理论力学-11动量矩定理

1质点质点系动量定理：动量的改变外力（外力系主矢）若当质心C为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）2§11–1动量矩

§11–2动量矩定理

§11–3刚体定轴转动微分方程

§11–4质点系相对于质心的动量矩定理·

刚体平面运动微分方程

第十一章动量矩定理3动力学§11-1动量矩一、质点的动量矩(momentofmomentum)

质点对点O的动量矩：

质点对定点O的动量矩为矢量。动量矩：度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。xyzOABprLO4动力学正负号规定与力对轴矩的规定相同，对着轴看：顺时针为负，逆时针为正。单位：kg·ｍ2/s。质点对定轴z的动量矩为代数量。质点对轴z的动量矩：xyzOABprLOmvxyA'B'ggLz质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系5质系对轴z动量矩：动力学二、质点系的动量矩质系对点O动量矩：刚体动量矩计算：1．平动刚体

平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于作用在刚体质心的动量对该点（轴）的矩。OxyzMirimivim1v1m2v2rCC6

平面运动刚体对固定轴的动量矩，等于刚体随同质心平动的动量对该轴的动量矩与绕质心转动的动量矩之和。动力学

定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。2．定轴转动刚体刚体对z

轴的转动惯量3．平面运动刚体wzMirimivi(momentofinertia)

7动力学解：[例1]

滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑轮B：m2，R2，J2

；物体C：m3,v3

求系统对O轴的动量矩。C8§11-2动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有：左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。质点对固定点的动量矩定理。

动力学故：(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttoagivenpoint)

9将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:质点对固定轴的动量矩定理（质点动量矩定理的投影形式）。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。动力学质点的动量矩守恒10运动分析：动力学动量矩定理:解：将小球视为质点。受力分析:(受力图如图示)[例2]

单摆已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。FT11注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（一般规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：

在质点受有心力的作用时。质点绕某点（轴）转动的问题。动力学微幅摆动时，并令，则解微分方程,并代入初始条件则运动方程12

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而──质点系对固定点的动量矩定理动力学对质点系，有对质点Mi：13质点系对固定轴的动量矩定理:质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒

当时，常矢量。当时，常量。动力学将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得14解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。动力学由动量矩定理：[例3]

已知:aaFOxFOy运动分析：

v=r15猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为。动力学[例4]

已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）解：mAgmBgvB系统对O轴的动量矩守恒16

§11-3

刚体定轴转动微分方程代入质点系动量矩定理，有──刚体定轴转动微分方程解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。动力学定轴转动刚体:17

特殊情况：动力学刚体作匀速转动或保持静止。a=const刚体作匀变速转动。:刚体的转动惯量,是刚体转动惯性的度量。18[例5]

提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。动力学取轮A为研究对象：解:FTa119ω2a2F'Tv[例5]

提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。取轮B连同物体C为研究对象：动力学解:FTa120补充运动学条件：化简(1)

得：化简(2)

得：动力学ω2a2F'TvFTω1a121Oxyzx'y'z'ri'vir一、质点系相对质心的动量矩Cmi§11-4质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程动力学22Oxyzx'y'z'ri'rirCvir质点系相对定点O的动量矩与相对质心C的动量矩的关系：Cmi动力学23Oxyzx'y'z'ri'rirCvir二、质点系相对质心的动量矩定理Cmi动力学24动力学二、质点系相对质心的动量矩定理

质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于质点系的外力对质心的主矩。(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttothecenterofmass)

向过质心的平动轴投影：

质点系相对于过质心的平动轴的动量矩定理：质点系对过质心的平动轴的动量矩对时间的导数等于质点系的外力对该轴的主矩。25动力学质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。质点系对质心动量矩也有守恒问题：若外力对质心的主矩为零，则对质心的动量矩守恒。质点系相对于质心动量矩定理和对固定点的动量矩定理，具有完全相同的数学形式，而对于质心以外的其它动点（A），一般并不存在这种简单的关系。质点系对动点的动量矩定理26三、刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化为平面图形S在自身平面内的运动。平面图形S受力系作用，质心为C内。动力学取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为:

随质心C的平动（xC

,yC

→vC

→aC

）

绕质心C的转动（→→）质心运动定理：相对质心的动量矩定理：x'y'27投影形式:平面运动微分方程动力学jFNFfaCj28[例1]

质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f´，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。动力学解：取轮为研究对象。a运动分析：一般情况下轮作平面运动,根据平面运动微分方程：FNFfaCaj291．设接触面绝对光滑。动力学因为轮由静止开始运动，故＝0，轮沿斜面平动下滑。只滑不滚302．设接触面足够粗糙（轮作纯滚动）。动力学FNFfaCaj轮作纯滚动的条件：只滚不滑31动力学Ff

=

f´FN表明：当时，解答3适用；当时，解答2适用；当f=0

时,解答1适用。FNFfaCaj3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。32[例2]均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f

'，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象。动力学根据刚体平面运动微分方程补充方程：FfAFfBFNBFNA受力分析:运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。33将（4）式代入（1）、（2）两式，有将上述结果代入（3）式，有解得：动力学（1）（2）（3）（4）34动力学例3：一质量为m、长度为l的均质杆AC、其C端与质量为M、半径为r的均质圆盘B的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕A转动。初始时=0，杆的角速度为零，圆盘的角速度为0

。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。ACB0Mgmg解：以C为研究对象。CBCMgFCxFCy圆盘相对质心的动量矩守恒。FAxFAy35动力学例3：初始时=0，杆的角速度为零，圆盘的角速度为0

。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。ACBCMgmg以系统为研究对象。AvC36动力学例3：初始时=0，杆的角速度为零，圆盘的角速度为0

。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。ACBCMgmgFAxFAyAvC37一．基本概念1．动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2．质点的动量矩：3．质点系的动量矩：4．转动惯量：物体转动时惯性的度量。对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。

平行移轴定理。动力学动量矩定理小结385．刚体动量矩计算平动：定轴转动：平面运动：二．质点的动量矩定理及守恒

1．质点的动量矩定理2．质点的动量矩守恒若，则常矢量。若，则常量。动力学39三．质点系的动量矩定理及守恒

1．质点系的动量矩定理动力学2．质点系的动量矩守恒若，则常矢量若，则常量四．质点系相对质心的动量矩定理40五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

1．刚体定轴转动微分方程2．刚体平面运动微分方程或动力学41六.动量矩定理的应用

动力学已知运动，求外力或外力矩。已知外力矩是常力矩或时间的函数，求角速度或加角速度。已知对某轴外力矩等于零，应用动量矩守恒定理求角速度。注意事项：应用动量矩定理列方程时,要注意正负号规定的一致性。研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立运动学补充方程，找出质心速度与刚体转动角速度之间的关系。42[例4]

两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T形杆具有角速度=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。解：选T字型杆为研究对象。受力分析如图示。动力学由定轴转动微分方程FOyFOx43根据质心运动微分方程，得动力学FOyFOx44[例5]

均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求：