2021-2022学年山西省晋中市某校高三（上）期中考试数学试卷（理）

2021-2022学年山西省晋中市某校高三（上）期中考试数学试卷（理）一、选择题1.已知集合4=｛*|（乂+1）（3-*）＜0）,8=卜总51｝,则（品4）。8=（ ）A.[-1,O]U[1,3]C.(—co,-1)U[3,+8)B.[-l,0)U[l,3]D.[l,3]2. <T'是"x<2”的(A.充分不必要条件c.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.在等比数列｛%｝中，a2+a3=2（a1+a2）,则数列｛0｝的公比qA.2 B.1C.-1或1 D.-1或24.在A4BC中,角48,C的对边分别为a.b.c,若AABC的面积等于：（＜?+c?-启），则角B的大小为a-7 Bgc7 展{X+y-4<0,x-y+l<0,则目标函数z=2x-y的最大值为()4x-y+4>0A.2 B.：C.-2 D.-4TOC\o"1-5"\h\zTT _»T T _T_T ―-•6.对于向量a.b.定义axb运算,axb的运算结果是一个向量,且|axb|=|a||b|sine,其中<a,b>表,T TT T—示向量a,b的夹角在锐角AHBC中，BC=8,AC=5,\BCxCA\=24,则8C•C4=()A.21 B.32C-21 D-327.《九章算术》冲的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题”今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半,如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，贝切的值为（）A.5 B.4C.3 D.2TOC\o"1-5"\h\z.若aVbvO,则下列不等式中，一定不成立的是（ ）c；+；>2 dm>同.对于函数f(x),若与+小=2。时.“*1)+“如)=2瓦则函数f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称,探究函数“")=悬图象的对称中心,并利用它求f(急)+f(急)+，(六)+…+f(釜)的值为()A.4042 B.2021V3 C.2022 D.2021.在公差为1的等差数列｛%｝中,ai=t,数列｛%)满足%=詈若对任意的neN,,b“V与恒成立，则an实数t的取值范围为()A.[-8,-7] B.(-8,-7) C.[-9,-8] D.(-9,-8).定义[x]表示不超过x的最大整数，如[-0.5]=-1/2.3]=2.若数列｛%»｝的通项公式为即=[log2n](nGN)则E鬻即=()A.10x212+2 B.9x2n+2 C.210-2 D.78.函数/'(x)=V5sin(3X+0)+cos(«>x+<?)(<«>0,即|<习的图象过点(0,，司,且相邻两对称轴之间的距离为*设g(x)=f(x)-V3,若丫乂€[0,北2(*)-(2+„1)9。)+2+»7120恒成立，则实数m的取值范围为()A.(_8呼] B.8印]C.[-2,+oo) D.[2,+oo)二、填空题在等比数列｛%｝中,%=1,。5=9,则。3=若sin仔+。=夜sin*则tan(a-3tt)=已知等差数列｛册｝,｛瓦｝的前71项和分别为6.Tn,且?=照,畔=.已知a>0,b*0,且a+|b|=3,则£+寄的最小值为.三、解答题已知/'(x)=ax2+b(4-b)x-3.(1)若不等式f(x)>0的解集为(1,3),求实数a,匕的值；(2)解关于b的不等式f(l)-ab<0(a€R).在等差数列中，。2+。4=14,%+a3+a5+a7=36(1)求数列｛四3的通项公式；(2)令%=六・求数列｛九及+2｝的前几项和与10x2+200x,0<x<50,面对全球能源、资源危机，环境污染日益严重等一系列难题，世界各国都在积极寻找应对措施，努力开发新能源.对于汽车行业来说，传统的燃油汽车耗能大，污染大，因此发展新能源汽车有着非常积极的作用，这也与我国所提出的环境保护、节能减排理念相一致,我国在积极推进10x2+200x,0<x<50,本C(X)万元.且C。)=一1。。。。CCCM..>”由市场调研知,每辆车售价为6万元,且全年内生产IOVXX। 7UUUU,XOv的车辆当年能全部销售完.(I)求出年利润L(X)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计.如图，道路48长为4百米，现在48的同一侧设计四边形48CD,C.。在以AB为直径的半圆上.设4COB=0(。为圆心)(1)若在四边形4BCD内种植花卉，且乙。。。=?当。为何值时，花卉种植面积最大？(2)若为了景观错落有致，沿着8C,。。和。力设置景观花带，且8C=CD.则当8为何值时，景观花带总长L最长？并求L的最大值.已知又为数列｛qJ的前n项和，a2=3且2Sn=n(an+l)(n€N，)(1)求数列｛每｝的通项公式；(2^bn=5“sin^+Sn+isin""数列&｝的前n项和为求小已知f(x)=ex-ax2-x-l(a>0)(1)当q=?时，求曲线y=/(x)在处的切线方程；(2)设F(x)=/(X)+2.若当a6(t,+8)时，F(x)有三个不同的零点，求实数t的最小值.参考答案与试题解析2021-2022学年山西省晋中市某校高三(上)期中考试数学试卷(理)一、选择题【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】由题意知4=(-8,-1)乂3,+8)/=(-8,0)〃1,+8),所以品4=[-1,3],所以(QA)n8=[-选8【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】由77^1<1得1£为<2,所以、/7二1<1“是“<2”的充分不必要条件故选力【答案】D【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解设数列｛%｝的公比为q,则Qiq+%q2=2(%+如q),所以(1+q)(q-2)-0,所q=-1,或q故选0.【答案】C【考点】余弦定理三角形的面积公式【解析】

此题暂无解析【解答】由题意及余弦定理知（acsinB=；x2accosB,所以tanB=1,又8W（0,外，所以8=:.故选C.5.【答案】Bt考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析1,0)u【解答】画出可行域（如图阴影部分所示）.当直线2x-y-z=o过点8时,取得最大值，易求得点B的坐标为G，3所以Zmax=2x>>］故选8.6.【答案】Dt考点】平面向量数量积的运算数量积表小两个向量的夹角【解析】【解答】=2.因为［BCxCA\=|BC||C川sin<BC,CA>=8x5xsin<BC.CA>=24,所以sin<BC.CA>=1T— TT又<BC.CA>=tt-C因为C为锐角.所以VBC.CA>为钝角，所以cos<BC.CA>=-Jl-(1=-g,所以立•C4=|FC|•|OI|cos<BC,CA>=8x5x(一。=-32故选D.7.【答案】c【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，设为{%},则%=l,q=2,所以其前n项和Sn=E=2"-l.小老鼠每天打洞的长度也构成等比数列，设为{b},则瓦=l,q=:所以其前n项和〃=斗？•=2[l-g）”].由题意知上=47>即2"-1=8[1-（9”1化简得（2"）2-9、2"+8=0,所以2n=8或2n=1所以n=3或n=0（舍）.故选C.&【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】若QVbVO,则会一=房转<0,即七V：,故A不成立；因为QVbVO,所以：一：二等〉a-oaa{a-o）a\a-o） a—oa ababOBP1>i故B成立；因为a<b<0,所以£>03>0,所%+：N2展=2,又a#b所以g+g>2故Cao I）a oayoa oa成立；因为Q<b<0,所以间>网故。成立.故选力.9.【答案】D【考点】抽象函数及其应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】因为/'（%）+/（1—幻=悬+3会=2（备+焉至）=2,令S=f（焉）+/（急）+/（薪）+…+，（急），利用倒序相加法得2s=2021x2,所以5=2021故选D.10.【答案】B【考点】等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】由题意得%=71+上-1,则%=0+1=1+二7^，因为函数八口=1+二'在(-8,1-。上单调递减.在(l-t,+8)上单调递减，且当刀6(-8,1-1)时,/(X)<1,当X6(1-1,+8)时./(x)>1,其图象如图｛4｝的图象为其上一系列孤立的点，由对nWN，bnS为恒成立，即为为Sn｝的最大项.结合图象得8VI-tv9.所以-8<£V-7.故选8.【答案】A【考点】数列的求和数列的函数特性数列的应用【解析】此题皆无解析【解答】当2*MnV2*+】(k6N)时,含有2"个数列｛/｝中的项0n=[log2n]=k,又2"<4095<4096=212.所以227竽册=0x20+1x21+2x22+•+11x211,两边同乘以2,得2k胃§④=0x21+1x2?+2x23+..•+11x212.两式相减，得一空胃50n=0+21+22+-+211-11x212=2(；1;)-11X212=-10x212-2,所以工丝黄。=10x212+2.故选力.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用由y=Asin(wx+4))的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】/(x)=V3sin(wx+平)+cos(wx+平)=2sin(a)x+*+?),因为相邻两对称轴之间的距离为1所以/"(幻的最小正周期为“，所以3=2,由题意知f(0)=2sin(p+9=G即sin(p+2)=今又即|<a所以*>=n61故/'(x)=2sin(2x+g).由xG„得0<2sin(2x+j)<2所以一百<g(x)<2-代设gQ)=亡则t€[-75,2-网则原问题转化为对Vte|-V3,2-V3],t2-(2+m)t+2+m>0,即(1-t)m>-t2+2t-2恒成立，因为6-1W1-t三代+1,所以m之一(1—t+士)因为1—t+士工2,当且仅当l-t= 即t=0时等号成立，所以一(l-t+士)max=-2,所以m2-2故选C.二、填空题【答案】3【考点】等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解设公比为5由等比数列的通项公式可得。5=。m4，即9=l,q<解得92=3.・・.a3=a.q2=3.【答案】2V2【考点】运用诱导公式化简求值同角-:角函数间的基本关系二倍角的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】由题意得cos]=&s呜，则tan]=芋，所以tan(a-3zr)=tana=式3==2«- 2 1-倍)【答案】10T【考点】等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】由题意和等差数列前〃项和的特点，设出两数列的前n项和分别为y=kn(3n-1).%=kn(2n+3)(k*0).由关系式：nN2时，用.nSn-Snr求出它们的通项公式，再求出台的值即可.°10【解答】因为等差数列｛斯｝,e｝的前〃项和分别为且行黑，所以5n=An(3n-1)(A*0),7；=An(2n+3),又S17=17a9，721=21£>u,所以的=驾=""管7=50A,bn吟x入X21(2x21+3)=45A.【答案】3+2V3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】：+富=：+高+总当方>0时，当b<0时，&=一1；a|D|a|o||ft| |t»| p|卜=就S+闻)3(12+哼+部弓(12+675)=4+275当且仅当等=需，即。=舒,向=焉时等号成立.所以当a=需/=-焉时介岩取得最小值，且最小值为3+2V3三、解答题【答窠】解.(1)因为a/+fe(4-b)x-3>。的解集为(1,3)所以L3是方程。/+/>(4-<>)*-3=0的两根.且a<0”3=-3，所以Id/。解得真/\a<0,(2)由题意知f(l)-ab=Q+b(4-b)-3-Qb<0,所以〃+(a-4)b+3-a>0.方程产+(a—4)b+3—a=0的两根分别为1,3—a.①当1=3-a,即a=2时，不等式的解为bwl,故/'(1)-abV0的解集为出曲*1｝；②当l>3-a,即a>2时,不等式的解为b<3—a或方>1,故/(I)-abV0的解集为｛b|bV3-a,或b>l｝；③当IV3-a,即aV2时,不等式的解为bV1或b>3-a,故/'(1)-abV0的解集为｛b|bV1.或力>3-a).【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为。/+6(4-b)x-3>0的解集为(1,3)所以1,3是方程。/+久4-b)%-3=0的两根，且aVO(1+3=_?所以1X3=/解得｛；：/la<0,(2)由题意知f(l)—ab=a+6(4—b)—3—ab<0,所以b?+(a-4)b+3-a>0.方程〃+(a-4)b+3-a=0的两根分别为1,3-a.①当1=3-a,即a=2时，不等式的解为6工1,故f(l)-abV0的解集为｛b|b工1｝；②当1>3-4即a>2时，不等式的解为6V3-a或b>l,故/1(1)-abV0的解集为｛b|bV3-a,或b>l)；③当1<3-4即aV2时,不等式的解为bV1或b>3-a,故/"(1)-abV0的解集为｛b|bV1,或b>3-a).【答案】解：(1)因为。2+。4=14,所以。3=7.因为4+ +。5+。7=36,所以。3+。5=18.所以。5=11,所以公差d=3岁=2,所以%=a3+(n-3)d=7+2n-6=2n+l(2)由(1)知a“=2"+l.所以"=岩=/6瓦+2=而%=*；-+),所以及=btb3+b2b4+b3bs+…+%-也.1+bnbn+2-(1+--- -)=- -2\ 2n+1n+2/ 42n+22n+4【考点】等差数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解(1)因为。2+。4=14.所以。3=7,因为4++。5+=36,所以。3+。5=18.所以的=11,所以公差d=£»=2,所以Qn=。3+(〃-3)d=7+2n-6=2n+l.⑵由⑴知a“=2"+l,所以瓦=/7=：也4+2=岛^=：(：-+).所以加=61。3+b2b4+b3bs4 F%_冉+1+bnbn^2(H)+…(H)+…+X占++)+照-+)2\35.=2(1+1_J L)_1 J J_—2»+1n+2/-42n+22n+4【答案】解：(1)当0VXV50时.L(x)=6x100x-10x2-200x-3000=-10x2+400x-3000,当xN50时，L(x)=6xlOOx-601x- +9000-3000=6000-(x+(-10x2+400x-3000,0<x<50,：•L(x)={ ZAAA,,loooo、、rnI 6000-(x+—x-50.(2)当0<xV50时，L(x)=-10(x-20)2+1000,・•・当x=20时,L(x)max=L(20)=1000；当x>50时，L(x)=6000-(x+ <6000-2/x-=5800.当且仅当x=哼^即x=100时，L(x)max=£.(100)=5800>1000.・•・当x=100,即2018年生产100百辆时，企业所获利润最大,最大利润为5800万元【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】(1)由已知分类写出LQ)的表达式并化简；(2)分段利用配方法及基本不等式求最值.则答案可求.【解答】解：(1)当OVxV50时,L(x)=6x100x-10x2-200x-3000=-10x2+400x-3000.当x>50时，L(x)=6xlOOx-60lx- +9000-3000=6000-(x+f-lOx2+400x-3000,0<x<50,t(X)=[ 6000-(x+i=),x>50.(2)当0vxV50时，L(x)=-10(x-20)2+1000,,当x=20时.L(x)max=£(20)=1000；当x>50时，L(x)=6000-(x+ <6000-2Jx• =5800.当且仅当x=卓吧，即x=100时，L(x)max=£(100)=5800>1000・・・当戈二100,即2018年生产100百辆时.企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【答案】解：(1)因为A8长为4百米，所以圆的半径为2百米，即。4=08=。。=。。=2当“。。=g时,S四边除BCD=S^BOC+S&CAD+S^doA=-x22sin19+-x22sin-4--x22sinfzr—0-2 2 3 2 \ 3/=2^sin(0+^)+V3(O<0<y).又立J+K)所以当8代W，即6=g时,(S鹿诩以8C0)max=3倔即当8=三时，花卉种植面积最大.(2)因为8C=C0所以4c00=4BOC=6,且6€(0弓)，由余弦定理得BC=V22+22-2x2x2cos0=4sin1,DA=V2Z+22+2x2x2xcos20=4cos,所以L=8sing+4cos8(0V8V令《=5屈,因为0<女?所以OVtV今2 2 4 2所以L=8sin(+4(1—2sin2=8t+4(1—2t2)=—8 +6所以当3点即6话时」取得最大值6.即当8=W时，景观花带总长工最长」的最大值为6百米.【考点】在实际问题中建市三角函数模型余弦定理二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解(1)因为4B长为4百米，所以圆的半径为2百米，即。4=08=。。=。。=2当Z.COD=三时,S四边形abcd=Sa80c+S^cad+S^doa=1x2zsin0+1x2zsin^4-1x22sin(7r-6-g)=2V3sin(0+^)+V3(O<0<y)又占日+汴声所以当8+合热即"轲,(5四边跑B8)max=3后即当。=押，花卉种植面积最大.(2)因为8C=CD所以4。。。=乙8。。=6.且。€(0彳).由余弦定理得BC=V22+22-2x2x2cos0=4sin|tDA=V2Z+22+2x2x2xcos20=4cos0,所以L=8sin1+4cos0(0V6V]=sin1,因为Ovgv*所以OVtv日，所以A=8sin1+4(1-2sin2=8t+4(1-2t2)=-8(t-1)2+6所以当t=(即8=g时，L取得最大值6.即当6=g时,景观花带总长L最长，L的最大值为6百米.【答案】解(1)当n=l时,2sl=%+1,又％=$,所以%=1；当nN2时，25n-i=(n- +1),所以2即=nan-(n-1)厮-1+1即(n-1)0„_1=(n-2)an+1,所以n%=(n-l)an+1+1,所以“斯-(n-l)^，1=(n-l)an+1-(n-2)an化简.得2(n-l)0n=(n-l)(an-i+an+i)，即当“N2时，2%=即-1+%+1，所以｛%｝为等差数列又。1=1,。2=3,所以公差d=2,所以即=2n-l(〃£N・).(2)由(1)知｛6｝为以1为首项.2为公差的等差数列，所以9=兀'1+^^、2=112.所以儿=n2siny+(n+l)2sin---y)?,所以Ro=I2-32-32+52+52-72-72+92+92-II2-II2+133+…+492-512=(I2-32)-(32-52)+(52-72)-(72-92)+(92-II2)-(II2-132)+…+(492-512)=-2x4+2x8-2x12+2X16-2x20++2x96-2x100=-2X4+2x(8-12)+2x(16-20)+•••+2x(96-100)=-8-8x12=-104.【考点】等比数列的通项公式数列递推式数列的求和等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当71=1时，2S]=di+l,又5=5],所以。1=1；当nN2时，25所1=①-+D,所以2厮=一("一1)即-1+1即(n-l)an«i=(n-2)an+1,所以na”=(n-1)/1+1+1,所以-6-l)an-i=(n-l)an+i-(n-2)an化简，得2(n-l)0n= +即当〃22时，2an=Q“_i+an+i,所以｛aj为等差数列又/=l,a2=3,所以公差d=2,所以厮=2n-l(nWN*).(2)由(1)知｛an｝为以1为首项，2为公差的等差数列.所以工二打、1+^^乂2=兀2.所以%=n2siny+(n+l)2sin^y^,所以"o=I2-32-32+52+52-72-72+92+92-II2-II2+133+…+492-512=(I2-32)-(32-52)+(52-72)-(72-92)+(92-II2)-(II2-132)+…+(492-512)=-2x4+2x8-2x12+2x16-2x20+--I-2x96-2x100=-2x4+2x(8-12)+2X(16-20)+•••+2x(96-100)=-8-8x12=-104.【答案】解⑴因为a可时，f(x)=e*-*z_x_i所以f'(x)=ex-ex-1,/Xl)=-1又/W=e-g-l-l=g-2所以切线方程为y-g-2)=-(x-1)即所求的切线方程为x+y-g+l=O.(2)F(x)=e*-ax2-x+1,所以F'(%)=ex-2ax-1令g(x)=e*-2ax—1,则g'(x)=ex-2a因为a>0,由g'COv0.得xVIn2a由g'CO>0,得x>In2a所以尸(x)在(-8/n2a)上单调递减，在(ln2a,+8)上单调递增.①当OV2aVI,即0VQV：时，In2a<0因为F'(0)=0且F'Q)在(ln2a,+8)上单调递增，所以F'(ln2a)V0.又“In2a-/)=2a(e-i)-\n2a>0所以叫W(In2Q」《ln2a).使得尸'(石)=0,又F'(x)在(-8,ln2a)上单调递减，所以当xW(-8，m)时，F%x)>0,当XW(4,0)时,F'M<0,当*6(0,+8)时，F\x)>0,所以F(x)在(-8,修)上单调递增.在(4,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以FCO挪/唐=尸(0)=2>0所以函数尸(幻最多有一个零点，不合题意②当2a=1.即q=：时，In2a=0.此时产(x)N0在R上恒成立，则尸(幻在R上单调递增，所以尸(外在R上最多有一个零点，不合题意.③当2a>1,即q>泄,ln2a>0,因为F'(0)=0且F'(外在(一81n2a)上单调递减，所以F'(ln2a)V0因为当x>0时，易证得靖>/所以F'(2a+1)=e2a+1—2a(2a4-1)—1>(2a+I)2—2a(2a4-1)—1=2a>0,易证2a4-1>\n2a所以三M€Qn2a,2a+1),使得F'(m)=gX2—2ax2—1=0,eX2=2ax2+1.故F(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,必)上单调递减.在(必,+8)上单调递增，由F(x)板大德=尸(0)=2>0,所以要使F(x)有三个零点，必有F(42)=eX2-axj-x2+1<0所以ax：-(2a-1)小一2>0,BP(x2-2)(ax2+1)>0,所以必>2,又因为a=*.令h(x)=2i(xN2),则〃'(乃二出;詈1Z*2 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