不等式解法15种典型例题

不式法15典例典例一例1解等式）

2x

3

2

）

5)

2(2x)

0

．分析如多项式

f(x

可分解为

n

个一次式的积，则一元高次不式

f()

（或

f()

）可用“穿根法”求解，但要注处理好有重根的情况．解）原不等式可化为

xx把方程

xx

的三个根5,2

顺次标上数轴．然后从右上开画线顺次经过三个根，其集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为

52

或4)(x2(2)（）不式等价于x4)(xx

3

0∴原不等式解集为

说明用“穿根法”解不等式时注意：①各一次项中的数必为正；②对于偶或奇次重根可转化为不含重根的不等式也可直接用“穿根法意“奇穿偶不穿法如图典例二例2解列分式不等式）

3x

；（）

3x2

xx

分析当式不等式化为

(x)(x)

0(或0)

时，要注意它的等价变形①

(x)(x)

f(xx

；②

()()

f(x)x)(x)0（）：原不等式等价于3x3xx

x(x00(x2)(x(x2)(x2)编辑：王刚

时间：1．1．

((

xxx(2)(2)用“穿根法”∴原不等式解集为

（）法：原不等式等价于

2xx3x

x

2x2

或

11x或32

，∴原不等式解集为

11()(,1)32

。解法二：原不等式等价于xxxx

(2xx用“穿根法”∴原不等式解集

11()((2,3典例三例3解等式

x分析：此题的关是去绝对值符号，而去绝值符号有两种方法：一是根绝对值的意义

((

；二是根据绝对值的性质：

x,x

或

，因此本题有如下两种解法．解法：不等式或

x

或x2，即xxx∴

x

或

2

，故原不等式的解集为

解法：不等式等价于即2)编辑：王刚时间：

2)∴故1xx

．典例四例4解等式

xx

．分析这是个分式不等式，其左边是两个关于x二式的商由商的符号法则，它等价下列两个不等式组：或，所以原不等式的解集是上面两个不式级的解集的并集．也可用数轴标根求解．解法：不等式等价下面两不等式级的并集：或x

x5,或x或x2)(6)x6或x1或．原不等式解集是{x6}．解法：不等式化为(符号(2)(6)

(xx(x

．数，找因式根，分区间，定符号．∴原不等式解集是{x1或x6}说明解一要注意求个等价不等式组的解集是求每两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法中号”是关键．当个因式的数为正值，最右边区间一定是正值，其他各区间正负间；也可以先决定含０的间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用．典例五例5解等式

xx

x分析不式左右两边都是有的数式，必须先它们移到一边，使另一边为0再．解：项理，将原不等式化为

(2)((3)(

．由x2恒立，知原等式等价于编辑：王刚时间：

(2)(

．22解之，得原不等式的解集为xx或．说明题易出现去分母得x

2x22xx)错误解法．避免误解的方法是移项一边为０再解．另外，在解题过程，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式否有解，从而使求解过程科学合理．典例六例设，关x不等式m

2

2

30．分析进类讨论求解．解：时，因30一立，故原不等式的解集为R．当m0时，不等式化为0；若m0时得

1；m0时得xm

．综上：当m时，等式的解集为

31xmm

；当m0时原等的集

1m

x

3m

．说明不等式时于mR此能完全按一元二次不等式的解法求解当m时原不等式化为30此时不等式的解集为，以解题时应分m0与m0情况来讨论．在解出m

2

x

2

30的为x1

3，x后认为，这也是易出现的错误之m处．这时也应分情况来讨论：0时

3；当0时．mm例解关于x的式2axa

2

典例七1x．分析先理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类论求解．解：不式编辑：王刚

a21x0,或a2;时间2010-5

2x20,x2x22x2x2由a得：(1)

(2)

a,2

x

0;

由判别a

2

2

，故不等式x

2

a

2

的解是aa．当0，

a2

a，aa，不等式组(1)的是ax，不等式(的解是．当a，不等式(无解，的解是x

a2

．综上可知，当0时原不等式的解集是a2,当时原不等式的解集是,说明：题分类讨论标准“0，a”是依据已知a及1)中‘

a2

，(2)x

a2

含参数的不等式是不等式问题中的难点近几年高考的热点般地，分类讨论标准（解不等）大多数情况下依“不等组中的各不等式的解所对应的间的端点”去确定．本题易误把原不式等价于不等)不等式基本类型的解法．典型例题八

．纠正错误的办法是熟练掌握理例解不等式x2x．分析先掉绝对值号，再它的等价组并求各不等式的解然后取它们的交集即可．解答去绝对值号得x2，∴原不等式等价于不等式组x

5或x(2x2(x3)(2x11∴原不等式的解集为或说明解绝对值的不式，关键是要把它化为不含绝值的不等式，然后把不等式等价转化编辑：王刚

时间：2232222222222c2232222222222c为不等式组，变成求不等式组解．典例九例9解于不等式xa)．分析：等式中含有字母故需分类讨论．但解题思与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程

2

2

)x

3

的根，然后写出不等式的解，由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论解：不式可化为(x)(x)．(1)a

2

（即a或时，不等式的解集为：x或；(2)a（）时，不等式的解集为：；(3)a（a或）时，不等式的解集为：

xxR且xa．说明对数进行的讨，是根据解题的需要而自然引的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式解，需先求出方程的根x，x，因此不等式的解就是x小1于小根或大大根．但aa两的大小不能确定，因此需要讨论，a，a三情况．典例十例10已不等式

2bx

的解集是

0)

等式

cx

的解集．分析按照元二次不等式的一般解法，先确定系数c的负，后求出方程根即可解之．解：解由题可断出，方程ax的根，

2

bx两∴

bc，．axa

的集是，明a．而，

cbc，∴．acca

ba

11,c111)(),a编辑：王刚

时间：222222222222∴

b11x，x2))()，即)．c11又0，∴(xx)的集为

1x

．(解法2)由题意可判断出，方

2

的根，∴

ca

．又的解集是，说明ac而，c．a对方程cx

bx

1两边同除以x得))．xx令t

1x

，该方程即为at

2

t，它的两根为tt1111∴x，，方程xx12

2

1的两根为，．1∵0．∴不等式

2

bx的集是说明：万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，出相应的方程的根结合使用韦达定理本中只有已知量故求不等式解集也用示不等式系，关系也用，示出来；注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典例十例12若不等式

x的为(求a3

b

的值．分析不式本身比较复杂要先对不等式进行同解变形，根据解集列出关于a、1313解：)，x)244

b

式子．∴原不等式化为)xa)x．题意

，∴2343

a3b

．说明解关一元二次方程不等式，要注意判断二次项系的符号，结合韦达定理来解．典例十例13不式的解集为，与的．编辑：王刚

时间：22由题意：a2a22由题意：a2a分析此题一元二次不等式逆向思维题，要使集为，不等式ax满足条件a，，bx的根为．1解法：的根为x，x，由韦达定理得：1

需a2

ba2a

∴a，b此时足a，a．解法：造解集为x的元二次不等式：xx，

，不a等式与原不等式应同解不等式，故需满足：1

∴a，b说明本题考查一元二方程、一元二次不等式解集的系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握不好．典型例题十四例解关于x的等式ax

2

a．分析：题考查一元次不等式与一元二次不等解法，因为含有字母系数，所还考查分类思想．解：以情况讨论当a时原不等变为：，x当a时原不等式变为：axx①11①当时①式变x，不等式的解为或xaa

．1②当时①式变为x．②a11∵，∴当时，时②的解为x．时，，时②aa1的解为．a说明解题要注意分类讨思想的运用，关键是要找到分的标准，就本题来说有三级分类：

R

分类应做到使所给参数集合的并集为集，交集为空集，要做到重不漏．另外，解本题还要编辑：王刚

时间：注意在讨论a时解一元二次不等式解．

应选做到将二次项系数变为正数再求典型例题十五例解不等式x2

．分析无不等式转化为理不等式，要注意平方的件和根式有意义的条件，一情况下，f(x)g()

可转化为

f(x)gx)

或

f(x)()

，而

f(x)g()

等价于：

()()

或(x

(x)0

．

f(xg()]

解：不式等价于下面两个不式组：①

2x

②xxx(8)

由①得

或

，∴由得∴或x74