2022青浦区高三数学一模解析

青浦区高三一模数学解析一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.若全集U{1,2,3,4,5,6},M{1,3,4},N{2,3,4}，则集合ðU(MN) .【考点】集合MN34，所以ðU(MN)12,56.不等式1x1

1的解集是 .【考点】不等式【解析】由1x1

1得,

1x1x1

1x1x1

0x1x20。即解集为(,12).已知数列an等差数列，数列an的前5项和S520,a56，则a10 .【考点】等差数列【解析】因为数列aS5a20a

a5a31aa5d6511.n 5 3 3

2 10 5已知函数yf(x)的图像经过点(23),yfx)的反函数为yf1(x)，则函数 .【考点】反函数

yf1(x2)的图像必经过点【解析】因为函数yf(x)的图像经过点(23)，所以yf1(x经过点32，而yf1(x2)图像是由yf1(x向2yf1(x2)必经过点(52.(x1)9的二项式展开式中x3项的系数为 ;x【考点】二项式定理1r【解析】二项式展开式的通项公式：T

Crx9r

Crx92r，令92r3r3，所以x384xr1 9x

9一个圆锤的侧面展开图是圆心角为4，半径为18cm的扇形，则圆锤的母线与底面所成角的余弦值 ;3【考点】圆锥

18r12,cosr23 l 3F70yx1MNMN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程为 ;3【考点】圆锥曲线中点弦x2 y22 2 11 1【解析】设双曲线方程为

x ya2

1，

Mx1,y1,Nx2,y2

a2x2

7a2y2

22 1yyyy

7a2

yy

4

10 2

a2 7a2

x2y22 12 1 ，因为2

x

,y y

a

2，所以双曲线方程是 1xx

x a2

xx

2 1 3 2 1 3 2 52 1 2 1 2 1设向量ab的夹角为,ab的向量积”:b是一个向量它的模

b|

|b|sin,若a 3 1 1 3

|a |a|a2,2,b , ,则|ab| ; 2 2【考点】向量 |ab||a||b|sin， 3 3 1 13

ab 3 1因为a2,2,b , ，所以cos

2

，因为(0,)

，所以sin ，即2 2 2 1 1

|a||b||ab|11 .2 2把1,2,3,4,5这五个数随机地排成一列组成一个数列要求该数列恰好先递增后递减则这样的数列共有 个.【考点】排列组合【解析】因为该数列为先递增后递减，则5一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，(151453213542125431453214(25212543,13542,14532235412453134521有6(35312354,12453,1345223451414已知将函数y

的图使向右平移

个单位得到函数 2 y3sinxacosx(a0)的图像,则tan的值为 【考点】三角函数【解析】由已知得,y

,4 个单位后得到:y

, 2

4 9a2又因为y3sinxacosx9a2

sin(x a(a0)),tan 3 9a210 a9a210 所以

4

1a 4即tan tan

332tan2k

4 4 a 2 x2x3,x1

11x23 3x2 f(x x ,x1

,aRx的不等式f(x)

aRa的取值范 x围是 .【考点】函数恒成立x2【解析】因为f(x) a在R上恒成立，x2x x x所以f(x) 2

f(x)f(x)2

af(x) ， x2x3,x1因为f(x) 2 ，xx,x1x2x3,x1

x2x3,x1x 2 x 2所以f(x)23x 2 ,f(x)23x 2

x1

,x12 x

x

2 xx 47a472.

2,f(x)

1616 若数列：cos,cos2,cos4,,cos2n,中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为 _.【考点】三角函数cos2n0nN*均成立，1 12 7 7首先，反证法：假设 cos0，则cos22cos2121 ，即cos2，4 4 8 8cos42cos2212

88

1491170，即cos40，矛盾；32 32所以cos1.4其次，由上可知：对任意nN，均cos2n1,得cos2n1

3，4 2 432cos1，322 2 2 24 223故cos1 232122212

2122312

2 3122n12

1

2n

1，3

3

3

2 3 3即cos

2n123123

，n为任意自然数，cos10，故2k2

Z)3另一方面，当2k2(kZ)时,nN,有cos2n1.3n 2n1

22 1事实上,nN，有cos2cos3

，显然cos

.3 2假设cos

2k11

kN3 2k2

2k1

12 1则cos

cos2 12

1 .3 32n1

21

2 2由数学归纳法得到coscos2n10(nN).2

(nN)，即当3 2

2k

(kZ)时，33 2 3综上所述,实数

的取值集合为2k

,kZ.二.选择题（4520）下列条件中，能够确定一个平面的是（）A．两个点 B.三个点 C.一条线和一个点 D.两条相交直线【考点】平面的基本性质【解析】由公里2的推论，两条相交直线唯一确定一个平面，故选D.已知公差为d的等差数列n的前n项和Sn，则“Snnan0，对n,nN恒成立是“d0”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件n项和【解析】S

na1anna

n1an0a

0aa；n n 2 n 2

1 n 1 na1ann1nNa1a2d0，充分性成立；d0a1ann1nN恒成立，必要性成立，故选C.z为复数，则下列命题中不正确的是（）A．若zz，则z为实数 B.若z20，则z为纯虚数C．若z1z1，则z为纯虚数 D.若z31，则zz2【考点】复数的分类与运算2z=0时，满足z1z1zC.212从圆Cx2y24上的一点向圆C12何切点弦相交的区域面积为( )

:x2y21引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆C内不与任A. 6

4

D.3 2【考点】圆的切线方程和切点弦方程【解析】设C上的点坐标为x,y，则x2y24xxyy1，所以圆心到切点弦的距离为：1 0 0 0 0 0 0x2yx2y20 0

1Sd2，则圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为，故选B2 4 2 4三、解答题（576分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写🎧必要的步骤。ABCDA1B1C1D1AB2A1C1、C1B、A1BB1A1BC12P、Q分A1DAC的中点.ABCDA1B1C1D1的表面积；D1P与C1Q所成角的大小.【考点】表面积的计算；异面直线所成角（1）因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1，ABBCCD2V V

1S AB112BB22，

3 B1BC1 11 32 1所以BB13，故正四棱柱ABCDA1B1C1D12(222323)32；（2）又因为点P为A1D的中点，易知D1P//BC1所以QC1B即是直线D1P与C1Q所成的角或（为补角）13BC2,CC13BC1 ，132又因为底面是正方形，所以BQCQ ；211所以C1Q ，在BQC1中，cosQC1B11

C1B2BQ22C1QC1B

14313即QCBarccos143DP与CQ所成角的大小arccos1431 13 1 1 13f(x

3cos2x2sin3xsinx,xR.2 求f(x)的最小正周期及单调减区间；3已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c且f(A) ，a4，求BC边上的高的最大值.3【考点】三角函数【解析】（1）

fx

3cos2x2cosxsinx

3cos2xsin2x

，所以周期：T，单调减区间：2sin2x 32sin2x 12 bc3sin2A(2)由题意得： 3且A0,，求得A，而BC边上的高hbcsinAbc3sin2A 3 2 3 a 8 由余弦定理可得：a2b2c22bccosA16b2c2bc2bcbcbc，当且仅当bc时等号成立，所以3bc16h23v(公里/小时)控制在[60，120]范围内.v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为1vk4500k为常数，5 v k值不同，且满足中60k120.若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不9v的取值范围；求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【考点】函数的应用（1）由题意可得当v120时，1vk450011.5k100，5 v 由1vk45009v2145v4500045v100，5 v 由因为60v120，可得60v100，故汽车每小时的油耗不超过9升，车速v的取值范围是60,100.（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，则y1001vk45002020k90000(60v120)，v 5 v v v2 1 1 1

k2 k2令t

, ，则y90000t220kt2090000t

20 ，v 12060

9000

900对称轴t

，由60k120可得

,1，

9000k

9000,1，即75k120时，

150759000 12075k 9000 k2当t ，即v9000

k 时，ymin20900；若

1,1

60k75时，9000

150120当t

1，即v120时，y 105k，120

min 4 6因此，当k6075，汽车行驶100千米的油耗的最小值为105k；4 6k2k当k75,100，汽车行驶100千米的油耗的最小值为20 .900y2x.过抛物线焦点F的直线交抛物线于、B两点，求AB的值（其中O为坐标原点；过抛物线上一点C(x0,y0)，分别作两条直线交抛物线于另外两点P（xP,yP)Q(xQ,yQ)x1于A1(1,1)、B1(11)yPyQ为常数.D(1,1)DM、N,DMMNN点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.【考点】直线与抛物线，定值问题，存在性问题1 1 1

）焦点F(,0)，设过抛物线焦点的直线方程为xmy 4 4

A(x1,y1),B(x2,y2)y2x

1 1 1则 y2my 0yy

xx

(yy

)2xmy1 4

12

12 12 16 43则OAOBx1x2y1y216；0 （2）设Cy2y0 y21直线CA1:x0 (y1)1与抛物线y2y01

x联立得：(y1)y2(y21)yy(y1)0yy

y0(y01)y

y01；0 0 0 0 0P

y1

P y1y21直线CB1:x0 (y1)1与抛物线y2y01

0 0x联立得：(y1)y2(y21)yy(y1)0yy

y0(1y0)y

1y0，0 0 0 0 0Q

y1

Q 1yyy

0 0y011y01.P Q

11y0 0 （3）M(m2mN(n2n),则MDMN(1m2n2m21m)(nm)1mnm1mnm10，因为M、NDm1n1mn，因此nm1mnm1(1m)n2nm(m2m1)0，14m(m1)(m2m1)14m48m38m24m4m2m122m120mRm1，DM、NDMMN， m2m 1mnm10n (m1) 1,m1，n1[3)n3.2

m1

m1如果数列a每一项都是正数,且对任意不小于2的正整数n满足a2a a ,则称数列a具有性有M.n n n1n1 napqn、banb（p、q、a、b均为正实数）,判断数列abM,并说明理n n n n由;若数列anbnMcnanbn,证明:数列cn也具有性质;a2,x2ax10x、xaxnxnnN*,若

a1a2an

n1对任1 2 n 1 2

a a a2 3 n1nN*恒成立,a.【考点】数列综合【解析】(1)p、q、a、b都是正数,对于apqn,a0,a2p2q2n,