期权的希腊字最牛员工激励理论课件

第七章期权的希腊字母第七章期权的希腊字母本章出现的关键术语：德尔塔（）德尔塔中性市场走向伽马（）套期保值比率凯泊（）莱姆达（）头寸德尔塔头寸伽马头寸风险头寸斯尔塔（）糅（）市场震荡斯尔塔（）维伽不将死王棋的战术策略会导致非预期的后果。

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GaryKasparov国际象棋世界冠军本章出现的关键术语：德尔塔（）德尔塔中性市场上一章表明了布莱克－斯科尔斯期权定价模型在确定看跌或看涨期权的价值中的作用。德尔塔、伽马、斯尔塔、维伽，和糅是布莱克－斯科尔斯期权定价模型的偏导数，它们每一个都对应一个变量。尤其德尔塔、伽马和斯尔塔是现代投资组合风险管理的核心。在这些数值中，德尔塔是最著名的，也是用途最多的。上一章表明了布莱克－斯科尔斯期权定价模型在确定看跌或看涨期权主要的期权定价衍生产品德尔塔（DELTA）当期权交易商或分析员聚在一起的时候，几乎可以肯定会在他们的谈话中听到有人使用德尔塔这个词。德尔塔是布莱克－斯科尔斯模型的一个重要的副产品，它为那些在投资组合中使用期权的人提供特别有用的信息。德尔塔有三种常见用途。主要的期权定价衍生产品德尔塔（DELTA）衡量期权的敏感性尔塔的数学定义是，在其它情况保持不变的情况下，与股票价格一个很小的变化相对应的预计的期权费的变化量。对于看涨期权，使用符号，

=（7－1）其中，是看涨期权费（C）相对于股票价格（S）的偏导数。同样，看跌期权德尔塔是看跌期权费（P）相对于股票价格的偏导数：

=（7－2）衡量期权的敏感性尔塔的数学定义是，在其它情况保持不变的情况德尔塔的用途在于它指出了模拟期权收益所要求的股票数量。例如，一个德尔塔为0.75的看涨期权意味着它所起的作用如同0.75股股票。如果股票价格上涨$1，看涨期权将提高75美分。一个德尔塔为–0.75的看跌期权意味着如果股票上升$1看跌期权将下降75美分。对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权的德尔塔的绝对值之和是1。也就是，

+=1.0（7-3）德尔塔的用途在于它指出了模拟期权收益所要求的股票数量。例如，『对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权德尔塔的绝对值之和等于1.0。』这对美式期权来说不是完全精确的，但仍然是一个合理正确的启发探索的论据。例如，如果你知道看涨期权德尔塔是0.545，不管是欧式期权还是美式期权，看跌期权德尔塔的有效估计则是0.545–1.0=–0.455。在布莱克－斯科尔斯期权定价模型中，确定看涨期权德尔塔是一个简单的任务：它正好等于N(d1)。对于看涨期权，0≤德尔塔≤1.0，因为N(d1)，即正态分布曲线下的面积范围是从0到100%的。在第六章布莱克－斯科尔斯模型的假设一节的例子中，我们得到N(d1)，即期权德尔塔的值为0.5521。这意味着对于基础股票价格的一个很小的单位变化量，期权将会产生大约55%的变化。『对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权德尔塔的绝对值之和等于1图7－1分别对平价期权、虚值期权以及实值期权的期权德尔塔是如何随着时间的推移而变化进行了展示。对于平价期权，德尔塔的下降是近似线性的直到期权有效期最后一个月左右，在到期日德尔塔接近0.5。随时间的推移，虚值期权的德尔塔接近零，而且随时间推移德尔塔下降得更快一些。时间越少意味着期权将以虚值期权结束的可能性越小。期权溢价最终下降到零并停留在那里，由此得到的delta值为零。随着到期日的接近，实值期权象股票本身那样所起的作用越来越大。这些期权的delta值随时间推移而上升，在到期日接近1.0。图7－1分别对平价期权、虚值期权以及实值期权的期权德尔塔是如德尔塔作为时间函数

图7－1德尔塔作为时间函数S=$50，=.35，r=5%，K=40,50和60。德尔塔作为时间函数图7－1德尔塔作为时间函数S=$套期保值比率德尔塔是套期保值比率。这个值指出需要多少单位的特定期权来模仿基础资产的收益。图7－2表明德尔塔是如何随着看涨期权的实值或虚值变化而变化的。假设某特定看涨期权德尔塔为0.250。一个空头期权头寸（出售的期权）德尔塔的符号与多头期权头寸相反。这意味着如果某人拥有100股股票，出售四份这样的看涨期权合约在理论上可以对股价的小幅度变化进行一个完美的套期保值。套期保值比率德尔塔是套期保值比率。这个值指出需要多少单位的变为实值期权的可能性德尔塔的最后一个用途就是作为某期权在期权到期日处于实值的可能性的天然衡量指标。如果一个期权德尔塔为0.45，则有大约45%的可能在到期日股价高于期权的执行价格。在布莱克－斯科尔斯模型的发展中我们看到用来衡量执行看涨期权的可能性的实际上是N(d2)，而不是N(d1)。你必须通过计算，才能知道N(d2)的值，因为极少公布该统计量也极少能够从互联网上获得该统计量。但是，N(d1)是德尔塔统计量，并且可以通过很多便利的信息渠道获得这个值。确定N(d2)的不便造成了运用德尔塔作为替代。Baz和Strong（1997）在一个研究项目中测量了这个统计量的精确性，发表在《金融实践与教育》上。对于以不稳定的股票为标的的长期近似平价期权，这个启发式是最不准确。在众多其它情况下，看涨期权德尔塔对执行期权的概率夸大了几个百分点。变为实值期权的可能性德尔塔的最后一个用途就是作为某期权在期权期权的希腊字[最牛员工激励理论]课件斯尔塔（THETA）斯尔塔是用来衡量看涨期权对于剩余到期时间敏感度的衡量指标。

（7－4）（7－5）

在数学上，斯而塔是大于零的，因为距离到期时间越长意味着期权的时间价值越大。我们知道，如果其它方面不变，随着到期日的临近期权的价值越来越小。然而，因为距离到期时间只能变得越来越短，所以期权交易者通常将德尔塔想象成为一个负数。时间推移对多头期权头寸的持有者不利，因此将多头看涨期权或多头看跌期权德尔塔看作一个负数意味着斯尔塔指出了单独归因于时间推移的期权费的下降（也就是损失）。相反地，时间推移有利于期权出售者，因此对于空头看涨期权或空头看跌期权，斯尔塔是一个正数，体现了期权出售者的获利。公式7－6和7－7说明如何计算看涨期权和看跌期权斯尔塔。

(7－6)

(7－7)斯尔塔（THETA）这些公式确定了每年的斯尔塔。若知道每日的斯尔塔则会更加便利，因为该值指出了期权价格是如何随着每一天的推移而发生变化的，并且更容易解释说明。按照0.25的波动率和5%的无风险利率，一个90天执行价格为$45的平价期权的理论价值应为$2.49，斯尔塔值为–5.58。这意味着在一年的过程中它将损失$5.58的时间价值。这不是一个特别有益的信息因为期权费比这个金额的一半还要少并且在三个月后就要到期。将$5.58除以365得到大约$0.015，这个结果是富有意义的。这意味着如果你持有该期权一天，现在期权将损失大约2美分的时间价值。如持有10天，将损失大约15美分。回忆在第4章里时间价值衰退的讨论。随着到期日的临近时间价值开始退化的更快。对于这个期权，在剩余时间为29天时斯尔塔的值是$0.03；剩余时间是10天时的斯尔塔为$0.04；而在最后一周开始时是$0.06。这些公式确定了每年的斯尔塔。若知道每日的斯尔塔则会更加便利，伽马（GAMMA）伽马是期权费关于股票价格的二阶导数和德尔塔关于股票价格的一阶导数。伽马有时被称作曲率。

=

=（7－8）

=

=（7－9）『德尔塔随着股票价格的变动而变动。』当看涨期权变得更具有实值的时候，如同股票本身一样，期权也开始增长。考虑一个限定的例子，看涨期权执行价格为零，基础股票不支付股息。这样一个证券会运转的几乎同股票一样，因为它是一个等价权利。对虚值期权来说，期权价格对相应的基础股票的变动的敏感性较小。这意味着一个期权的德尔塔值会随着基础股票价格的变化而发生变化。如果你回想一下在BSOPM中确定N(d1)中的变量时，这种关系就有了意义；当股票价格变化时德尔塔值发生变化。伽马（GAMMA）伽马是期权费关于股票价格的二阶导数和德尔伽马的一个用途就是衡量随着股票价格的变化和时间的推移，隔多长时间需要对期权组合进行调整。伽马接近于零的期权，其德尔塔值对股票价格变化不特别敏感，因而更加稳定。公式（7－10）展示了如何计算伽马。

==（7－10）『给定执行价格和到期日，看涨期权的伽马等于相应的看跌期权的伽马。』当期权是平价期权并且接近到期日时，伽马达到最大值。注意：对于给定执行价格和到期日，看涨期权的伽马值等于看跌期权的伽马值。伽马的一个用途就是衡量随着股票价格的变化和时间的推移，隔多长符号关系你应记住表7－1中基本期权头寸的德尔塔、伽马，和斯尔塔的符号。『伽马的符号总是与斯尔塔的符号相反。』对于给定的期权头寸，记住伽马符号的最容易的方法是认识到，伽马的符号永远与斯尔塔的符号相反。

德尔塔斯尔塔伽马表7－1符号的关系多头看涨期权＋－＋多头看跌期权－－＋空头看涨期权－＋－符号关系你应记住表7－1中基本期权头寸的德尔塔、伽马，和斯尔多头期权头寸的伽马值是正的。伽马值为正数的投资组合随着基础价格的上升（也就是德尔塔的增长）而变得更加牛市，或者随价格下降（德尔塔下降）而更加熊市。与此相反，空头头寸的德尔塔值为负数。多头期权头寸的伽马值是正的。伽马值为正数的投资组合随着基础价【今日衍生产品】监制杠杆比率BernieSchaeffer，夏尔佛投资研究会的主席和《期权顾问》的作者，认为大多数的期权投机者通过选择有很小德尔塔和很大杠杆的期权“围着篱笆转（swingforthefences）”。正如我们所看到的，德尔塔是用来衡量当基础资产的价格变化1美元时期权的价格会变化多少的。你可以通过杠杆比率来衡量期权的杠杆作用：股票价格×期权德尔塔杠杆比率=（7-11）期权价格公式表明当你有一个高价股票和低价期权时杠杆作用最大。Schaeffer解释说：“我发现当杠杆比率比10大很多时，除极少数的情况外，股票在期权到期之前通常没有足够的时间变动到执行价格之上。“实际上，期权交易新手倾向于购买便宜的虚值期权，同时投入很少的风险资金而承担着很高的所购买的期权到期失效的可能性。Schaeffer反而认为杠杆比率在3~10之间的期权可以为风险和潜在收益提供最好的平衡。

【今日衍生产品】其它衍生产品到目前为止，德尔塔、伽马，和斯尔塔是BSOPM中最重要的衍生产品。然而，还有其它的衍生产品，纵使它们很少影响决策，期权专业人员也应该对此加以熟悉。其它衍生产品到目前为止，德尔塔、伽马，和斯尔塔是B维伽是BSOPM与基础资产波动率相关的一阶导数。所有的多头期权的维伽都是正数。

（7－12）（7－13）据我所知，没有人知道维伽一词从何而来。维伽是天琴星座中的阿法星，并且是二十颗最亮的星星之一。维伽不是希腊字母（尽管许多期权族认为它是），而金融圈里的人总是偏好希腊字母。可能正是这个原因，维伽也被称作凯泊（kappa），有时也被称作莱姆达（lambda），这两个都是希腊字母。维伽是BSOPM与基础资产波动率相关的一阶导数。所有的多头期对多头看涨期权和多头看跌期权，维伽都是正的。如果其它方面保持不变，基础资产的预计波动率越高，期权的价值越高。如果期权的维伽是0.3，那么相应基础资产的预计波动率每增长一个百分点，该期权会获利0.30%。对于看跌期权和看涨期权，维伽是一样的。维伽的公式：

（7－14）对多头看涨期权和多头看跌期权，维伽都是正的。如果其它方面保持糅（RHO）糅是BSOPM关于无风险利率的一阶导数。公式7－15和7－16列明了糅的数学公式。（7－15）

（7－16）糅是衍生产品中最不重要的。除非期权的有效期特别长，利率的变化对期权费的影响是很有限的。正如在第六章中所说明的，对于看涨期权糅是正的；而对于看跌期权糅是负的。图7－3展示了这些不同的期权衍生产品是如何随股票价格／执行价格的变化而变化的。糅（RHO）糅是BSOPM关于无风险利率的一阶导数。公式7－维伽的希腊字母有两个衍生产品可以衡量维伽是如何变化的。Vomma是用来衡量维伽对隐含波动率变化的敏感性的指标。Vomma一词源自“伽马的波动率”。Vanna是用来衡量维伽对基础资产价格变动的敏感度的。在复杂的期权应用中这些变量可能很重要的，但对于典型的期权应用者来说这些不是很重要。维伽的希腊字母有两个衍生产品可以衡量维伽是如何变化的。Vom

伽马

斯尔塔维伽糅图7－3希腊字母的行为伽马图7－3其他方面还有可能得到一个BSOPM关于执行价格，或者变形的BSOPM关于股息收益的衍生产品。在实践中，这些统计量是没有多大用途的，我们很少计算它们。其他方面还有可能得到一个BSOPM关于执行价格，或者变形的B头寸衍生产品除了基础股票的股份以外一个投资组合通常包括几个不同的期权。例如，一个管理人员可能出售看涨期权用来获得收入，并且也购买看跌期权对下跌进行防护。不管期权头寸是旧还是新，每个投资组合的构成部分都有自己的德尔塔、斯尔塔，和伽马。某特定证券的德尔塔之和是头寸德尔塔。与此类似，伽马的总和是头寸伽马，而斯尔塔的总和则是头寸斯尔塔。头寸衍生产品除了基础股票的股份以外一个投资组合通常包括几个不一个例子图7－4解释说明了头寸衍生产品的概念。在这里，我们看到一个包含了10,000股股票，出售与其相对应的100份看涨期权合约，以及50个有担保的看跌期权的投资组合。作为结果的7,320的头寸德尔塔暗示着在市场风险上整个投资组合相当于7,320股的股票，或者非期权投资组合风险的73.2%。头寸斯尔塔为70意味着如果所有的其他变量保持不变，每过一天的时间该投资组合的价值就会增长$70。这是因为被出售的看涨期权价值的下跌将超过所购买的看跌期权时间价值的下降。记住：期权出售者希望时间的推移，而期权购买者则希望钟表转得慢一些。头寸伽马为–180的含义是不明显的，我们将在以后详细说明这一点。一个例子图7－4解释说明了头寸衍生产品的概念。在这里，我们看

头寸德尔塔头寸伽马头寸斯尔塔

7,320-18070

看涨期权

-2,140-265+90股票+10,00000股票$50看涨期权$40看跌期权德尔塔=1.0德尔塔=0.214德尔塔=-0.108伽马=0.0伽马=0.0265伽马=0.0169斯尔塔=0.0斯尔塔=-0.009斯尔塔=-0.004

多头10,000股股票空头100份合约多头

50份合约++看跌期权-540+85

-20图7－4头寸衍生产品

看涨期权-2,140为防止误解头寸衍生产品而作的说明『头寸衍生产品不断地变化着。』

期权衍生产品是动态的；它们随时间或任何其它基础变量的变化而变化。这意味着头寸衍生产品是连续地发生变化的。如果股票价格变化足够大，一个牛市投资组合（＞0）可能会突然变成熊市组合（＜0）。当许多不同的期权头寸出现在同一个投资组合中时，监控头寸衍生产品尤为重要。为防止误解头寸衍生产品而作的说明『头寸衍生产品不断地变化着。德尔塔中性在前面我们已经看到随着基础证券价格的变化，该证券期权在价值上并没有完全以同样的百分比发生变化。德尔塔是用来衡量相对于基础证券价格的一个既定的很小的变化，期权费的变化程度的。某些期权策略是以期权组合的初始德尔塔中性为依据的，其含义是包含在这些期权中的德尔塔组合净值必须为零。对于用同价对敲、异价对敲，和比率价差构建宽大头寸的机构交易者来说，德尔塔中性是一个重要的问题。德尔塔中性策略纯粹是一个波动率游戏。德尔塔中性在前面我们已经看到随着基础证券价格的变化，例如，如果基础资产价格暴涨或暴跌，那么购买了同价对敲组合期权的投机者就会赚钱。同价对敲是一个中性策略：它既不是牛市也不是熊市。但是，这与构成同价对敲组合期权的看涨期权和看跌期权的德尔塔的绝对值相等是不同的。因此，基础资产的价值上涨一定的百分比与下跌相等的百分比得到的结果不是正好相同的。这意味着除非你能适当地“加权”两类期权的相对比例，否则你的同价对敲组合期权头寸实际上可能不是中性的；它可能无意识地略微呈现为牛市或熊市。一个简短的例子可以帮助我们解释这种情况。例如，如果基础资产价格暴涨或暴跌，那么购买了同价对敲组合期权计算德尔塔套期保值比率假设一股票当前交易价为$44，评估该股票的年波动率为15%，国债收益率是6%，某期权交易商决定用$40看跌期权和$50看涨期权出售六个月期的异价对敲组合期权。两种期权的德尔塔不同，因此该交易商不会出售相等数量的看跌期权和看涨期权。为了找到适当的使用数量，有必要去计算每种期权的德尔塔并考虑它们的比率。从布莱克－斯科尔斯期权定价模型中我们知道，看涨期权德尔塔是N(d1)；看跌期权德尔塔是N(d1)－1。公式7－17列出了计算d1的关系式：（7－17）现在，我们可以计算每一个德尔塔。计算德尔塔套期保值比率假设一股票当前交易价为$44，评估该股50美元看涨期权：

40美元看跌期权：

50美元看涨期权：这两个德尔塔的比率是–0.11／0.19=–0.58。这表示通过每出售一个看跌期权就出售0.58个看涨期权的方法就能达到德尔塔中性。一个近似为德尔塔中性的组合是出售26份看跌期权合约和15份看涨期权合约。只要简单检验一下就会发现(–26)×100×(–0.11)+(–15)×100×0.19=1.00这在本质上与0是没有区别的。这两个德尔塔的比率是–0.11／0.19=–0.58。这表示为什么德尔塔中性很重要保持德尔塔中性的原因很简单：提倡德尔塔中性的策略就是你对市场未来前景的看法是中立的策略。你既不想有牛市头寸也不想有熊市头寸。考虑另一个例子。在前面的异价对敲组合期权中，该头寸包含了$40看跌期权和$50看涨期权。假设你用每类期权100份合约来构建异价对敲组合期权。如果我们用布莱克－斯科尔斯模型来估计这些期权的价格，会发现$50看涨期权会以单价为$0.47的价格出售，而$40看跌期权会以$0.26的价格出售。每一类期权出售100份合约获得的直接收益为

(47美元100)+(26美元100)=7,300美元。为什么德尔塔中性很重要现在假设股票上涨2%达到$44.88。BSOPM得出的看跌期权价格为$0.18；而看涨期权的价格为$0.66；总价值为$18100)+$66100=$8,400。由于你是出售了期权，因此你的头寸损失了$1,100。（在你出售头寸后，你希望它们的价值下跌。）反过来说，如果股票下跌2%到$43.12，预计的BSOPM看跌期权的价格为$0.37；看涨期权价格为$0.32；总价值为$37100)+($32100)=$6,900。在这种情况下，头寸下跌了$400。现在假设股票上涨2%达到$44.88。BSOPM得出的看跌期注意：在你的投资组合价值中，股票价格上涨2%不会产生与下跌2%一样的美元金额变化。其原因是初始头寸，空头100个看涨期权和空头100个看跌期权，并不是德尔塔中性。该空头异价对敲组合期权的头寸德尔塔是因为该头寸德尔塔小于零，所以空头100个$40看跌期权和100个$50看涨期权是一个熊市头寸。我们注意到当股票上涨2%时，投资组合价值的美元金额变化比股票下降同样百分比的美元金额变化要大。注意：在你的投资组合价值中，股票价格上涨2%不会产生与下跌2当然，期权只能以100股的倍数出售。这意味着不可能使德尔塔完全中性。对机构投资者或套利者来说，你可以做得非常接近它。对这些XYZ期权，一个近似的德尔塔中性组合是75个看涨期权和132个看跌期权。该头寸德尔塔是75×19.0+132×(－11.0)=–27。按这些数量出售看跌期权和看涨期权后，我们应该获得75×$47＋132×$26=$6,957。股票价格上涨2%导致期权组合价值变化到75×$66＋132×$18=$7,326。而下跌2%会产生75×$32＋132×$37=$7,284的价值。美元金额变化不是完全相等，但它们比各出售100个期权时更为接近。当然，期权只能以100股的倍数出售。这意味着不可能使德尔塔完期权的德尔塔会随着到期日的临近、股票价格的变化、波动率估计值的修正，或利率的改变而发生变化。如果有必要，有经验的期权交易商会不断地修正期权头寸以保持一个德尔塔中性头寸。为了保持这种德尔塔中性头寸，通常交易商甚至需要每天结清几份合约。伽马越接近于零，就越不需要经常这么做。期权的德尔塔会随着到期日的临近、股票价格的变化、波动率估计值两个市场：走向与震荡通常，我们对市场的看法开始于我们是牛市者还是熊市者。这是市场走向。可是，在期权应用中存在另一种考虑因素：我们期望预计的变动会多快发生。这是市场震荡。两个市场：走向与震荡通常，我们对市场的看法开市场走向德尔塔是测定市场走向的方向的。牛市投资者想要有一个正的头寸德尔塔，因为基础资产的价值增长会导致期权头寸价值的增长。多头基础资产头寸会有一个正的德尔塔值，就像多头看涨期权和空头看跌期权一样。熊市投机者想要一个负的头寸德尔塔。空头基础资产头寸、多头看跌期权，和空头看涨期权会产生负的德尔塔。市场走向德尔塔是测定市场走向的方向的。牛市投资者想要有一市场震荡速度市场不是股票投资者所关切的事，但对于期权投机者很重要。例如，出售看涨期权并购入看跌期权都是熊市策略；它们都有负数德尔塔。然而，如果你预计某股票的价值会有一个较大幅度的下跌，那么购买看跌期权一定会比出售看涨期权获得更多的利润，因为你从出售看涨期权中能获得的最大收益仅局限于期权费上。『在一个快速的市场中，伽马值为正的收益最好。在一个缓慢的市场里，伽马值为负的收益最好。』市场震荡速度市场不是股票投资者所关切的事，但对于期权投机者类似地，在一个快速上升的市场里你能从持有看涨期权或出售看跌期权中获利。同样，如果你出售看跌期权，那么你最大的收益仅限于期权收入上。在快速的、上升的市场里你打算购买看涨期权；在快速的、下跌的市场中你打算购买看跌期权。注意：这两个策略的伽马值都是正的。基本原理是：在快速的市场里你希望伽马值为正。同样的逻辑，在缓慢的市场中你希望得到一个负的伽马值。类似地，在一个快速上升的市场里你能从持有看涨期权或出售看跌期将市场走向与市场震荡结合假想，你在兼顾预计市场走向和市场震荡的框架里建立一个期权头寸。比如，假设某人认为市场是牛市，但不认为这种变动会很突然。相反地，对于这个可预见的未来他认为价格会逐渐上升。这个人是牛市者，因此恰当的走向位置是一个正的德尔塔值。缓慢的市场意味着伽马值是负数。什么期权策略与上述这些情况相符呢？表7－1表明正的德尔塔值源自多头看涨期权和空头看跌期权，而负的伽马值源自空头看涨期权和空头看跌期权。因此，出售看跌期权可能是最恰当的策略。表7－2列出了在不同的情况下恰当的策略。将市场走向与市场震荡结合假想，你在兼顾预计市场走向和市场震荡震荡市场

市场走向

下跌中立上涨＜0=0＞0缓慢出售看涨期权出售出售看跌期权＜0同价对敲中立出售看涨期权；购买看涨期权=0购买看跌期权价差出售看跌期权快速＞0购买看跌期权购买同价对敲购买看涨期权表7－2市场走向与震荡震荡市场尽管像表7－2这样的表格是有用的，但不能把它看作是真理。出售期权涉及到很大的潜在风险，在运用这样一个策略之前总是应该考虑这个事实。仅仅购买期权也是不可能总是获利的。一个人可以在很多不同的执行价格和到期日中进行选择，而它们的相对价值是大不相同的。尽管像表7－2这样的表格是有用的，但不能把它看作是真理。出售动态套期保值『投资组合需要定期地进行调整。』德尔塔取决于确定期权费的所有变量，其结果就是德尔塔值经常发生变化。因而，头寸德尔塔也会随着利率的变化、股价的变化、波动率期望值的变化，或投资组合成份的变化而发生变化。这表示需要定期地对投资组合进行调整（图7－5）。动态套期保值『投资组合需要定期地进行调整。』

头寸德尔塔时间流逝

新头寸德尔塔利率股票价格投资组合的构波动率期望发生变化发生变化成发生变化值发生变化图7－5投资组合调节时间流逝利率股票价格假设一投资组合包含某股票10,000股，售价为每股$55。利率为5%，波动率为0.24。还有一$50看跌期权将在88天以后到期，其德尔塔值为－0.167。假设你将股票同150份这样的看跌期权合约进行组合以防备股票价格下跌。在购买这些看跌期权后，头寸德尔塔变为

10000×1.0+15000×（–0.167）=7495第二天，股票下跌到$53。看跌期权的布莱克－斯科尔斯新德尔塔值是–0.256，因此头寸德尔塔变为

10000×1.0+15000×（–0.256）=6160假设一投资组合包含某股票10,000股，售价为每股$55。利一夜之间，由于看跌期权的德尔塔发生了变化，投资组合大大地减少了其牛市趋势。如果管理者想要维持约7,500的初始德尔塔风险，就有必要出售一些看跌期期权，因为这样会消除投资组合中的负德尔塔值。要出售的看跌期权的数量等于我们想要消除的德尔塔数值除以一个期权的德尔塔：(7,500－6,160)／0.256=5,234。出售大约52份看跌期权合约会保持初始的市场风险。『对于现金或期货头寸，你可以确信你的头寸会保持一样除非你做一些事情去改变它。但是，对于期权，你的价格和波动率赌注可以在规模甚至是方向上发生变化，即使你什么也没做。——ClarkHeston期货杂志』一夜之间，由于看跌期权的德尔塔发生了变化，投资组合大大地减少最小化德尔塔调整的成本出售期权会产生收益，但如果价格朝相反的方向变动则也包含巨大的潜在损失。购买期权需要现金支出，这是一个不利因素，但也会给期权购买者带来已知且有限的最大损失。有可能（通常在实践中）通过运用看涨期权和看跌期权使与调整相关的现金需求达到最小值的方法来调整投资组合的德尔塔。假设在七月份一个投资组合包含10,000股该种股票，投资组合管理者决定将市场风险减少一半，使头寸德尔塔为5,000。出于纳税或投资策略的考虑，将多余的股票全部卖掉是不切实际的。假设我们有表7－3所列出的信息。最小化德尔塔调整的成本出售期权会产生收益，但如果价格朝相反表7－3初始条件股票价格=$33距离9月份到期日的天数=66无风险利率=5%隐含波动率=0.31九月35看涨期权期权费=$1.06九月35看涨期权德尔塔=0.377九月30看跌期权期权费=$0.50九月30看跌期权德尔塔=-0.196表7－3我们可以建立一系列联立方程得到我们想要的头寸德尔塔，并使净现金流出为零。投资组合管理者决定出售大量的看涨期权用以支付所需的看跌期权。表7－4列明了必要的步骤。表7－5列出了头寸德尔塔和净头寸成本的结果。4,998.5的头寸德尔塔接近目标数字5,000；由出售看涨期权得到的收益与看跌期权成本相差$22美元。我们可以建立一系列联立方程得到我们想要的头寸德尔塔，并使净现表7－4联立方程设：C=看涨期权的数量

P=看跌期权的数量方程1：股票德尔塔-看涨期权德尔塔+看跌期权德尔塔=5,000

10,000-0.377C+(-0.196P)=5,000

(1)方程2：看跌期权价格–看涨期权收益=0

$0.50P-$1.06C=$0

(2)用方程(2)中的C解出P

0.50P=1.06C

(3)

P=1.06C／0.50

P=2.12C(4)

将方程(4)代入方程(1)中：

5,000-0.377C–0.196(2.12C)=0(5)5,000–0.377C–0.416C=0(6)5,000–0.793C=0(7)5,000=0.793C(8)C=5,000／0.793=6,305.17(9)将C代入方程(4)中：

P=2.12(6,305.17)=13,366.96(10)四舍五入整数合约：P=134份合约C=63份合约表7－4表7－5头寸德尔塔与头寸成本头寸德尔塔头寸德尔塔=4,998.5头寸成本净成本=$22表7－5头寸风险头寸风险是用期权进行无风险投资组合管理的一个重要方面，但常常被忽略。假设一期权投机商持有如表7－6所示的头寸。该集合投资组合的头寸德尔塔为–155，略微呈现熊市走势。但是，这并不意味着投机商希望市场急速下降。德尔塔是首要的衍生产品，但随着变量的变化的剧增，首要衍生产品的效用减少了。首先考虑如果市场通过一个“市场反冲”而很快升高，将会发生什么情况？所有看跌期权将变为零，因为股票价格上涨到看跌期权执行价格之上。你空头20看涨期权，并多头另外15个看涨期权，从而空头5份净看涨期权合约。此外，你多头10份股票，即1,000股。执行看涨期权后，你还剩下500股股票。在股价有较大上升期间，这是一个可接受的头寸。头寸风险头寸风险是用期权进行无风险投资组合管理的一个重要方

头寸合约头寸德尔塔头寸伽马头寸斯尔塔表7－6头寸风险35看涨期权-15-1203.0-33.6+13.540看涨期权+15615.047.1-15.045看涨期权-5-60.0-8.12.5看涨期权总计-5-648.05.41.030看跌期权10-18.03.6-1.035看跌期权-20396.0-44.820.040看跌期权15-885.047.1-10.0看跌期权总计5-507.05.99.0股票101000.00.00.0总数之和-155.011.310.0初始条件：=0.22，S=38。头寸倘若市场坠落又会怎样呢？所有的看涨期权变成零，而你还剩下5份多头合约的净看跌期权头寸。这些看跌期权会为你的500股股票提供担保，而另外的500股则没有。这是不好的。尽管你的头寸德尔塔是负数，但如果市场自由地下跌你将受到损害。表7－7展示了不同股票价格下的投资组合价值。（这些是在假设价格变化不是随时间的推移而是瞬间的前提下的布莱克－斯科尔斯理论价格。）图7－6展示了盈亏关系的一般形式。假设完全按照布莱克－斯科尔斯模型为期权定价，在初始情形股票价格为$38时的利润为零。负头寸德尔塔表示如果价格下跌就会产生利润，因此如果股票价格下跌则曲线进入盈利区域。但是，如果股票下跌太多，曲线将翻转向下，这表明有可能遭受巨大的损失。另一方面，如果股票价格适度上涨，那么就会发生亏损；但如果股价确实高涨，那么头寸德尔塔就会变成正值，该头寸会盈利。倘若市场坠落又会怎样呢？所有的看涨期权变成零，而你还剩下5份期权的希腊字[最牛员工激励理论]课件图7－6头寸风险

盈利当前价格$31$38$43

亏损图7－6头寸风险概念背后的要领是：期权衍生产品对基础资产价格的剧烈变动不是特别有用。期权专家需要知道与期权相关的世界末日假想。头寸风险概念背后的要领是：期权衍生产品对基础资产价格的剧烈变小结德尔塔是用来衡量相对于基础资产价值的微小变化期权价格会发生怎样的变化的。许多期权策略是建立在德尔塔中性之上的，这就意味着由数目不等的期权组成的期权策略，他们德尔塔的加权平均数为零。场外交易期权的经销商们出售德尔塔中性产品。同价对敲组合期权与异价对敲组合期权是重要的一揽子德尔塔中性期权。德尔塔会随着时间的流逝而变化，这就迫使我们为了保持德尔塔中性而经常做一些调整。斯尔塔是用来衡量期权的价值是如何随着时间的流逝而改变的。多头期权头寸的斯尔塔值是负的，因为期权是损耗资产。空头期权头寸的斯尔塔值是正的，因为时间的流逝对期权出售者有利，期权出售者希望期权到期失效。小结德尔塔是用来衡量相对于基础资产价值的微小变化期权价伽马是用来衡量德尔塔是如何随着基础资产价格的变化而变化的。负伽马值可能引发很严重的后果，因为较大的市场变动会严重损害伽马值为负的期权头寸。伽马的符号总是与斯尔塔德相反。投资组合的所有德尔塔之和就是头寸德尔塔。同样地，可以计算出投资组合的头寸斯尔塔或者头寸伽马。所有的期权衍生产品都会随着基础条件的变化而迅速地改变。正因为这个原因，随着时间的流逝和基础资产价值的变化，我们有必要“调整”期权头寸。伽马是用来衡量德尔塔是如何随着基础资产价格的变化而变化的。负第一个衍生产品衡量基础资产相对较小的变动最精确。因此，期权交易商们特别关注用来衡量“世界末日”波动结果的头寸风险。世界末日波动是指市场暴涨或暴跌。敏锐的分析家给出了基础资产大幅度变动的因果关系，而这里面可能不包括德尔塔。维伽和糅是相对较不重要的BSOPM衍生产品，它们很少会影响到管理决策。第一个衍生产品衡量基础资产相对较小的变动最精确。因此，期权交第七章期权的希腊字母第七章期权的希腊字母本章出现的关键术语：德尔塔（）德尔塔中性市场走向伽马（）套期保值比率凯泊（）莱姆达（）头寸德尔塔头寸伽马头寸风险头寸斯尔塔（）糅（）市场震荡斯尔塔（）维伽不将死王棋的战术策略会导致非预期的后果。

——

GaryKasparov国际象棋世界冠军本章出现的关键术语：德尔塔（）德尔塔中性市场上一章表明了布莱克－斯科尔斯期权定价模型在确定看跌或看涨期权的价值中的作用。德尔塔、伽马、斯尔塔、维伽，和糅是布莱克－斯科尔斯期权定价模型的偏导数，它们每一个都对应一个变量。尤其德尔塔、伽马和斯尔塔是现代投资组合风险管理的核心。在这些数值中，德尔塔是最著名的，也是用途最多的。上一章表明了布莱克－斯科尔斯期权定价模型在确定看跌或看涨期权主要的期权定价衍生产品德尔塔（DELTA）当期权交易商或分析员聚在一起的时候，几乎可以肯定会在他们的谈话中听到有人使用德尔塔这个词。德尔塔是布莱克－斯科尔斯模型的一个重要的副产品，它为那些在投资组合中使用期权的人提供特别有用的信息。德尔塔有三种常见用途。主要的期权定价衍生产品德尔塔（DELTA）衡量期权的敏感性尔塔的数学定义是，在其它情况保持不变的情况下，与股票价格一个很小的变化相对应的预计的期权费的变化量。对于看涨期权，使用符号，

=（7－1）其中，是看涨期权费（C）相对于股票价格（S）的偏导数。同样，看跌期权德尔塔是看跌期权费（P）相对于股票价格的偏导数：

=（7－2）衡量期权的敏感性尔塔的数学定义是，在其它情况保持不变的情况德尔塔的用途在于它指出了模拟期权收益所要求的股票数量。例如，一个德尔塔为0.75的看涨期权意味着它所起的作用如同0.75股股票。如果股票价格上涨$1，看涨期权将提高75美分。一个德尔塔为–0.75的看跌期权意味着如果股票上升$1看跌期权将下降75美分。对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权的德尔塔的绝对值之和是1。也就是，

+=1.0（7-3）德尔塔的用途在于它指出了模拟期权收益所要求的股票数量。例如，『对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权德尔塔的绝对值之和等于1.0。』这对美式期权来说不是完全精确的，但仍然是一个合理正确的启发探索的论据。例如，如果你知道看涨期权德尔塔是0.545，不管是欧式期权还是美式期权，看跌期权德尔塔的有效估计则是0.545–1.0=–0.455。在布莱克－斯科尔斯期权定价模型中，确定看涨期权德尔塔是一个简单的任务：它正好等于N(d1)。对于看涨期权，0≤德尔塔≤1.0，因为N(d1)，即正态分布曲线下的面积范围是从0到100%的。在第六章布莱克－斯科尔斯模型的假设一节的例子中，我们得到N(d1)，即期权德尔塔的值为0.5521。这意味着对于基础股票价格的一个很小的单位变化量，期权将会产生大约55%的变化。『对欧式期权来说，看跌期权和看涨期权德尔塔的绝对值之和等于1图7－1分别对平价期权、虚值期权以及实值期权的期权德尔塔是如何随着时间的推移而变化进行了展示。对于平价期权，德尔塔的下降是近似线性的直到期权有效期最后一个月左右，在到期日德尔塔接近0.5。随时间的推移，虚值期权的德尔塔接近零，而且随时间推移德尔塔下降得更快一些。时间越少意味着期权将以虚值期权结束的可能性越小。期权溢价最终下降到零并停留在那里，由此得到的delta值为零。随着到期日的接近，实值期权象股票本身那样所起的作用越来越大。这些期权的delta值随时间推移而上升，在到期日接近1.0。图7－1分别对平价期权、虚值期权以及实值期权的期权德尔塔是如德尔塔作为时间函数

图7－1德尔塔作为时间函数S=$50，=.35，r=5%，K=40,50和60。德尔塔作为时间函数图7－1德尔塔作为时间函数S=$套期保值比率德尔塔是套期保值比率。这个值指出需要多少单位的特定期权来模仿基础资产的收益。图7－2表明德尔塔是如何随着看涨期权的实值或虚值变化而变化的。假设某特定看涨期权德尔塔为0.250。一个空头期权头寸（出售的期权）德尔塔的符号与多头期权头寸相反。这意味着如果某人拥有100股股票，出售四份这样的看涨期权合约在理论上可以对股价的小幅度变化进行一个完美的套期保值。套期保值比率德尔塔是套期保值比率。这个值指出需要多少单位的变为实值期权的可能性德尔塔的最后一个用途就是作为某期权在期权到期日处于实值的可能性的天然衡量指标。如果一个期权德尔塔为0.45，则有大约45%的可能在到期日股价高于期权的执行价格。在布莱克－斯科尔斯模型的发展中我们看到用来衡量执行看涨期权的可能性的实际上是N(d2)，而不是N(d1)。你必须通过计算，才能知道N(d2)的值，因为极少公布该统计量也极少能够从互联网上获得该统计量。但是，N(d1)是德尔塔统计量，并且可以通过很多便利的信息渠道获得这个值。确定N(d2)的不便造成了运用德尔塔作为替代。Baz和Strong（1997）在一个研究项目中测量了这个统计量的精确性，发表在《金融实践与教育》上。对于以不稳定的股票为标的的长期近似平价期权，这个启发式是最不准确。在众多其它情况下，看涨期权德尔塔对执行期权的概率夸大了几个百分点。变为实值期权的可能性德尔塔的最后一个用途就是作为某期权在期权期权的希腊字[最牛员工激励理论]课件斯尔塔（THETA）斯尔塔是用来衡量看涨期权对于剩余到期时间敏感度的衡量指标。

（7－4）（7－5）

在数学上，斯而塔是大于零的，因为距离到期时间越长意味着期权的时间价值越大。我们知道，如果其它方面不变，随着到期日的临近期权的价值越来越小。然而，因为距离到期时间只能变得越来越短，所以期权交易者通常将德尔塔想象成为一个负数。时间推移对多头期权头寸的持有者不利，因此将多头看涨期权或多头看跌期权德尔塔看作一个负数意味着斯尔塔指出了单独归因于时间推移的期权费的下降（也就是损失）。相反地，时间推移有利于期权出售者，因此对于空头看涨期权或空头看跌期权，斯尔塔是一个正数，体现了期权出售者的获利。公式7－6和7－7说明如何计算看涨期权和看跌期权斯尔塔。

(7－6)

(7－7)斯尔塔（THETA）这些公式确定了每年的斯尔塔。若知道每日的斯尔塔则会更加便利，因为该值指出了期权价格是如何随着每一天的推移而发生变化的，并且更容易解释说明。按照0.25的波动率和5%的无风险利率，一个90天执行价格为$45的平价期权的理论价值应为$2.49，斯尔塔值为–5.58。这意味着在一年的过程中它将损失$5.58的时间价值。这不是一个特别有益的信息因为期权费比这个金额的一半还要少并且在三个月后就要到期。将$5.58除以365得到大约$0.015，这个结果是富有意义的。这意味着如果你持有该期权一天，现在期权将损失大约2美分的时间价值。如持有10天，将损失大约15美分。回忆在第4章里时间价值衰退的讨论。随着到期日的临近时间价值开始退化的更快。对于这个期权，在剩余时间为29天时斯尔塔的值是$0.03；剩余时间是10天时的斯尔塔为$0.04；而在最后一周开始时是$0.06。这些公式确定了每年的斯尔塔。若知道每日的斯尔塔则会更加便利，伽马（GAMMA）伽马是期权费关于股票价格的二阶导数和德尔塔关于股票价格的一阶导数。伽马有时被称作曲率。

=

=（7－8）

=

=（7－9）『德尔塔随着股票价格的变动而变动。』当看涨期权变得更具有实值的时候，如同股票本身一样，期权也开始增长。考虑一个限定的例子，看涨期权执行价格为零，基础股票不支付股息。这样一个证券会运转的几乎同股票一样，因为它是一个等价权利。对虚值期权来说，期权价格对相应的基础股票的变动的敏感性较小。这意味着一个期权的德尔塔值会随着基础股票价格的变化而发生变化。如果你回想一下在BSOPM中确定N(d1)中的变量时，这种关系就有了意义；当股票价格变化时德尔塔值发生变化。伽马（GAMMA）伽马是期权费关于股票价格的二阶导数和德尔伽马的一个用途就是衡量随着股票价格的变化和时间的推移，隔多长时间需要对期权组合进行调整。伽马接近于零的期权，其德尔塔值对股票价格变化不特别敏感，因而更加稳定。公式（7－10）展示了如何计算伽马。

==（7－10）『给定执行价格和到期日，看涨期权的伽马等于相应的看跌期权的伽马。』当期权是平价期权并且接近到期日时，伽马达到最大值。注意：对于给定执行价格和到期日，看涨期权的伽马值等于看跌期权的伽马值。伽马的一个用途就是衡量随着股票价格的变化和时间的推移，隔多长符号关系你应记住表7－1中基本期权头寸的德尔塔、伽马，和斯尔塔的符号。『伽马的符号总是与斯尔塔的符号相反。』对于给定的期权头寸，记住伽马符号的最容易的方法是认识到，伽马的符号永远与斯尔塔的符号相反。

德尔塔斯尔塔伽马表7－1符号的关系多头看涨期权＋－＋多头看跌期权－－＋空头看涨期权－＋－符号关系你应记住表7－1中基本期权头寸的德尔塔、伽马，和斯尔多头期权头寸的伽马值是正的。伽马值为正数的投资组合随着基础价格的上升（也就是德尔塔的增长）而变得更加牛市，或者随价格下降（德尔塔下降）而更加熊市。与此相反，空头头寸的德尔塔值为负数。多头期权头寸的伽马值是正的。伽马值为正数的投资组合随着基础价【今日衍生产品】监制杠杆比率BernieSchaeffer，夏尔佛投资研究会的主席和《期权顾问》的作者，认为大多数的期权投机者通过选择有很小德尔塔和很大杠杆的期权“围着篱笆转（swingforthefences）”。正如我们所看到的，德尔塔是用来衡量当基础资产的价格变化1美元时期权的价格会变化多少的。你可以通过杠杆比率来衡量期权的杠杆作用：股票价格×期权德尔塔杠杆比率=（7-11）期权价格公式表明当你有一个高价股票和低价期权时杠杆作用最大。Schaeffer解释说：“我发现当杠杆比率比10大很多时，除极少数的情况外，股票在期权到期之前通常没有足够的时间变动到执行价格之上。“实际上，期权交易新手倾向于购买便宜的虚值期权，同时投入很少的风险资金而承担着很高的所购买的期权到期失效的可能性。Schaeffer反而认为杠杆比率在3~10之间的期权可以为风险和潜在收益提供最好的平衡。

【今日衍生产品】其它衍生产品到目前为止，德尔塔、伽马，和斯尔塔是BSOPM中最重要的衍生产品。然而，还有其它的衍生产品，纵使它们很少影响决策，期权专业人员也应该对此加以熟悉。其它衍生产品到目前为止，德尔塔、伽马，和斯尔塔是B维伽是BSOPM与基础资产波动率相关的一阶导数。所有的多头期权的维伽都是正数。

（7－12）（7－13）据我所知，没有人知道维伽一词从何而来。维伽是天琴星座中的阿法星，并且是二十颗最亮的星星之一。维伽不是希腊字母（尽管许多期权族认为它是），而金融圈里的人总是偏好希腊字母。可能正是这个原因，维伽也被称作凯泊（kappa），有时也被称作莱姆达（lambda），这两个都是希腊字母。维伽是BSOPM与基础资产波动率相关的一阶导数。所有的多头期对多头看涨期权和多头看跌期权，维伽都是正的。如果其它方面保持不变，基础资产的预计波动率越高，期权的价值越高。如果期权的维伽是0.3，那么相应基础资产的预计波动率每增长一个百分点，该期权会获利0.30%。对于看跌期权和看涨期权，维伽是一样的。维伽的公式：

（7－14）对多头看涨期权和多头看跌期权，维伽都是正的。如果其它方面保持糅（RHO）糅是BSOPM关于无风险利率的一阶导数。公式7－15和7－16列明了糅的数学公式。（7－15）

（7－16）糅是衍生产品中最不重要的。除非期权的有效期特别长，利率的变化对期权费的影响是很有限的。正如在第六章中所说明的，对于看涨期权糅是正的；而对于看跌期权糅是负的。图7－3展示了这些不同的期权衍生产品是如何随股票价格／执行价格的变化而变化的。糅（RHO）糅是BSOPM关于无风险利率的一阶导数。公式7－维伽的希腊字母有两个衍生产品可以衡量维伽是如何变化的。Vomma是用来衡量维伽对隐含波动率变化的敏感性的指标。Vomma一词源自“伽马的波动率”。Vanna是用来衡量维伽对基础资产价格变动的敏感度的。在复杂的期权应用中这些变量可能很重要的，但对于典型的期权应用者来说这些不是很重要。维伽的希腊字母有两个衍生产品可以衡量维伽是如何变化的。Vom

伽马

斯尔塔维伽糅图7－3希腊字母的行为伽马图7－3其他方面还有可能得到一个BSOPM关于执行价格，或者变形的BSOPM关于股息收益的衍生产品。在实践中，这些统计量是没有多大用途的，我们很少计算它们。其他方面还有可能得到一个BSOPM关于执行价格，或者变形的B头寸衍生产品除了基础股票的股份以外一个投资组合通常包括几个不同的期权。例如，一个管理人员可能出售看涨期权用来获得收入，并且也购买看跌期权对下跌进行