列平衡方程4联立求解FA为负值课件

平面力系问题讲解

答疑课程：工程力学《一》2017-09-03答疑课程：工程力学《一》Part1Part2汇交力系力偶系力偶的概念和工程实例力对点之矩·合力矩定理力偶系及其性质力偶系的合成与平衡汇交力系的概念与实例汇交力系的合成与平衡—几何法力的投影汇交力系的合成与平衡—解析法目录Part1Part2汇交力系力偶系力偶的概念和工程实汇交力系：各力作用线均汇交于一点。平面汇交力系F3F2F1OAOCB空间汇交力系1汇交力系的概念与实例汇交力系：各力作用线均汇交于一点。平面汇交力系F3F2F1O基本问题力系的合成力系的平衡条件

汇交力系和力偶系是两种最简单的力系，也称为基本力系，是研究复杂力系的基础。研究方法几何法解析法基本问题力系的合成力系的平衡条件汇交力系和一、汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表达式：AF2F1F4F32汇交力系的合成与平衡—几何法一、汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。得到一个开口的多边形，称为力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。此法称为力的多边形法则。1、力的多边形法则

根据矢量加法的交换率，可以交换力多边形中的各个力矢，合力的大小和方向、作用点仍然不改变。F1F4F2F3aFR1FR2FRbcdeF1F4F2F3aFRcdeb把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。得到

空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。2、汇交力系的合成结果

汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的汇交点，合力等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：R=F1+F2+F3+···+Fn空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多用几何法求汇交力系的合力时，应注意以下几点：按一定的比例画出各力的大小，方向要准确；力多边形中各力必须首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点；作力多边形时，可以任意变换力的次序，合成的结果并不改变。用几何法求汇交力系的合力时，应注意以下几点：例1：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，F1=3kN，F2=4kN，F3=5kN。试求这三个力的合力。F1OF2F3300F2F3FRα解：

FR=8.3kN，α

=3.50F1O

几何法求合力，作图的精确度对所求结果有较大影响。因此对作图的精度要求较高，一般按要求作图法很难满足，特别是对空间力系，因此一般采用几何法求解的较少，更多的是采用下面介绍的方法——解析法。例1：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，F1=3k二、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为：

汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。二、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：汇交力例2杆AC和BC在C处铰接，另一端均与铅垂墙面铰接。铅垂力F作用在销钉C上，且F=866N，不计杆自重。试求两杆所受的力。

CBAC解：(1)根据题意，选取销钉C为研究对象。(2)画受力图。销钉C受铅垂力F的作用，还受到杆AC和BC的作用，且杆AC和BC均为二力杆。销钉C的受力图如图所示。例2杆AC和BC在C处铰接，另一端均与铅垂墙面铰接。铅垂力(3)作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力组成的力多边形自行封闭，即它们组成一个封闭的三角形。(4)求未知量。可以看出力三角形abc为直角三角形，因此由三角关系可得:abcC(3)作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力组成A60ºPB30ºaaC(a)解：(1)取梁AB

作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN.(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA

和NB

的闭合力三角形。

例3：水平梁AB图(a)所示，P=20kN,试求支座A和支座B的反力。梁的自重不计。BAC(b)FBFAD60º30ºPEPFBFA60º30ºHK(c)A60ºPB30ºaaC(a)解：(1)取梁AB作为研反之，当投影Fx

、Fy

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。一、力在平面坐标轴上的投影3力的投影反之，当投影Fx、Fy已知时，则可求出力F的大小和方

已知力F在坐标系oxyz上与x轴、y轴和z轴之间的夹角分别为α

、β

和γ，则力在三个坐标轴上的投影为：二、力在空间坐标轴上的投影FzFxFyzxFy

反之，当投影Fx

、Fy、Fz

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：1、直接投影法已知力F在坐标系oxyz上与x轴、y轴和z轴

由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足a到b所构成的矢量ab，就是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。即：注意：力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影:2、二次投影法（间接投影法）xyabαFxyAB由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引二次投影法:

如果已知F、γ和φ，则可求出力

F

在各个坐标轴上的投影：FzFxFyzxy二次投影法:如果已知F、γ和φ，则可例4图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）β

和压力角θ

，试求力F在x、y、z轴上的投影。解：先将力F向z轴和oxy平面投影，得：

再将力Fxy向x和y轴投影，得：例4图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮

以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F1、F2,并用几何法画出其合力。三、合力投影定理OABCABOxy以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F1、F2CABOabxyc各力在y轴上投影：由图可知：即：各力在x轴上投影：CABOabxyc各力在y轴上投影：由图可知：即：各力在x轴

推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：

合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力则合力的大小和FR的方向余弦：根据合力投影定理得:一、汇交力系合成的解析法4汇交力系的合成与平衡—解析法则合力的大小和FR的方向余弦：根据合力投影定理得:一、汇交力对于平面汇交力系的特殊情况问题：合力的大小:合力FR的方向余弦:对于平面汇交力系的特殊情况问题：合力的大小:合力FR的方例5

试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向。已知：F1=F2=F3=100kN，F4=F5=200kN。OxyF5F4F3F2F1解：例5试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向OxyF5F4F3F2F1FR

可得：

OxyF5F4F3F2F1FR可得：平面汇交力系的平衡方程:

即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零,即:二、汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系的平衡方程:即:汇交力系的平衡条件是力系例6图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。解:1）取研究对象—力系的汇交点A；AQFC

3）建立坐标系；yx4）列出对应的平衡方程：FB600CBAQ3005）联立求解：2）画受力图；例6图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求A例7水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。解:1）选取刚架为研究对象；2）画受力图；FAADCByxFDADCBa2a例7水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。FAADCByxFD3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：FA为负值，说明图例8支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以及支杆的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F作用在梁中间，即AD＝DB，且F＝15kN，支杆BC与水平横梁成30o角。设横梁和支杆的重量忽略不计，试求铰链A的约束力及支杆BC所受的力。

解:1）取横梁AB为研究对象，画受力图；CBADxEBADy例8支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以2）列平衡方程，建立Axy坐标系；3）联立求解。xEBADy2）列平衡方程，建立Axy坐标系；3）联立求解。xEBAABCDaayxABC例9边长为a的直角弯杆ABC的A端与固定铰链支座联结，C端与杆CD用销钉联结，而杆CD与水平线的夹角为60o，略去各杆的重量。沿BC方向作用已知力F=60N。试求A，C两点的约束力。解:1）取ABC为研究对象，受力图如图。ABCDaayxABC例9边长为a的直角弯杆ABC的A端与yxABC2）列平衡方程；3）联立求解。yxABC

正值表示受力图中所假设的指向与真实的方向一致;

负值表示受力图中所假设的指向与真实的方向相反。

注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。yxABC2）列平衡方程；3）联立求解。yxABC解方程得杆AB和BC所受的力:解：

由滑轮B的平衡。xyBFABF2F1FBCABDCP显然，F1=F2=P例10如图，P=20kN,求AB、BC两杆受力。解方程得杆AB和BC所受的力:解：由滑轮B的OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物F。如图2.15a所示。各杆的自重不计，且α＝45o，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。解:1）取铰链O为研究对象，受力图如图。OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11杆AO，BO2）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，即AO杆受压。OyzxFCFBFAFT=F2）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。FA为负例12用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。例12用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。xzy30oαABDGCEFF1F2FA解出解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。xzy30oα解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体选取最好含题设的已知条件。2.画受力图。3.列平衡方程求解。重点掌握汇交力系合成及平衡条件应用的解析法。小结解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体一、工程实例1力偶系概念及工程实例一、工程实例1力偶系概念及工程实例

日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥匙、汽车司机双手转动驾驶盘等。二、力偶的概念:

作用于刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系称为力偶。日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥匙、汽车司机双无法再简化的简单力系之一。

力偶作用面：由一对力F

所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用d表示；度量转动作用效应的物理量。单位为N·m或kN·m。

力偶系：作用于刚体上的一群力偶。使刚体的转动状态发生改变。作用效应:dF´F无法再简化的简单力系之一。力偶作用面：由一对力F一、平面中力对点之矩

力F对刚体产生的绕平面上O点的转动效应取决于：

转动效应的强度：Fd；转动的方向：顺时针或逆时针。

力对点之矩（力矩）是为了描述刚体运动中的转动效应。OAFBd2力对点之矩·合力矩定理一、平面中力对点之矩力F对刚体产生的绕平面上O点

力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。正负规定：其中：O

为参考系中的某一点，称为矩心。d为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。OAFBd力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，正负规定：其中：O平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：

1.力的大小等于零；

2.力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。OAFBd平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：O二、力对点之矩矢⑶

转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。⑵转动轴方位:力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位；⑴大小:力F与力臂的乘积；

在空间问题中，力对刚体产生的绕O点的转动效应取决于三个要素：

——力对点之矩矢，是一个过矩心O的定位矢量，是力对刚体转动效应的度量。1.力对点之矩矢的概念二、力对点之矩矢⑶转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。⑵2.力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式⑴力对点之矩矢的矢量积表示式OdA2.力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式⑴力对点之矩矢⑵力对点之矩矢的解析表示式则:⑵力对点之矩矢的解析表示式则:力对点O的矩矢在三个坐标轴上的投影为:力对点O的矩矢在三个坐标轴上的投影为:3.力对点之矩矢的基本性质

作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于二力分别对该点矩矢的矢量和，即：

也就是说：力对点之矩矢服从矢量的合成法则。即在一般情况下：

对于平面力系，则有(代数和）：3.力对点之矩矢的基本性质作用于刚体上的二力对刚体4.合力矩定理

合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力对同一点之矩的矢量和。即：对于平面力系，则有（代数和）：4.合力矩定理合力矩定理：合力对任一点之矩证明：由图得而FyFxFA则证明：由图得而FyFxFA则例1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位置。解:根据合力投影定理，则合力的大小为：再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC。例1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq1思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq13力偶及其性质一、力偶矩矢概念根据力对点之矩矢，力偶对O之矩为：ABOMM称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。平面有一对力偶

,将它们对O点取矩。3力偶及其性质一、力偶矩矢概念根据力对点之矩矢，力偶对O二、力偶转动效应三要素力偶转动效应三要素力偶矩大小转向作用面方位力偶矩矢长度力偶矩矢指向力偶矩矢法线力偶矩矢三要素二、力偶转动效应三要素力偶力偶矩大小转向作用面方位力偶矩矢长三、力偶的解析表示式选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：四、平面力偶是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。

规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。三、力偶的解析表示式选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：四相同处：两者量纲相同；作用效应相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶矩是常量。联系：力偶中的两个力对任一点的矩之和是常量，等于力偶矩。五、力对点的矩与力偶矩的区别与联系相同处：两者量纲相同；不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而六、力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）1.力偶的等效条件2.力偶的性质

（2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来平衡）。是一个基本的力学量。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。六、力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相力偶矩因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶矩因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而

（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

Mr

F¢rd(a)

FrFra

Mr

F¢rad/a(c)

Fr

Mr

F¢rd(b)Fr（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。七、力偶的表示方法（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面

两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：为合力偶矩矢。4力偶系的合成与平衡一、力偶的合成两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的有推广：力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：选取坐标轴Oxyz，则：二、力偶矩矢的投影有推广：力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：

平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代数和，即：合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：平面力偶合成所得的合力即：力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和为零，称为力偶系作用下刚体的平衡方程。

空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。写出解析的形式，有：三、力偶系的平衡条件平面力偶系作用下刚体的平衡方程：即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。即：力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和为零，称为力OBDαA例2图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA

和BD上分别作用着矩为和的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求和间的关系。αOADB解：1）画受力图，杆AB为二力杆。OBDαA例2图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA2）分别写出杆AO

和BD

的平衡方程：αOADB2）分别写出杆AO和BD的平衡方程：αOADBaABCbcBC例3图示机构在图示位置处于平衡。解：1）画受力图，BC为二力体。AC2）列平衡方程：已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。aABCbcBC例3图示机构在图示位置处于平衡。解：1）例4各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶。试求支座A的约束力。解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程：例4各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶。2）以ACD构件为研究对象，画出分离体受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程：A点约束力为:方向与图示一致。2）以ACD构件为研究对象，画出分离体受力图。根据力偶平衡条βo1BoABo1AoA例5图示使机构在图示位置处于平衡。已知，OA=a，β=30o，M1，不计杆重，求M2。解：1）画受力图。2）列平衡方程：曲柄OA：摆杆O1B：又：可得：βo1BoABo1AoA例5图示使机构在图示位置处于平衡求:轴承A,B处的约束力.圆盘面O1垂直于z轴，例6F1=3N，F2=5N，构件自重不计.两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB=800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示.解得由力偶系平衡方程求:轴承A,B处的约束力.圆盘面O1垂直于z轴，例6F1=3总结1、理解力对点之矩和力对轴之矩的概念；2、理解力偶和力偶矩的概念；3、理解力偶矩矢的性质；4、力偶系的合成；5、力偶系平衡条件的应用。重点掌握力偶系合成及其平衡的条件，并运用平衡条件求解力偶系的平衡问题。

总结1、理解力对点之矩和力对轴之矩的概念；本次答疑结束谢谢大家！本次答疑结束平面力系问题讲解

答疑课程：工程力学《一》2017-09-03答疑课程：工程力学《一》Part1Part2汇交力系力偶系力偶的概念和工程实例力对点之矩·合力矩定理力偶系及其性质力偶系的合成与平衡汇交力系的概念与实例汇交力系的合成与平衡—几何法力的投影汇交力系的合成与平衡—解析法目录Part1Part2汇交力系力偶系力偶的概念和工程实汇交力系：各力作用线均汇交于一点。平面汇交力系F3F2F1OAOCB空间汇交力系1汇交力系的概念与实例汇交力系：各力作用线均汇交于一点。平面汇交力系F3F2F1O基本问题力系的合成力系的平衡条件

汇交力系和力偶系是两种最简单的力系，也称为基本力系，是研究复杂力系的基础。研究方法几何法解析法基本问题力系的合成力系的平衡条件汇交力系和一、汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表达式：AF2F1F4F32汇交力系的合成与平衡—几何法一、汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。得到一个开口的多边形，称为力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。此法称为力的多边形法则。1、力的多边形法则

根据矢量加法的交换率，可以交换力多边形中的各个力矢，合力的大小和方向、作用点仍然不改变。F1F4F2F3aFR1FR2FRbcdeF1F4F2F3aFRcdeb把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。得到

空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。2、汇交力系的合成结果

汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的汇交点，合力等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：R=F1+F2+F3+···+Fn空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多用几何法求汇交力系的合力时，应注意以下几点：按一定的比例画出各力的大小，方向要准确；力多边形中各力必须首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点；作力多边形时，可以任意变换力的次序，合成的结果并不改变。用几何法求汇交力系的合力时，应注意以下几点：例1：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，F1=3kN，F2=4kN，F3=5kN。试求这三个力的合力。F1OF2F3300F2F3FRα解：

FR=8.3kN，α

=3.50F1O

几何法求合力，作图的精确度对所求结果有较大影响。因此对作图的精度要求较高，一般按要求作图法很难满足，特别是对空间力系，因此一般采用几何法求解的较少，更多的是采用下面介绍的方法——解析法。例1：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，F1=3k二、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为：

汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。二、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：汇交力例2杆AC和BC在C处铰接，另一端均与铅垂墙面铰接。铅垂力F作用在销钉C上，且F=866N，不计杆自重。试求两杆所受的力。

CBAC解：(1)根据题意，选取销钉C为研究对象。(2)画受力图。销钉C受铅垂力F的作用，还受到杆AC和BC的作用，且杆AC和BC均为二力杆。销钉C的受力图如图所示。例2杆AC和BC在C处铰接，另一端均与铅垂墙面铰接。铅垂力(3)作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力组成的力多边形自行封闭，即它们组成一个封闭的三角形。(4)求未知量。可以看出力三角形abc为直角三角形，因此由三角关系可得:abcC(3)作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力组成A60ºPB30ºaaC(a)解：(1)取梁AB

作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN.(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA

和NB

的闭合力三角形。

例3：水平梁AB图(a)所示，P=20kN,试求支座A和支座B的反力。梁的自重不计。BAC(b)FBFAD60º30ºPEPFBFA60º30ºHK(c)A60ºPB30ºaaC(a)解：(1)取梁AB作为研反之，当投影Fx

、Fy

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。一、力在平面坐标轴上的投影3力的投影反之，当投影Fx、Fy已知时，则可求出力F的大小和方

已知力F在坐标系oxyz上与x轴、y轴和z轴之间的夹角分别为α

、β

和γ，则力在三个坐标轴上的投影为：二、力在空间坐标轴上的投影FzFxFyzxFy

反之，当投影Fx

、Fy、Fz

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：1、直接投影法已知力F在坐标系oxyz上与x轴、y轴和z轴

由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足a到b所构成的矢量ab，就是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。即：注意：力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影:2、二次投影法（间接投影法）xyabαFxyAB由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引二次投影法:

如果已知F、γ和φ，则可求出力

F

在各个坐标轴上的投影：FzFxFyzxy二次投影法:如果已知F、γ和φ，则可例4图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）β

和压力角θ

，试求力F在x、y、z轴上的投影。解：先将力F向z轴和oxy平面投影，得：

再将力Fxy向x和y轴投影，得：例4图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮

以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F1、F2,并用几何法画出其合力。三、合力投影定理OABCABOxy以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F1、F2CABOabxyc各力在y轴上投影：由图可知：即：各力在x轴上投影：CABOabxyc各力在y轴上投影：由图可知：即：各力在x轴

推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：

合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力则合力的大小和FR的方向余弦：根据合力投影定理得:一、汇交力系合成的解析法4汇交力系的合成与平衡—解析法则合力的大小和FR的方向余弦：根据合力投影定理得:一、汇交力对于平面汇交力系的特殊情况问题：合力的大小:合力FR的方向余弦:对于平面汇交力系的特殊情况问题：合力的大小:合力FR的方例5

试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向。已知：F1=F2=F3=100kN，F4=F5=200kN。OxyF5F4F3F2F1解：例5试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向OxyF5F4F3F2F1FR

可得：

OxyF5F4F3F2F1FR可得：平面汇交力系的平衡方程:

即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零,即:二、汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系的平衡方程:即:汇交力系的平衡条件是力系例6图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。解:1）取研究对象—力系的汇交点A；AQFC

3）建立坐标系；yx4）列出对应的平衡方程：FB600CBAQ3005）联立求解：2）画受力图；例6图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求A例7水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。解:1）选取刚架为研究对象；2）画受力图；FAADCByxFDADCBa2a例7水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。FAADCByxFD3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：FA为负值，说明图例8支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以及支杆的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F作用在梁中间，即AD＝DB，且F＝15kN，支杆BC与水平横梁成30o角。设横梁和支杆的重量忽略不计，试求铰链A的约束力及支杆BC所受的力。

解:1）取横梁AB为研究对象，画受力图；CBADxEBADy例8支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以2）列平衡方程，建立Axy坐标系；3）联立求解。xEBADy2）列平衡方程，建立Axy坐标系；3）联立求解。xEBAABCDaayxABC例9边长为a的直角弯杆ABC的A端与固定铰链支座联结，C端与杆CD用销钉联结，而杆CD与水平线的夹角为60o，略去各杆的重量。沿BC方向作用已知力F=60N。试求A，C两点的约束力。解:1）取ABC为研究对象，受力图如图。ABCDaayxABC例9边长为a的直角弯杆ABC的A端与yxABC2）列平衡方程；3）联立求解。yxABC

正值表示受力图中所假设的指向与真实的方向一致;

负值表示受力图中所假设的指向与真实的方向相反。

注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。yxABC2）列平衡方程；3）联立求解。yxABC解方程得杆AB和BC所受的力:解：

由滑轮B的平衡。xyBFABF2F1FBCABDCP显然，F1=F2=P例10如图，P=20kN,求AB、BC两杆受力。解方程得杆AB和BC所受的力:解：由滑轮B的OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物F。如图2.15a所示。各杆的自重不计，且α＝45o，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。解:1）取铰链O为研究对象，受力图如图。OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例11杆AO，BO2）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，即AO杆受压。OyzxFCFBFAFT=F2）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。FA为负例12用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。例12用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。xzy30oαABDGCEFF1F2FA解出解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。xzy30oα解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体选取最好含题设的已知条件。2.画受力图。3.列平衡方程求解。重点掌握汇交力系合成及平衡条件应用的解析法。小结解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体一、工程实例1力偶系概念及工程实例一、工程实例1力偶系概念及工程实例

日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥匙、汽车司机双手转动驾驶盘等。二、力偶的概念:

作用于刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系称为力偶。日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥匙、汽车司机双无法再简化的简单力系之一。

力偶作用面：由一对力F

所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用d表示；度量转动作用效应的物理量。单位为N·m或kN·m。

力偶系：作用于刚体上的一群力偶。使刚体的转动状态发生改变。作用效应:dF´F无法再简化的简单力系之一。力偶作用面：由一对力F一、平面中力对点之矩

力F对刚体产生的绕平面上O点的转动效应取决于：

转动效应的强度：Fd；转动的方向：顺时针或逆时针。

力对点之矩（力矩）是为了描述刚体运动中的转动效应。OAFBd2力对点之矩·合力矩定理一、平面中力对点之矩力F对刚体产生的绕平面上O点

力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。正负规定：其中：O

为参考系中的某一点，称为矩心。d为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。OAFBd力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，正负规定：其中：O平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：

1.力的大小等于零；

2.力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。OAFBd平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：O二、力对点之矩矢⑶

转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。⑵转动轴方位:力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位；⑴大小:力F与力臂的乘积；

在空间问题中，力对刚体产生的绕O点的转动效应取决于三个要素：

——力对点之矩矢，是一个过矩心O的定位矢量，是力对刚体转动效应的度量。1.力对点之矩矢的概念二、力对点之矩矢⑶转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。⑵2.力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式⑴力对点之矩矢的矢量积表示式OdA2.力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式⑴力对点之矩矢⑵力对点之矩矢的解析表示式则:⑵力对点之矩矢的解析表示式则:力对点O的矩矢在三个坐标轴上的投影为:力对点O的矩矢在三个坐标轴上的投影为:3.力对点之矩矢的基本性质

作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于二力分别对该点矩矢的矢量和，即：

也就是说：力对点之矩矢服从矢量的合成法则。即在一般情况下：

对于平面力系，则有(代数和）：3.力对点之矩矢的基本性质作用于刚体上的二力对刚体4.合力矩定理

合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力对同一点之矩的矢量和。即：对于平面力系，则有（代数和）：4.合力矩定理合力矩定理：合力对任一点之矩证明：由图得而FyFxFA则证明：由图得而FyFxFA则例1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位置。解:根据合力投影定理，则合力的大小为：再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC。例1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq1思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq13力偶及其性质一、力偶矩矢概念根据力对点之矩矢，力偶对O之矩为：ABOMM称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。平面有一对力偶

,将它们对O点取矩。3力偶及其性质一、力偶矩矢概念根据力对点之矩矢，力偶对O二、力偶转动效应三要素力偶转动效应三要素力偶矩大小转向作用面方位力偶矩矢长度力偶矩矢指向力偶矩矢法线力偶矩矢三要素二、力偶转动效应三要素力偶力偶矩大小转向作用面方位力偶矩矢长三、力偶的解析表示式选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：四、平面力偶是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。

规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。三、力偶的解析表示式选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：四相同处：两者量纲相同；作用效应相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶矩是常量。联系：力偶中的两个力对任一点的矩之和是常量，等于力偶矩。五、力对点的矩与力偶矩的区别与联系相同处：两者量纲相同；不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而六、力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）1.力偶的等效条件2.力偶的性质