因式分解相关知识点整理

因式分解相关知识点整理【竞赛专用】因式分解的思路：“一提、二代、三分组”常用公式：。2b2=(a+b)(ab)(a土b)2=a2±2ab+b2a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3若n为正奇数，则an+bn=(a+b)(an1an2b+anb2□abn2+bn1)若n为正整数，则anbn=(ab)(an1+anb+anb2+□+abn2+bn1)应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。常用分组方法(注意：每组项数须平均分配)：按不同字母分组b.按不同字母的幂分组(幂次相近的放在一起)按不同项的系数分组注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况拆项与添项若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。可以配完全平方(配方法)5.十字相乘法(二次齐次式ax2++++bxy+cy2cdcd也可用此法分解，令y=1代入原式即可)Xaxbxadx例子：Xxx++23abx2abx2++bcx(ad+bc)x+cdx23x+2x+6X2+5*+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：ac1+2b^^f-d1+3补充一个结论:一若二次三项式ax+bx+c的系数和a+b+c=0，则a*+b*+c=(*1)(a*c)双十字相乘法（应用于形如ax2+bxy+a2+dy+纱+f的二元二次式，或者是形如ax2+bxy+cy2+dxz+eyz+fz2的三元齐次式.）把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可.换元法（略）余数定理（x、y的齐次式也可以采用同样的方法）f（x）=anxn+an1xn1+□+a1x+a0如果f（c）=0，那么（xc）是f（x）的因式，反过来，如果（xc）是f（x）的因式，那么f（c）=0.（证明过程略）p注：有理根c=-的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数an的因数.如果整系数多项式f（x）的系数为1.q=1，有理根都是整数根.^三个重要结论：（1）若多项式的系数和等于0，那么1是它的根，即（x1）是它的一次因式.（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么-1是它的根，即（x+1）是它的一次因式.（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的积.待定系数法设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可.轮换式与对称式两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）.基本轮换式一次齐次轮换式：l（x+y+z）二次齐次轮换式：l（x2+y2+z2）+m（xy+yz+zx）三次齐次轮换式：l（x+y+z）+m（xy+yz+zx）+m（xy+yz+zx）+kxyz这里，1、m、n、k都是待定常数

(1)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a(1)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)(2)a-^ib+c3abc=2(a+b+c)[(ab)2+(bc)2+(ca)2)(3)当a+b+c=0时，a+b+c=3abc3n+□+aix+ao(n（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式/3）=anx+an是正整数），一定有复数c使得f（c）=0.（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.]=（]=（4）1的立方虚根13i2，并且]=1，+d=〕，2+L1]（可将=〕代入在复数集内有n个n多项式，求得因式）次单位根，它们是在复数集内有n个n次单位根，它们是2HJ2HJ+isin=1nn七2Scos—+isin—（k=1,2口,n），苴中cosnn如果k与n互质，则COS=+isin=称为本原单位根.（6）分圆多项式：与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.分圆多项式在有理数集内不可约的.既约多项式相关知识（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823~1852）判别法设fx）=anx+ann]Xn+□+a1x+ao是整系数多项式如果存在一个质数P满足以下条件：P