2017中考复习-特殊四边形综合题

特殊四边形综合题1•如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PAQD，并过点Q作Q0丄BD,垂足为0,连接OA0P.〔1〕请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？〔2〕请判断OA、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；〔3〕在平移变换过程中，设y=&opb,BP=x〔0<x<2〕，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.2•在矩形ABCD中，/ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点〔其中EP<PD〕〔1〕如图1,假设点F在CD边上〔不与D重合〕，将/DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PDPF分别交射线DA于点H、G.①求证：PG=PF ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.(2)拓展：如图2,假设点F在CD的延长线上〔不与D重合〕，过点P作PG丄PF,交射线DA于点G,你认为〔1〕中DF、DGDP之间的数量关系是否仍然成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.3•正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BCDC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=aCF=b.〔1〕如图1,当/EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；〔2〕当厶AEF是直角三角形时，求a、b的值；〔3〕如图3,探索/EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.4•如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点M，N分别是边BC,CD上的动点〔不与点B，C,D重合〕,AM,AN分别交BD于点E,F,且/MAN始终保持45不变.〔1〕求证:〔2〕求证：AF丄FM;〔3〕请探索：在/MAN的旋转过程中，当/BAM等于多少度时，/FMN=ZBAM?写出你的探索结论，并加以证明.5•如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且/BFC=90.〔1〕当E为BC中点时，求证：△BCF^ADEC〔2〕当BE=2EC时，求EP的值；EC〔3〕设CE=1,BE=n作点C关于DE的对称点C',连结FC',AF,假设点C到AF的距离是工5求n的值.6•如图1,在菱形ABCD中，AB=6斤，tan/ABC=2点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t〔秒〕，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a〔a=BCD〕，得到对应线段CF.〔1〕求证：BE=DF〔2〕当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ;〔3〕如图2,连接BDEF、BD交ECEF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？〔4〕如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a〔a=BCD，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.GG7•四边形ABCD是菱形，AB=4,/ABC=60,/EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且/EAF=60°.〔1〕如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;〔2〕如图2,当点E是线段CB上任意一点时〔点E不与B、C重合〕,求证：BE=CF〔3〕如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/EAB=15时，求点F到BC的距离.8•如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.〔1〕求证：BG=AE〔2〕将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，〔如图②所示〕求证：BG丄GE设DG与AB交于点M，假设AG:AE=3:4,求」的值.9.如图①，在△ABC中，/BAC=90,AB=AC点E在AC上〔且不与点A,C重合〕，在厶ABC的外部作厶CED使/CED=90,DE=CE连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD连接AF.〔1〕请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；〔2〕将ACED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；〔3〕在图②的根底上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断〔2〕问中的结论是否发生变化？假设不变，结合图③写出证明过程；假设变化，请说明理由.10.如图〔1〕矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,/MPN=90将/MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB〔或AD〕于点E,PN交边AD〔或CD〕于点F,当PN旋转至PC处时，/MPN的旋转随即停止〔1〕特殊情形：如图〔2〕，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D,此时，△ABPs△PCD〔填：奎〞或〔2〕类比探究：如图〔3〕在旋转过程中，〒的值是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由；〔3〕拓展延伸：设AE=t,AEPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值.11•：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点〔点P不与点A、C重合〕，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点0为AC的中点.〔1〕当点P与点0重合时如图1，易证OE=OF〔不需证明〕〔2〕直线BP绕点B逆时针方向旋转，当/OFE=30时，如图2、图3的位置，猜测线段CF、AE、0E之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜测，并选择一种情况给予证明.12•如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE,DE〔1〕如图1，求证：△BCE^ADCE〔2〕如图2,延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB求证：DE±FG;正方形ABCD的边长为2,假设点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时,求线段DE的长〔直接写出结果，不必写出解答过程〕•13•如图1,在正方形ABCD内作/EAF=45,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH丄EF,垂足为H.〔1〕如图2,将厶ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.求证：△AGE^AAFE假设BE=2DF=3,求AH的长.〔2〕如图3,连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜测：线段BM,MN,ND之间有什么数量关系？并说明理由.14.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G,连接DG.〔1〕求证：四边形EFDG是菱形；〔2〕探究线段EGGF、AF之间的数量关系，并说明理由；〔3〕假设AG=6,EG=2□，求BE的长.15•如图1,△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CFBD丄CF成立.〔1〕当厶ABC绕点A逆时针旋转9〔0°v9<90,时，如图2,BD=CF成立吗？假设成立，请证明，假设不成立，请说明理由；〔2〕当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.求证：BD丄CF;当AB=2,AD=3二时，求线段DH的长.16.如图1,在矩形ABCD中，BC>AB,/BAD的平分线AF与BDBC分别交于点E、F,点O是BD的中点，直线OK//AF,交AD于点K,交BC于点G.〔1〕求证：①厶DO2ABOG;②AB+AK=BG〔2〕假设KD=KGBC=4-V2.求KD的长度；如图2,点P是线段KD上的动点〔不与点D、K重合〕，PM//DG交KG于点M,PN//KGV?交DG于点N,设PD=m当&PMN=_时，求m的值.17•正方形ABCDP为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC〔1〕如图1,假设点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC〔2〕假设点P在线段AB上.如图2,连接AC,当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；如图3,设AB=aBP=b,当EP平分/AEC时，求a：b及/AEC的度数.DD在四边形ABCD中，对角线ACBD相交于点0,设锐角/AOBa，将△DOC按逆时针方向旋转得到△DOC〔0°v旋转角v90°连接AC、BD,AC与BD相交于点M.〔1〕当四边形ABCD为矩形时，如图1.求证：△AOC^ABOD.〔2〕当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD如图2.猜测此时△AOC与厶BOD有何关系，证明你的猜测；探究AC与BD的数量关系以及/AMB与a的大小关系，并给予证明.菱形ABCD的边长为1,ZADC=60,等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F.〔1〕特殊发现：如图1,假设点E、F分别是边DCCB的中点，求证：菱形ABCD对角线ACBD的交点0即为等边厶AEF的外心；〔2〕假设点E、F始终分别在边DCCB上移动，记等边厶AEF的外心为P.①猜测验证：如图2,猜测△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图 3,当EF分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出丄一亠的值.DMDN在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上〔与点C，D不重合〕，连接AE，平移△ADE,使点D移动到点C,得到△BCF，过点F作FG丄BD于点G,连接AG,EG.〔1〕问题猜测：如图1,假设点E在线段CD上，试猜测AG与EG的数量关系是 ,位置关系是 ;〔2〕类比探究：如图2,假设点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜测〔1〕中的结论仍然成立，请你给出证明；〔3〕解决问题：假设点E在线段DC的延长线上，且/AGF=120,正方形ABCD的边长为2,请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度.如图，正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CDDA上，连接CF〔1〕求证：/HEANCGF〔2〕当AH二DG二时，求证：菱形EFGF为正方形；〔3〕设AH=x,DG=2x△FCG的面积为y,试求y的最大值.如图1，四边形ABCD中，AD//BC,AB丄BC,点E在边AB上，/DEC=90,且DE=EC〔1〕求证：△ADE^ABEC〔2〕假设AD=a,AE=b,DE=c请用图1证明勾股定理：a2+b2=$;〔3〕线段AB上另有一点F〔不与点E重合〕，且DF丄CF〔如图2〕，假设AD=2,BC=4,求EF的长.

EF的长.如图1,正方形ABCD中，AC是对角线，等腰RtACMN中，/CMN=90,CM=MN,点M在CD边上，连接AN,点E是AN的中点，连接BE.〔1〕假设CM=2,AB=6,求AE的值；〔2〕求证：2BE=ACCN;〔3〕当等腰RtACMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2,连接AN,点E是AN的中点，连接BE,延长NM交AC于点F.请探究线段BE、ACCN的数量关系，并证明你的结论.團1團1正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动，且DE=DF连接BF,作EH丄BF所在直线于点H,连接CH.〔1〕如图1,假设点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ;〔2〕如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，〔1〕中的结论是否成立？假设成立给出证明；假设不成立，说明理由；〔3〕如图3，当点E,F分别在射线DC,DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.阍1 阍1 郅 图7问题：如图〔1〕，点E、F分别在正方形ABCD的边BCCD上，/EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至厶ADG,从而发现EF=BEFD,请你利用图〔1〕证明上述结论.【类比引申】如图〔2〕，四边形ABCD中，/BAX90°,AB=AD,/B+ZD=180,点E、F分别在边BCCD上，那么当ZEAF与ZBAD满足 关系时，仍有EF=BEFD.【探究应用】如图〔3〕，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.AB=AD=80米，ZB=60°,ZADC=120,ZBAD=150,道路BCCD上分别有景点E、F，且AE丄AD,DF=40〔1〕米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长〔结果取整数，参考数据：1=1.41, ：=1.73〕如图1,正方形OABC与正方形ODEF放置在直线I上，连结AD、CF,此时AD=CFAD〔1〕正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF还相等吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由.〔2〕正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3,求证：AD丄CF.〔3〕在〔2〕小题的条件下，AD与OC的交点为G,当AO=3OD=t时，求线段CG的长.

27•如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，/BEF=90°,BE=EF连接PF,点P是FD的中点，连接PEPC.〔1〕如图1,当点E在CB边上时，求证：PE^CE〔2〕如图2,当点E在CB的延长线上时，线段PCCE有怎样的数量关系，写出你的猜测,圉⑵圉⑵：11//12〃13〃14,平行线11与12、12与13、13与14之间的距离分别为dl、d2、d3,且dl=Cb=1,d2=2.我们把四个顶点分别在11、12、13、14这四条平行线上的四边形称为格线四边形〞〔1〕如图1,正方形ABCD为格线四边形〞那么正方形ABCD的边长为 .〔2〕矩形ABCD为格线四边形〞其长：宽=2:1，求矩形ABCD的宽.〔3〕如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直?于点E,分别交12,14于点F,G.将/AEG绕点A顺时针旋转30°得到/AED〔如图2〕，点D在直线13上,以AD'为边在E'左侧作菱形AB'C',使B',C分别在直线12,14上，求菱形AB'C'的边长.正方形ABCD边长为4cm,点E,M分别是线段AC,CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F,过点M作MN丄DF于H,交AD于N.〔1〕如图1,假设点M与点C重合，求证：DF=MN;〔2〕如图2,假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以:<cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t〔t>0〕；当点F是边AB的中点时，求t的值；连结FM,FN,当t为何值时厶MNF是等腰三角形〔直接写出t值〕.，正方形ABCD中，/MAN=45,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CBDC〔或它们的延长线〕于点M、N,AH丄MN于点H.〔1〕如图①，当/MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ;〔2〕如图②，当/MAN绕点A旋转到BM^DN时，〔1〕中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；〔3〕如图③，/MAN=45,AH丄MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.特殊四边形综合题答案1•如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PAQD，并过点Q作Q0丄BD,垂足为0,连接OA0P.〔1〕请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？〔2〕请判断OA、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；〔3〕在平移变换过程中，设y=&opb,BP=x〔0<x<2〕，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.解：〔1〕四边形APQD为平行四边形；〔2〕0A=0P0A丄0P,理由如下：•••四边形ABCD是正方形，•••AB=BC=PQ/AB0=Z0BQ=4°，•••0Q丄BD， •••/PQ0=4°，•••/ABO=ZOBQ=ZPQ0=4°，二OB=OQ在厶AOB和厶OPQ中，FaPpc*ZABO=ZPQO冋二QO•••△AOB^APOQ〔SAS,•••OA=OP,/AOB=ZPOQ•••/AOP=ZB0Q=9°,•••OA丄OP;〔3〕如图，过0作OE丄BC于E.①如图1,当P点在B点右侧时，A DHP£C国1o那么BQ=x+2,OE^^,2...丫=丄x^L?x,即卩yd〔x+1〕2—丄,2 2 4 4又•••0<x<2,•••当x=2时，y有最大值为2;②如图2,当P点在B点左侧时，yJ_X一?x,即y=-丄〔X—1〕2丄,2 2 4 4又•••0<x<2,•••当x=1时，y有最大值为寺；综上所述，•当x=2时，y有最大值为2;2•在矩形ABCD中，/ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点〔其中EP<PD〕〔1〕如图1,假设点F在CD边上〔不与D重合〕，将/DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PDPF分别交射线DA于点H、G.①求证：PG=PF②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.〔2〕拓展：如图2,假设点F在CD的延长线上〔不与D重合〕，过点P作PG丄PF,交射线DA于点G,你认为〔1〕中DF、DGDP之间的数量关系是否仍然成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由./DPH=Z明；假设不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由./DPH=ZHPG,由旋转可知/GPF=/HPD=90及DE平分/ADC#△HPD为等腰直角三角形，即/DHP=ZPDF=45、PD=PH即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HP3ADPF知HD='「QP,HG=DF,根据DG_DF=D(+GH=DH即可得；〔2〕过点P作PH丄PD交射线DA于点H,先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PDHD=?DP,再证△HPG^^DPF可得HG=DF根据DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF羽DP.解：〔1〕①I/GPF=/HPD=90，/ADC=90,•••/GPH=ZFPD,•••DE平分/ADC,•••/PDF=ZADP=45,•••△HPD为等腰直角三角形,•••/DHP=/PDF=45,在厶HPG和厶DPF中,rZPHG=ZPDF•••*PH二印 ,•••△HPG^ADPF〔ASA〕,•••PG=PF②结论：DG+DF=:：DP,由①知,△HPD为等腰直角三角形,△HP3ADPF,•••HD=二DP,HG=DF•••HD=HGDG=DF+DG,•••DG+DF=：DP;〔2〕不成立,数量关系式应为：DG-DF=■:DP,•••PF丄PG,•••/GPF=/HPD=90,•••/GPH=ZFPD,•••DE平分/ADC,且在矩形ABCD中，/ADC=90,•••/HDP=ZEDC=45,得到△HPD为等腰直角三角形，•••/DHP=ZEDC=45,且PH=PDHD^DP,•••/GHP=ZFDP=180-45°135°,在厶HPG和厶DPF中,••rZGHP^ZFDPfH二PD•••△HPG^ADPF,•••HG=DF•••DH=DG-HG=DG-DF,•••DG-DF=!：DP.3•正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BCDC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=aCF=b.〔1〕如图1,当/EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；〔2〕当厶AEF是直角三角形时，求a、b的值；〔3〕如图3,探索/EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.【分析】〔1〕当/EAF被对角线AC平分时，易证△ACF^AACE因此CF=CE即a=b.〔2〕分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CP=8〔CEf4〕①,再用相似三角形得出4CF=CE:CE+4〕②，两式联立解方程组即可；〔3〕先判断出/AFD=/CEF再判断出AF=EF从而得到厶ADF^AFCE即可.解：〔1 四边形ABCD是正方形，•••/BCF=/DCE=90•AC是正方形ABCD的对角线，•••/ACB=/ACD=45,•••/ACF=ZACE•••/EAF被对角线AC平分，•••/CAFNCAE在厶ACF和厶ACE中，[ZACF=Z-ACEAC=AC,•••△ACF^AACE•••CE=CEvCE=aCF=b,•••a=b,•••△ACF^AACE•/AEFNAFE,vZEAF=45,•/AEF=ZAFE=67.5°,vCE=CFZECF=90,ZAEC=ZAFC=22.5,vZCAF=ZCAE=22.5,•ZCAE=ZCEA•CE=AC=4:■:,即：a=b=4j；〔2〕当厶AEF是直角三角形时，①当ZAFE=90时，•/AFD+ZCFE=90,vZCEI+ZCFE=90，ZAFD=ZCEFvZAFE=90，ZEAF=45,ZAEF=45=ZEAF•AF=EFfZADK^ZFCE在厶ADF和厶FCE中 町」一‘口由二EF•△ADF^AFCE•FC=AD=4CE=DF=C+FC=8•-a=8，b=4②当ZAEF=90时,同①的方法得，CF=4CE=8•••a=4,b=8.〔3〕ab=32,/BAG=ZAFC,vZBAC=45,/BAG+ZCAF=45,ZAFC+ZCAF=45,vZAFC+ZAEC=180—〔ZCFEVCEF-ZEAF=180-90°—45°45°,ZCAF=ZAEC,vZACF=ZACE=135,△ACF^AECA•二二…〒L,ECXCF=AC=2AB?=32--ab=32.〔不与点B,C,D重合〕，AM,AN分别交BD于点E,F,且ZMAN始终保持45°不变.AF_V2丽〔不与点B,C,D重合〕，AM,AN分别交BD于点E,F,且ZMAN始终保持45°不变.AF_V2丽=1-；〔1〕求证:〔2〕求证：AF丄〔2〕请探索：在ZMAN的旋转过程中，当ZBAM等于多少度时，ZFMN=ZBAM?写出你的探索结论，并加以证明.

5 M匕I【分析】〔1〕先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明/AFM=90,根据等腰直角三角形性质即可解决问题.〔2〕由〔1〕的结论即可证明.〔3〕由：AB、M、F四点共圆，推出/BAM=ZEFM,因为/BAM=ZFMN,所以/EFM=ZFMN,推出MN//BD,得到二」，推出BM=DN,再证明△ABM^AADN即可解决问题.CBCD〔1〕证明：•••四边形ABCD是正方形，•••/ABD=ZCBD=45,/ABC=90,vZMAN=4°,•••/MAF=ZMBE,•••A、B、M、F四点共圆，•••ZABM+ZAFM=180,•••ZAFM=90,ZFAM=ZFMA=45,AM=.?AF,•』=「〔2〕由〔1〕可知ZAFM=90,AF丄FM.〔3〕结论：ZBAM=22.5时，ZFMN=ZBAM且 D序 MS理由：vA、B、M、F四点共圆,ZBAM=ZEFM,vZBAM=ZFMN,ZEFM=ZFMN,

•••MN//BD,•••』二丄,TCB=DCCBCDCM=CN,MB=DN,在厶ABM和厶ADN中,〈ZABM=ZADI^90fr,[E![二DN△ABM^AADN,ZBAM=ZDAN,vZMAN=4°,ZBAM+ZDAN=45,ZBAM=22.5.〔2021?丽水〕如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且ZBFC=90.〔1〕当E为BC中点时，求证：△BCF^ADEC〔2〕当BE=2EC时，求丄的值；BC〔3〕设CE=1,BE=n作点C关于DE的对称点C',连结FC',AF,假设点C到AF的距离是厶,5求n求n的值.【分析】〔1〕由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF丄DE=EF由等腰三角形的性质得出ZFECZFCE证出CF=CE由ASA证明厶BCF^ADEC即可；〔2〕设CE=a那么BE=2aBC=3a证明△BCF^ADEC,得出对应边成比例」亠,得出ED2=6a2,HCeU由勾股定理得出DC=!a,即可得出结果；〔3〕过C作CHAF于点H,连接CC交EF于M,由直角三角形斜边上的中线性质得出ZFEC=CMF是矩形，得出FM=CH^卫,设EM=x,那么FC=FE=+^也,由勾股定理得出方程,解ZFCE证出ZADF=ZBCF由SAS证明△ADFCMF是矩形，得出FM=CH^卫,设EM=x,那么FC=FE=+^也,由勾股定理得出方程,解方程求出EM=^SL,FC=FE=10+"^；由〔2〕得：巫竺，把CE=1BE=n代入计算即可10 10 5 ECED得出n的值.〔1〕证明；•••在矩形ABCD中，/DCE=90,F是斜边DE的中点，•••CF=DE=EF2•••/FECKFCEvZBFC=90,E为BC中点，•••EF=EC-CF=CE<ZBFC=ZDCE在厶BCF和厶DEC中，让F*E ，tZFCB=ZDEC•••△BCF^ADEC：ASAJ;〔2〕解：设CE=a由BE=2CE得：BE=2aBC=3avCF是RtADCE斜边上的中线，•••CF—DE,2vZFECZFCEZBFCZDCE=90,解得：ED"=6c2由勾股定理得：DCVdEeC丿62aJ5a,CD.吕|\厉EC3a3'〔3〕解：过C作C'HAF于点H,连接CC交EF于M，如以下图:B £CvCF是RtADCE斜边上的中线,•••FC=FE=FD•••ZFECZFCE

•••四边形ABCD是矩形,•••AD//BC,AD=BC•••/ADF=ZCEF•••/ADF=ZBCF,I在厶ADF和ABCF中,ZADF^ZBCF,tDF=CF•••△ADF^ABCF〔SAS,:丄AFD=ZBFC=90°•••CH丄AF,C'CEF,/HFE=/C'H£C'MF=90•••四边形CMFI是矩形,FM=CH^^-,5 _设EM=x,贝UFC=FE=-k,5在RtAEMC和RtAFMC中,由勾股定理得：c£-em2=cF-fm2,解得:•••12-x2=〔解得:•••12-x2=〔〕2x='1，'•EM=由〔2〕得:「•…〕25 ,，或x=-—〔舍去〕，,fc=fe=i+' ；10SC_ED，把CE=1,BE=n代入上式计算得：CF=i：-,.〞2n+2V102/10• 210'解得：n=4.6•如图1,在菱形ABCD中,AB=6^,tan/ABC=2点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为t〔秒〕,将线段CE绕点C顺时针旋转个角a〔a=BCD〕,得到对应线段CF.〔1〕求证：BE=DF〔2〕当t=_6二+^秒时,DF的长度有最小值,最小值等于12 ;〔3〕如图2,连接BDEF、BD交ECEF于点P、Q,当t为何值时,△EPQ是直角三角形？〔4〕如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a〔a=BCD〕，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于〔2〕当点E运动至点E时，由DF=BE知此时DF最小，求得BE'、AE'即可得答案；〔3〕①/EQP=90时，由/ECFMBCDBC=DCEC=F〔得/BCP=/EQP=90,根据AB=CD=6Jtan/ABC=ta/ADC=2即可求得DE②/EPQ=90时，由菱形ABCD的对角线AC丄BD知EC与AC重合，可得DE=6云;〔4〕连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH丄AD于点巴证厶DCE^AGCF可得/3=/4=/仁/2,即卩GF//CD,从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6!，;再由/CGN=/DCN=/CNG知CN=CG=CD=6.，根据tan/ABC=tanZCGN=2可得GM=6.'l+12，由GF=DE=t^FM=t-61，—12，利用tan/FMH=tan/ABC=2即可得FH.解:〔1:v/ECF/BCD,即/BCE■/DCE/DCF+/DCE•••/DCF=/BCEv四边形ABCD是菱形，•••DC=BC在厶DCF和厶BCE中，〞CF=CE•vZDCF二NBCE,CD=CB•••△DCF^ABCE〔SAS,•••DF=BE〔2〕如图1,当点E运动至点E时，DF=BE,此时DF最小,在RtAABE中，AB=^,tan/ABC=tanZBAE=2•••设AE=x那么BE=2xAB=qx=6打，那么AE=6DE=6〒+6,DF=BE=12故答案为：6r^,12；〔3〕：CE=CF/CEQ<90°①当/EQP=90时，如图2①,v/ECF/BCD,BC=DCEC=FC/CBD=/CEFv/BPC=/EPQ/BCP=/EQP=90,vAB=CD=6n,tan/ABC=tanZADC=2DE=6,t=6秒；②当/EPQ=90时，如图2②,图2②v菱形ABCD的对角线AC丄BD,EC与AC重合，DE=6几，t=6-秒;〔4〕y&_t-12-2^55 5如图3,连接GF分别角直线AD、BC于点M、N,过点F作FH丄AD于点H,由〔1〕知/仁/2,又•••/1+ZDCE玄2+ZGCF•••/DCE=/GCF在厶DCE和厶GCF中，「ZDCE二ZGCF,bDC=GC•••△DCE^AGCF〔SAS,•••/3=Z4,vZ仁/3,/仁/2,•••/2=Z4,•••GF//CD,又vAH/BN,•••四边形CDMN是平行四边形,•••MN=CD=67,vZBCD=/DCG•••ZCGN=ZDCN=/CNG•••CN=CG=CD=6厂,vtanZABC=tarZCGN=2GN=12,GM=6「+12,vGF=DE=tFM=t-6□-12,vtanZFMH=tanZABC=2•••FH型!〔t-6亦-12〕，5即y昌It-12-昱叵7•四边形ABCD是菱形，AB=4,/ABC=60,/EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且/EAF=60°.〔1〕如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；〔2〕如图2,当点E是线段CB上任意一点时〔点E不与B、C重合〕,求证：BE=CF〔3〕如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/EAB=15时，求点F到BC的距离.【分析】〔1〕结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.〔2〕欲证明BE=CF只要证明厶BAE^ACAF即可.〔3〕过点A作AG丄BC于点G,过点F作FH丄EC于点H,根据FH=CF?cos30,因为CF=BE只要求出BE即可解决问题.〔1〕解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC,d« LIBE v图1•••四边形ABCD是菱形，/B=60°,•••AB=BC=CD=AD/B=ZD=60,•••△ABC,△ADC是等边三角形，•••/BAC=/DAC=60•••BE=EC•••/BAE=ZCAE=30,AE丄BC,•••/EAF=60,•••/CAF=ZDAF=30,•••AF丄CD,•••AE=AF〔菱形的高相等〕,

•••△AEF是等边三角形,•••AE=EF=AF(2)证明：如图2中,图2vZBAC=ZEAF=60图2vZBAC=ZEAF=60,•••/BAE=ZCAE在厶BAE和ACAF中,ZBAE=ZOTBA=AC,Zb^Zacf•••△BAE^ACAF,•••BE=CF〔3〕解：过点A作AG丄BC于点G,过点F作FH丄EC于点H,vZEAB=15,ZvZEAB=15,ZABC=60,•••ZAEB=45,在RT^AGB中，vZABC=60AB=4,BG=2,AG=2乙,在RT^AEG中，vZAEG=ZEAG=45,AG=GE=2:■,EB=EG-BG=2—2,•••△AEB^AAFC,•AE=AFEB=CF虫-2,在RT在RT^CHF中,vZHCF=180-ZBCD=60,CF=2--2,•••点F到BC的距离为3-迥8•如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.〔1〕求证：BG=AE〔2〕将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，〔如图②所示〕①求证：BG丄GE【分析】〔1〕如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD,再根据正方形的性质得/GDE=90，DG=DE那么可根据“SAS“^ABDG^AADE,于是得到BG=AE〔2〕①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到/仁/2=45°,再由△BDG^^ADE得到/3=72=45°,那么可得/BGE=90,所以BG丄GE;②设AG=3x那么AE=4x即GE=7x利用等腰直角三角形的性质得DG=]GE=Jx,由〔1〕的结论得BG=AE=4x那么根据勾股定理得AB=5x,接着由△ABD为等腰直角三角形得到74=45°,BD=AB=x,然后证明厶DBMs^DGB,贝U利用相似比可计算出 DM=x,所以2 2 14GM」…x，于是可计算出寻的值.I〔1〕证明：如图①,Gk5£> CE•••AD为等腰直角△ABC的高,AD=BD,•••四边形DEFG为正方形,7GDE=90,DG=DE在厶BDG和厶ADE中

■'BD=AD*ZBDG^ZADE,.DC；二DE•••△BD3AADE•••BG=AE〔2〕①证明：如图②,•••BG=AE〔2〕①证明：如图②,F•••四边形DEFG为正方形，•••△DEG为等腰直角三角形,•••/仁/2=45°,由〔1〕得厶•••/仁/2=45°,由〔1〕得厶BD3AADE•••/3=72=45°,•••/1+73=45°+45°=90°°即7BGE=90,•••BG丄GE②解：设AG=3x,贝UAE=4x即GE=7x•DGfJ,•••△BD3AADE二BG=AE=4x在RtABGA中,AB BG2AB BG2AG2 (4x)2(3x)25x,••••••△ABD为等腰直角三角形,•74=45°•74=45°,•••73=•••73=74,而7BDM=7GDB△DBMs^DGBBD:DG=DM:BD,△DBMs^DGBBD:DG=DM:BD,即一x:7/2 2S/2GM=DG-DM=—x— -—x=DM:x,解得DM—x,x,.4—|皿』--而2皿25'14如图①，在△ABC中，/BAC=90,AB=AC点E在AC上〔且不与点A,C重合〕，在厶ABC的外部作厶CED使/CED=90,DE=CE连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD连接AF.〔1〕请直接写出线段AF，AE的数量关系AF=YAE；〔2〕将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；〔3〕在图②的根底上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断〔2〕问中的结论是否发生变化？假设不变，结合图③写出证明过程；假设变化，请说明理由.【分析】〔1〕如图①中，结论：AF=LAE,只要证明厶AEF是等腰直角三角形即可.〔2〕如图②中，结论：AFWJAE,连接EF,DF交BC于K,先证明△EKF^AEDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可.〔3〕如图③中，结论不变，AF=】：AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明△EDF^AECA再证明△AEF是等腰直角三角形即可.解：〔1〕如图①中，结论：AF=^AE.AD理由：•••四边形ABFD是平行四边形,•••AB=DF•••AB=AC•••AC=DF•••DE=EC•••AE=EFvZDECKAEF=90,•••△AEF是等腰直角三角形,•••AF八AE.故答案为AF=】AE〔2〕如图②中，结论：AF==AE.理由：连接EF,DF交BC于Kv四边形ABFD是平行四边形,•••AB//DF,•••ZDKE=/ABC=45,•••EKF=180-ZDKE=135,EK=EDv/ADE=180-ZEDC=180-45°=135°,ZEKF=/ADEv/DKC=/C,DK=DCvDF=AB=ACKF=AD在厶EKFft^EDA中,1K=ED“ZEKF=ZADE,[KF二AD•••△EKF^AEDA•••EF=EA/KEF2AED,•••/FEA=ZBED=90,•••△AEF是等腰直角三角形,•••AF=EAE.〔3〕如图③中,结论不变,AF=：?AE.理由：连接EF,延长FD交AC于K.vZEDF=180-ZKDC-ZEDC=135-/KDC,/ACE=〔90°-ZKDC〕+ZDCE=135-ZKDC,•••ZEDF=ZACEvDF=ABAB=ACDF=AC在厶EDF和厶ECA中,rDF=ACZEDF=ZACE,L®=CE△EDF^AECAEF=EAZFED=/AECZFEA=ZDEC=90,•△AEF是等腰直角三角形,AF=“AE.如图〔1〕矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=90将ZMPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交AB〔或AD〕于点E,PN交边AD〔或CD〕于点F,当PN旋转至PC处时,ZMPN的旋转随即停止〔1〕特殊情形：如图〔2〕,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时,△ABPs△PCD〔填：奎〞或〔2〕类比探究：如图〔3〕在旋转过程中，二的值是否为定值？假设是，请求出该定值；假[PF设不是，请说明理由；〔3〕拓展延伸：设AE=t,AEPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值.A1■N/fVjFj nX俚 J一—3(E)P C Bp C圏18P C【分析】〔1〕根据矩形的性质找出/B=ZC=90,再通过角的计算得出/BAP=ZCPD由此即可得出△ABP^^PCD〔2〕过点F作FH丄PC于点H,根据矩形的性质以及角的计算找出/B=ZFHP=90、/BEP=/HPE由此即可得出△BE3AHPE,根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；〔3〕分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解.解：〔1四边形ABCD为矩形，•••/B=ZC=90，•••/BAP+ZBPA=90.vZMPN=9,,•••/BPA+ZCPD=90，•••ZBAP=ZCPD,•••△ABF^APCD故答案为：s.〔2〕是定值.如图3,过点F作FH丄PC于点H,•••矩形ABCD中，AB=2,•••/B=ZFHP=90,HF=AB=2•••/BPE+ZBEP=90.vZMPN=9°,•••/BPEnZHPE=90,•••ZBEP=/HPE•••△BEP^AHPE,〔3〔3〕分两种情况:①如图①如图3,当点E在AB上时，OWt<2.vAE=t,AB=2,BE=2-t.由〔2丨可知：△BEP^AHPE•型型，即缶斗HPPFHP25HP=4-2t.vAF=BH=PBBH=5-2t,S=S矩形ABHF—S\AEF—S\BEP-S\PHF-PH?FH=AB?AF-*AE?AF-寺BE?P--PH?FH=t2-4t+5〔OWt<2〕.当S=4.2时，t2-4t+5=4.2,解得：t=2±_v0WtW2,t=2——.；②如图4,当点E在AD上时，0WtW1,过点E作EK!BP于点K,•••AE=t,BP=1,•••PK=1-t.同理可证：△PKE^AFCP•••FC=2—2t.•••DF=CD-FC=2,DE=AD-AE=5-t,•••S=S矩形EKC-&EKP-sEDF-Spc=CD?DE■丄EK?K-=DE?DF■丄PC?FC爰—2t+5〔0<t<1〕.222当S=4.2时，t2-2t+5=4.2,解得：t=1土芈.5v0<t<1,•••t=1-——5综上所述：当点E在AB上时，S=F-4t+5:0<t<2〕，当S=4.2时，t=2-巻斥；当点E在AD上时，S=£-2t+5:0<t<1〕，当S=4.2时，t=1-一.〔2021?龙东地区〕：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点〔点P不与点A、C重合〕，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点O为AC的中占I八、、・〔1〕当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF〔不需证明〕〔2〕直线BP绕点B逆时针方向旋转，当/OFE=30时，如图2、图3的位置，猜测线段CF、〔2〕图2中的结论为：CF=OEAE,延长EO交CF于点G,只要证明厶EOA^AGOC△OFG是等边三角形，即可解决问题.图3中的结论为：CF=OEAE,延长E0交FC的延长线于点G,证明方法类似.解：〔1]vAE丄PB,CF丄BP,•••/AEO=/CFO=90,在厶AEO和△CFO中，rZAE0=ZCF0“ZAOE^ZCOF,抄二0C•••△AOE^ACOF,•••OE=OF〔2〕图2中的结论为：CF=OEAE.图3中的结论为：CF=OEAE如图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G,•••AE丄BP,CF丄BP,•••AE//CF,•••/EAO=/GCO,在厶EOA和厶GOC中，*AO=OC,kZAOE=ZOT•••△EOA^^GOC•••EO=GOAE=CG在RtAEFG中,tEO=OG•••OE=OF=GO•••/OFE=30,•••/OFG=90-30°60°,•••△OFG是等边三角形,•••OF=GFTOE=OF•••OE=FGTCF=FGCG,•••CF=OEAE.选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G,tAE丄BP,CF丄BP,•••AE//CF,•••/AEO=/G,在^AOE和^COG中,'ZAE0=ZG、ZAOE^ZGOC,出0二oc•••△AOE^ACOG•••OE=OGAE=CG在RtAEFG中，tOE=OG•••OE=OF=OGt/OFE=30,•••/OFG=90-30°60°,•••△OFG是等边三角形,•••OF=FGtOE=OF•••OE=FGtCF=FG-CQ•••CF=O-AE如图,在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点,连接BEDE.〔1〕如图1,求证：△BCE^ADCE〔2〕如图2,延长BE交直线CD于点F,G在直线AB上，且FG=FB求证：DEXFG;正方形ABCD的边长为2,假设点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时,求线段DE的长〔直接写出结果，不必写出解答过程〕•【分析】〔1〕利用判定定理〔SAS可证；〔2〕①利用〔1〕的结论与正方形的性质，只需证明/FDEnZDFG=90即可；②由DE丄FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求 DE的长.解：〔1 四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，•••/DCE=/BCECD=CB◎=« 〔已证〕在厶BCE与△DCE中，•ZDCE=ZBCE〔已证〕CE=CE 〔公共边〕•••△BCE^ADCE〔SAS.〔2【①证明：•••由〔1〕可知△BCE^ADCE•••/FDE=ZFBC又•••四边形ABCD是正方形，•••CD//AB,•••/DFG=/BGF,/CFB=/GBF,又•••FG=FB•••/FGB=/FBG•••/DFG=/CFB又•••/FCB=90,•••/CFBf/CBF=90,•••/EDF+/DFG=90,•••DEXFG②解：如以下图所示，> F1c1J8•••△BFG为等边三角形，:丄BFG=60,•••由〔1〕知/DFG=/CFB=60,在RtAFCB中，/FCB=90,•••FC=CBcot60，二DF=2-5 3又tDE丄FG,•••/FDE=ZFED=30,OD=OE在RtADFO中，OD=DF?cos30伍-1,•••DE=2〔二-1〕13•如图1,在正方形ABCD内作/EAF=45,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH丄EF,垂足为H.〔1〕如图2,将厶ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.求证：△AGE^AAFE假设BE=2DF=3,求AH的长.〔2〕如图3,连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜测：线段BM,MN,ND之间有什么数量关系？并说明理由.【分析】〔1〕①由旋转的性质可知：AF=AG/DAF=/BAG接下来在证明/GAE=/FAE然后依据SAS证明△GAE^AFAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH,GE=EF=5设正方形的边长为x,接下来，在RtAEFC中,依据勾股定理列方程求解即可；〔2〕将厶ABM逆时针旋转90°得厶ADM.在厶NMD中依据勾股定理可证明NM2=ND2+DM2,接下来证明△AMNANM,于的得到MN=NM,最后再由BM=DM证明即可.解：〔1〕①由旋转的性质可知：AF=AG/DAF=/BAG.•••四边形ABCD为正方形,:丄BAD=90.又•••/EAF=45,•••/BAE+ZDAF=45.•••/BAG+ZBAE=45.•••ZGAE=/FAEAG=AK在厶GAE和厶FAE中乜三弘匪ZFAE,,AE=AE△GAE^AFAE②•••△GAE^AFAEAB丄GE,AH丄EF,AB=AH,GE=EF=5设正方形的边长为x,贝UEC=x-2,FC=x-3.在RtAEFC中，由勾股定理得：EP=f6+EC，即〔x-2〕2+〔x-3〕2=25.解得：x=6.AB=6.AH=6.•••四边形ABCD为正方形，ZABD=ZADB=45.由旋转的性质可知：ZABM=ZADM=45°,BE=DM.ZNDM=90°.NM2=ND2+DM2.vZEAM=90；ZEAF=45,ZEAF=ZFAM=45：在厶AMN和AANM中，♦乂AN,tAN二AN△AMN◎△ANM.•MN=NM.又•••BM=DM,•••mn2=nd?+bm2.14.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G,连接DG.〔1〕求证：四边形EFDG是菱形；〔2〕探究线段EGGF、AF之间的数量关系，并说明理由；〔3〕假设AG=6,EG=2:求BE的长.【分析】〔1〕先依据翻折的性质和平行线的性质证明/DGF=/DFG从而得到GD=DF接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF〔2〕连接DE,交AF于点0•由菱形的性质可知GF丄DE,OG=OF丄GF,接下来，证明△DOFADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF于是可得到GE、AF、FG的数量关系；〔3〕过点G作GH丄DC,垂足为H.利用〔2〕的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH^AFAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可.解：〔1〕证明：：GE/DF,•••/EGF=/DFG•••由翻折的性质可知：GD=GEDF=EF/DGF=/EGF•••/DGF=/DFG.•••GD=DF•••DG=GE=DF=EF•••四边形EFDG为菱形.〔2〕EG」GF?AF理由：如图1所示：连接DE,交AF于点0.•••四边形EFDG为菱形，•••GF丄DE,OG=OUGF.2vZDOF=ZADF=90,/OFD=ZDFA•••△DOF^AADF.，即DF2=FO?AFAFDFvFO—GF,DF=EG•••EG=gf?af2〔3〕如图2所示：过点G作GH丄DC,垂足为H.VEG*GF?AFag=6,eg=2E,•••20#FG〔F&6〕,整理得：F&+6FG-40=0.解得：FG=4FG=-10〔舍去〕.vDF=GE=2口，AF=10,AD=.J：-=4~.vGH丄DC,AD丄DC,.GH//AD.•••△FGH^AFAD.GHTO前GH4••而诗，即砸冇..BE=AD-GH=4--SV5_12V55=515•如图1,△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CFBD丄CF成立.〔1〕当厶ABC绕点A逆时针旋转9〔0°v9<90,时，如图2,BD=CF成立吗？假设成立，请证明，假设不成立，请说明理由；〔2〕当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.求证：BD丄CF;当AB=2,AD=3二时，求线段DH的长.【分析】〔1〕根据旋