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文档简介

◆拉格朗日中值定理P116若函数满足：

(2)

在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)

在闭区间上连续；xy推论1：如果函数f(x)在(a,b)上的导数恒为零，那么f(x)在(a,b)上是一个常数函数P119推论2：如果函数f(x)与函数g(x)在(a,b)内每一点处的导数都相等，那么这两个函数在(a,b)内最多相差一个常数P119证明：令h(x)=f(x)—g(x),则在(a,b)上有由推论1可知，h(x)在(a,b)内为一个常数，即

f

(x)与g(x)在(a,b)内最多相差一个常数例3

证明证明令而所以而所以◆柯西中值定理P120则在内至少存在一点，使(2)

在开区间内可导；(1)

在闭区间上连续(3)

若函数

满足：(2)

在开区间

内可导；(1)

在闭区间上连续(3)

由柯西中值定理可知

在

内至少存在一点，使设函数和g(x)=x,则f(x)和g(x)满足：证明：也可以在(0,x)上对使用拉格朗日中值定理

◆罗尔定理(2)

在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)

在闭区间上连续(3)

若函数满足：◆第三节：洛必达法则P129

即在定理的条件下，未定式的极限定值，可转化为其导函数之商的极限。说明：（1）在其它的极限过程中，洛必达法则也成立P129（2）若，即类的极限定值，也有洛必达法则；P130◆洛必达法则

（3）法则只能解决存在时，未定式的定值问题。

即如果

不存在，也不是

，则法则失效。若不存在也不是无穷大，则不能使用洛必达法则例1

求下列极限

型型型解原式P42解原式P42解原式练习求下列极限型解原式型解原式例2

求极限P133解这是型的未定式，且当时，所以，原式适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。P133

例3

求极限解但使用洛必达法则有不存在，非无穷大所以极限的确定不能用洛必达法则。(不能使用洛必达法则).练习?（1）形如的未定式其它形式的未定式的定值P131解题方法：将未定式变形例4

求极限解原式（2）形如的未定式P132解题方法：将未定式变形例5

求极限解原式练习求极限适当使用等价无穷小，可以简化计算过程（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值P132-133

解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理例5

求极限解令则所以而例

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