-l-l)Z的共轨复数为-l+i；所以③不正确；④若|z()-z|=l,BP|z0-(l+i)|=1,表示复平面内的点与(1,1)距离为1的点的轨迹，则|z()|的最大值为我+1.正确：正确命题为：②©.故选：BD.求出复数的模，结合复数的乘法，共挽复数，以及复数模的几何意义，判断选项的正误即可.

本题考查命题的真假，复数的基本运算以及复数的几何意义，是基本知识的考查..【答案】ABD【解析】【分析】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.当租=-3时，求出双曲线的渐近线的倾斜角判断4；由双曲线的离心率为2,求解机值判断以当m=3时，求出椭圆的焦点坐标，设尸的坐标，利用数量积可以等于0判断C；直接求出焦点三角形面积的最大值判断D【解答】解：对于A,当m=-3时，双曲线方程为9一?=1,所以a=3,b=V3,所以双曲线的渐近线方程为y=土生，渐近线y=fx的倾斜角为g则曲线C的两条渐近线所成的锐角为或故4正确；对于8,若曲线C的离心率e=2>1,可知曲线一定是双曲线，贝暇=2,m<0,Q此时a2=9,b2=—m,则"Jl+,=Jl=2,解得m=—27.故B正确；对于C,当m=3时，曲线方程为?+?=l,表示焦点在x轴上的椭圆，此时。2=9,b2=3,c=Va2-b2=V6,则尸式一历,。)，F2(V6,0),设P(x,y),则9+?=1,PF；-PF；=(―V6—x,—y)-(V6—x,—y)=x2+y2-6=x24-3--——6=-x2—3,3 3•••-3<x<3,.-.|x2-3G[-3,3],且当x=±苧时，而•而=0,满足N&PF2=p故C错误：对于D,当m=3时，曲线方程为9+?=1,表示焦点在x轴上的椭圆，此时小=%h2=3,c=y/a2—b2=V6,则&(一历,0),F2(V6,0),△PF/2面积的最大值为12c-b=be=3\/2,故。正确.故选：ABD..【答案】157r【解析】解：圆锥底面积为9江，…(1分)，・,.圆锥底面r=3,设圆锥高为由体积V=1•9〃・九，…(5分)由^=127r得九=4； ・・・（8分）・•・母线长2=V32+42=5,…（9分）设底面周长为c,则该圆锥的侧面积…（12分）所以该圆锥的侧面积=157r…（14分）.故答案为：157r.通过圆锥的体积公式直接求出圆锥的高，再通过圆锥的母线，圆锥的高求出圆锥的底面半径，求出底面周长，求出侧面积即可.本题是基础题，考查圆锥的底面半径圆锥的高与圆锥的侧面积的求法，体积的应用，考查计算能力..【答案】2V2【解析】【分析】通过向量的模以及向量的数量积转化求解即可.本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力.【解答】解:平面向量五,另满足口不=2.|石|=1.团一2至|=2.可得五2—4「•b+4b=4,化简得：a2=8,所以画=2谊.故答案为：2vz.【答案】7x+8y-22=0【解析】解：由已知可得椭圆1+［=1的半焦距c=3,又短轴为长轴的巨，az 4故2b=fx2a,故Q=4,b=V7,故椭圆方程为三+—=1,4 16 7设弦的两端点为4（%1，%）,8（刀2，力），（五+或=1则有7 ,两式相减得（4-"）（如+n）+（yL*）（yi+yz）=0,整理得皿=一乙,|应+或=1 16 7 力一38116 7一所以弦所在的直线的斜率为一］其方程为y-1=-］（x-2）,O O整理得7x+8y-22=0.故答案为：7x+8y-22=0.先求出椭圆方程，再利用点差法可求直线方程.本题考查了椭圆的性质，属于中档题.【解析】解：因为圆O：/+y2=4的圆心为0(0,0),半径为2,所以△40B的面积为S-0b=1x22xsin乙108=6，解得sin乙40B=y；因为乙4OB€(0,兀)，所以乙4OB=；或争当乙108=孕寸，圆心到直线的距离d=B，即及鼻=俗解得4=夜(4>0)；当乙10B=争寸，圆心到直线的距离d=1,即赤/=1.解得k=2V2(k>0)；综上知，%的值为e或2企.故答案为：鱼或2VI由A4。8的面积求出乙4。8的值，再利用圆心到宜线的距离求出A的值.本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.17.【答案】证明：(1)连接AC1，为AB1与的交点，4w -j-C/M是AB】的中点，又N是々Ci的中点，MN//ACX,而AC】u平面A&CiC,MNC平面A&GC, \•••MN〃平面44CiC； [X'l''、(2)vAC=A4,•♦•四边形44C1C为正方形,贝何的J_4C,A ----y~)c又•••三棱柱ABC-&BiG是直三棱柱，CCi1平面ABC,又BCu平面ABC,得CCi1BC,AC1BC,CC^AC=C,CCi，ACu平面AACC,BC_L平面AA£C,又4Gu平面441GC,则BC1AG，-MN//ACX,.-.MNIBC,MN14C,又BCn&C=C,BC,AXCu平面&BC.MN1平面&BC.【解析】(1)连接4G，则M是AB1的中点，又N是/Ci的中点，得MN〃AG，从而得到MN〃平面44C1C；(2)由题意可得四边形44GC为正方形，则再由已知可得CGJ■平面ABC,得CG1BC,结合AC1BC,得BC平面A41GC,贝ijBC1ACr,进一步得到MN1BC,MN1AXC,从而可得MN1平面&BC.本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题.18.【答案】解：因为2asinA=(2b-c)sinB+(2c—b)sinC,由正弦定理可得b?+c?-a2=be,由余弦定理可得cost!="珍;。=I，故A=p若选①：由正弦定理；；=-々，可得b=竺蜉=%舁=2&，sin/lsinB sin4iz2将q=2a/3,b=2企,代入垓4-c2—a2=be,得c?—2y[2c—4=0,解得c=V6+V2,则S=：bcsinA=3+g：若选②：因为周长为5+2百且a=2H，可得b+c=5,由产+c?-a?=尻，得(b+c)2—a2=3bc,所以bc=g,则S=gbesinA=—/；若选③：因为c=2,a=2v5,代入/j2+c2—a2=be,得b=4,则S=[besinA=2V3.【解析】利用正弦定理整理条件可得炉+c2—a2=bc；若选①：利用正弦定理可求得b,将a,b代入〃+c2-a2=be即可解出c,进而求得面积；若选②：利用周长得到b+c=5,将〃+c2-a2=bc转化为(b+c)2-a2=3儿，代入即可求得be,进而求出面积：若选③：将a，c代入/^+c2-a2=be,解出％,进而可求得面积.本题考查解三角形，主要涉及正弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于中档题.19.【答案】解：(1)由题意知曲线C是以A、8为焦点且长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为[+1=1,焦距为c.a2b2依题意有2c=4,2a=8,则c=2,a=4,故b=7a2—c2=2V5,所以曲线C的方程是2+《=1.(2)由于A、8两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3,因此设此时鱼群距A、8两岛的距离比为5：3,即鱼群分别距4、8两岛的距离为5海里和3海里.设P(x,y),8(2,0),由|PB|=3,((X—2)2+y2=9••>J(x-2)2+y2=3,l]兰+^=i,1—4<x<4**x=2,y=±3.••点P的坐标为(2,3)或(2,-3).【解析】本题考查椭圆问题在生产实际中的具体应用，涉及到椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，属于中档题.(1)根据椭圆的定义，由题意知曲线C是以4、8为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c=4,从而得出a,6的值即可得到曲线C的方程：(2)由于4、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3,因此设此时鱼群距4、8两岛的距离比为5：3,即鱼群分别距4、B两岛的距离为5海里和3海里.再设P(x,y),B(2,0),由|PB|=3,及椭圆的方程列出方程组即可解出点P的坐标.20.【答案】解：(1)易知/斜率存在，故设切线/的方程为y=k(x—1)+2,/与圆O相切，.•.4=%第=2,Vi+fc2解得k=0或1=一2.•」的方程为y=2或y=—gx+?；(2)假设存在N(a,0),①当直线A8与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-l),力值,yj,B(x2,y2)代入/4-y2=4,得(1+k2)x2-2k2x4-k2-4=0,2k2 k2-4Xi+Xj~TT,XiXo= 2-7>1 /l+H1/l+k2...力+-2=k[(XLl)(&-。)+(乃-1)(必一。)],Xj-ax2-a (x1-a)(x2-a)而(占—1)(%2—a)+(无2-l)(xi-a)=2x1x2—(a+l)(x2+xj+2aqH-4 .2k2.n2a-8=2—77-(Q+1)—―+2q=——,1+k2 ' 71+fc2 1+k2・・•Z.ANM=乙BNM,...*_+*_=(),即等=0,Xi-ax2-a 1+〃/解得a=4,②当直线AB与x轴垂直时，也成立,故存在点N(4,0),使得乙4NM=/BNM.【解析】本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系.(1)根据点到直线的距离公式，列出方程，即可求解:(2)分直线AB与x轴不垂直和垂直两种情况讨论，即可求解.21.【答案】解：(回)设双曲线的方程为捺一3=1,(a>0,b>0),则有c=①，-=V2,c2=a2+b2,2a得a= 6=1,所以双曲线方程为2--y2=1\~2^y21i得(2-1)/+2kx-2=0,依题意有2-k2*0依题意有,A=(2k)2-4(2-k2)x(-2)>0