重积分高数名师课件超经典超全

重积分高数名师课件超经典超全重积分高数名师课件超经典超全1三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概念四、小结思考题机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概2柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶3播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法4求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如5求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如6求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如7求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如8求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如9求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如10解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定111)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶124)“取极限”令机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回132.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占142)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k15两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结16二、二重积分的概念定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束二、二重积分的概念定义:将区域D任意分成n个小区域任17

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区18引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果19二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积20对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．机动目录上页下页返回结束对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，21性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三22性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上23性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）24解解25解解26解解27解解28例5.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例5.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界29例6.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束例6.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质30注：设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束注：设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于31二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体32思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找33定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此34被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围352.设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y363.证明:其中D为解:又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束3.证明:其中D为解:又D的面积为1,故结论成37练习题练习题38重积分高数名师课件超经典超全39重积分高数名师课件超经典超全40练习题答案练习题答案41第二节二重积分的计算法(1)二、小结思考题一、利用直角坐标计算二重积分第二节二重积分的计算法(1)二、小结思考题一、利用直角坐42如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］如果积分区域为：其中函数、43应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得44如果积分区域为：［Y－型］如果积分区域为：［Y－型］45

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相46例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所47例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简48例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数49解积分区域如图解积分区域如图50例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型51例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动52例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设53解曲面围成的立体如图.解曲面围成的立体如图.54重积分高数名师课件超经典超全55二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）56练习题练习题57重积分高数名师课件超经典超全58重积分高数名师课件超经典超全59重积分高数名师课件超经典超全60练习题答案练习题答案61重积分高数名师课件超经典超全62第二节二重积分的计算法(2)二、小结思考题一、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算法(2)二、小结思考题一、利用极坐标63一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分64二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图65区域特征如图区域特征如图66二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图67极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征68若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分69例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数70注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例1的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反71解解72解解73解解74例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.75二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小76练习题练习题77重积分高数名师课件超经典超全78重积分高数名师课件超经典超全79练习题答案练习题答案80重积分高数名师课件超经典超全81第三、四节一、三重积分的概念

二、直角坐标系下三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分(1)

三、小结思考题第三、四节一、三重积分的概念二、直角坐标系下三重积分的计82一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回结束一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例83定义.设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任84二、直角坐标系下三重积分的计算方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束二、直角坐标系下三重积分的计算方法1.投影法(“先一85方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱86方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱87投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积88小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.89解解90重积分高数名师课件超经典超全91重积分高数名师课件超经典超全92重积分高数名师课件超经典超全93其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解94例4.计算三重积分解:用“先二后一”机动目录上页下页返回结束例4.计算三重积分解:用“先二后一”机动95补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分96解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,97三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积98思考题1选择题:思考题1选择题:99重积分高数名师课件超经典超全100思考题2思考题2101练习题练习题102重积分高数名师课件超经典超全103重积分高数名师课件超经典超全104练习题答案练习题答案105重积分高数名师课件超经典超全106第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分机动目录上页下页返回结束三重积分(2)

三、小结思考题第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三107二、利用柱面坐标计算三重积分规定：二、利用柱面坐标计算三重积分规定：108柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为109如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为110例1.计算三重积分所围成.与平面其中由抛物面机动目录上页下页返回结束例1.计算三重积分所围成.与平面其中由抛物面机动111解答:计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束解答:计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中112解知交线为解知交线为113重积分高数名师课件超经典超全114其中为由练习题:

计算三重积分所围及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束其中为由练习题:计算三重积分所围及平面柱面成半圆柱体.115其中为由解答:计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束其中为由解答:计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面116三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分117规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．118球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，119球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，120重积分高数名师课件超经典超全121重积分高数名师课件超经典超全122重积分高数名师课件超经典超全123解解124重积分高数名师课件超经典超全125例5.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束例5.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用126（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标四、小结（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）127内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系128练习题练习题129重积分高数名师课件超经典超全130重积分高数名师课件超经典超全131重积分高数名师课件超经典超全132练习题答案练习题答案133重积分高数名师课件超经典超全134重积分高数名师课件超经典超全135第五节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用第五节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体1361.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加137一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界138解曲面围成的立体如图.解曲面围成的立体如图.139重积分高数名师课件超经典超全140例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束例2.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立141二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d

,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平142故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上143若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有机动目录上页下页返回结束若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有机动目录144例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面145解解146重积分高数名师课件超经典超全147三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点148将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令149同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页返回结束同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页150若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的

静矩—对y轴的

静矩机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D151例5.求位于平面和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例5.求位于平面和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀152四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密153类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转154如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机155例6.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动目录上页下页返回结束例6.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如156解:取球心为原点,z轴为L轴,则球体的质量例7.求均匀球体对于过球心的一条轴L的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束解:取球心为原点,z轴为L轴,则球体的质量例7.求均157G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束G为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对158对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引159例8.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动目录上页下页返回结束例8.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由160几何应用：曲面的面积、曲体的体积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结几何应用：曲面的面积、曲体的体积物理应用：重心、转动惯量、对161练习题练习题162重积分高数名师课件超经典超全163练习题答案练习题答案164谢谢观赏谢谢观赏165重积分高数名师课件超经典超全重积分高数名师课件超经典超全166三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概念四、小结思考题机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概167柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶168播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法169求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如170求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如171求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如172求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如173求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如174求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如175解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定1761)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶1774)“取极限”令机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回1782.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占1792)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k180两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结181二、二重积分的概念定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束二、二重积分的概念定义:将区域D任意分成n个小区域任182

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区183引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果184二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积185对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．机动目录上页下页返回结束对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，186性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三187性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上188性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）189解解190解解191解解192解解193例5.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例5.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界194例6.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束例6.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质195注：设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束注：设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于196二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体197思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找198定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此199被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围2002.设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y2013.证明:其中D为解:又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束3.证明:其中D为解:又D的面积为1,故结论成202练习题练习题203重积分高数名师课件超经典超全204重积分高数名师课件超经典超全205练习题答案练习题答案206第二节二重积分的计算法(1)二、小结思考题一、利用直角坐标计算二重积分第二节二重积分的计算法(1)二、小结思考题一、利用直角坐207如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］如果积分区域为：其中函数、208应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得209如果积分区域为：［Y－型］如果积分区域为：［Y－型］210

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相211例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所212例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简213例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数214解积分区域如图解积分区域如图215例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型216例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动217例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设218解曲面围成的立体如图.解曲面围成的立体如图.219重积分高数名师课件超经典超全220二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）221练习题练习题222重积分高数名师课件超经典超全223重积分高数名师课件超经典超全224重积分高数名师课件超经典超全225练习题答案练习题答案226重积分高数名师课件超经典超全227第二节二重积分的计算法(2)二、小结思考题一、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算法(2)二、小结思考题一、利用极坐标228一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分229二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图230区域特征如图区域特征如图231二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图232极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征233若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分234例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数235注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例1的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反236解解237解解238解解239例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.240二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小241练习题练习题242重积分高数名师课件超经典超全243重积分高数名师课件超经典超全244练习题答案练习题答案245重积分高数名师课件超经典超全246第三、四节一、三重积分的概念

二、直角坐标系下三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分(1)

三、小结思考题第三、四节一、三重积分的概念二、直角坐标系下三重积分的计247一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回结束一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例248定义.设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任249二、直角坐标系下三重积分的计算方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束二、直角坐标系下三重积分的计算方法1.投影法(“先一250方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱251方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱252投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积253小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.254解解255重积分高数名师课件超经典超全256重积分高数名师课件超经典超全257重积分高数名师课件超经典超全258其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解259例4.计算三重积分解:用“先二后一”机动目录上页下页返回结束例4.计算三重积分解:用“先二后一”机动260补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分261解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,262三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积263思考题1选择题:思考题1选择题:264重积分高数名师课件超经典超全265思考题2思考题2266练习题练习题267重积分高数名师课件超经典超全268重积分高数名师课件超经典超全269练习题答案练习题答案270重积分高数名师课件超经典超全271第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分机动目录上页下页返回结束三重积分(2)

三、小结思考题第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三272二、利用柱面坐标计算三重积分规定：二、利用柱面坐标计算三重积分规定：273柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为274如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为275例1.计算三重积分所围成.与平面其中由抛物面机动目录上页下页返回结束例1.计算三重积分所围成.与平面其中由抛物面机动276解答:计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束解答:计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中277解知交线为解知交线为278重积分高数名师课件超经典超全279其中为由练习题:

计算三重积分所围及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束其中为由练习题:计算三重积分所围及平面柱面成半圆柱体.280其中为由解答:计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束其中为由解答:计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面281三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分282规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．283球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，284球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，285重积分高数名师课件超经典超全286重积分高数名师课件超经典超全287重积分高数名师课件超经典超全288解解289重积分高数名师课件超经典超全290例5.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束例5.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用291（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标四、小结（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）292内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系293练习题练习题294重积分高数名师课件超经典超全295重积分高数名师课件超经典超全296重积分高数名师课件超经典超全297练习题答案练习题答案298重积分高数名师课件超经典超全299重积分高数名师课件超经典超全300第五节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用第五节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体3011.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加302一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其