探索二次函数综合题解题技巧课件

探索二次函数综合题解题技巧

探索二次函数综合题解题技巧

类型一线段数量关系的探究问题类型二图形面积数量关系及最值的探究问题类型三特殊三角形的探究问题类型四特殊四边形的探究问题类型一线段数量关系的探究问题类型一线段数量关系的探究问题类型一线段数量关系的探究问题例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴(2012年贵港中考)26．（本题满分12分）如

图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）

求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。(2012年贵港中考)26．（本题满分12分）如图，在平方法指导：

设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴上可设（0，y）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-，y)；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.方法指导：

设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是类型二图形面积数量关系及最值的探究问题类型二图形面积数量关系及最值的探究问题例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴方法指导：

1.三角形面积最值.分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。2.四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形.方法指导：

1.三角形面积最值.分规则与不规则。有底或者高落类型三特殊三角形的探究问题类型三特殊三角形的探究问题例(2016枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B.（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.例(2016枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），得BC2=OB2+OC2＝18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.由于直角△BPC的直角不确定，故需分情况讨论：①若B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2；②若C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4；③若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18，解得t1=,t2=解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），方法指导：1.对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以下几点:(1)利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；(2)确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；（3）根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；方法指导：1.对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以2.对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下:（1）假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.；（类型一方法指导）（3）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下:①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点；2.对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下:类型四特殊四边形的探究问题类型四特殊四边形的探究问题例

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.例如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形.需要分AC为对角线或AC为平行四边形一边两种情况讨论,再利用平行四边形的性质求解.2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论:特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:例：（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标例：（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式.探究正方形:利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解.探究矩形:利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未类型一线段数量关系的探究问题类型二图形面积数量关系及最值的探究问题类型三特殊三角形的探究问题类型四特殊四边形的探究问题类型一线段数量关系的探究问题谢谢大家谢谢大家例1如图，抛物线y=-

x2+bx+c的图象过点A(4，0)，B(-4，-4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC,AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；例1如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象过点A((3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8),B(8，0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C,D同时出发，当动点D到达原点O时，点C,D停止运动.(1)直接写出抛物线的解析式:；例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时，△CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为探索二次函数综合题解题技巧

探索二次函数综合题解题技巧

类型一线段数量关系的探究问题类型二图形面积数量关系及最值的探究问题类型三特殊三角形的探究问题类型四特殊四边形的探究问题类型一线段数量关系的探究问题类型一线段数量关系的探究问题类型一线段数量关系的探究问题例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴(2012年贵港中考)26．（本题满分12分）如

图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）

求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。(2012年贵港中考)26．（本题满分12分）如图，在平方法指导：

设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴上可设（0，y）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-，y)；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.方法指导：

设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是类型二图形面积数量关系及最值的探究问题类型二图形面积数量关系及最值的探究问题例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．例：（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴方法指导：

1.三角形面积最值.分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。2.四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形.方法指导：

1.三角形面积最值.分规则与不规则。有底或者高落类型三特殊三角形的探究问题类型三特殊三角形的探究问题例(2016枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B.（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.例(2016枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），得BC2=OB2+OC2＝18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.由于直角△BPC的直角不确定，故需分情况讨论：①若B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2；②若C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4；③若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18，解得t1=,t2=解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），方法指导：1.对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以下几点:(1)利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；(2)确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；（3）根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；方法指导：1.对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以2.对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下:（1）假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.；（类型一方法指导）（3）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下:①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点；2.对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下:类型四特殊四边形的探究问题类型四特殊四边形的探究问题例

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.例如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形.需要分AC为对角线或AC为平行四边形一边两种情况讨论,再利用平行四边形的性质求解.2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论:特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:例：（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标例：（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式.探究正方形: