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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“”是“直线与互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是3.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.4.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-815.展开式中x2的系数为()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12806.在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则()A. B. C. D.7.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.8.已知,,则()A. B. C.3 D.49.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④10.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.11.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.12.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________.14.已知平面向量,,满足||=1,||=2,,的夹角等于,且()•()=0,则||的取值范围是_____.15.在中,角的对边分别为,且,若外接圆的半径为,则面积的最大值是______.16.设(其中为自然对数的底数),,若函数恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中.(1)①求函数的单调区间;②若满足,且.求证:.(2)函数.若对任意,都有,求的最大值.18.(12分)在直角坐标系中,直线l过点,且倾斜角为,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程,并判断曲线C是什么曲线;设直线l与曲线C相交与M,N两点,当,求的值.19.(12分)如图,四边形是边长为3的菱形,平面.(1)求证:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的正弦值.20.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.21.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.22.(10分)已知圆上有一动点,点的坐标为,四边形为平行四边形,线段的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,点的坐标为,直线与轴分别交于两点,求证:线段的中点为定点,并求出面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时,直线方程为与,可得两直线平行;若直线与互相平行,则,解得,,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,属于基础题.2.D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.3.C【解析】
根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.4.B【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.【点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.5.A【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为:化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项,第二个括号里出项,或者第一个括号里出,第二个括号里出,具体为:化简得到-1280x2故得到答案为:A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.6.D【解析】
由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以.故选:D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养7.D【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.8.A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.9.A【解析】
对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.10.A【解析】
由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.11.D【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.【点睛】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.12.B【解析】
化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.18【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.14.【解析】
计算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由()•()=0可得()•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1,α为与的夹角.再由2•1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案为.【点睛】本题考查了向量模的范围,意在考查学生的计算能力,利用三角函数的有界性是解题的关键.15.【解析】
由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式,结合范围可求的值,利用正弦定理可求的值,进而根据余弦定理,基本不等式可求的最大值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解:,由正弦定理可得:,,,又,,,即,可得:,外接圆的半径为,,解得,由余弦定理,可得,又,(当且仅当时取等号),即最大值为4,面积的最大值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.16.【解析】
求函数,研究函数的单调性和极值,作出函数的图象,设,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.【详解】当时,,由得:,解得,由得:,解得,即当时,函数取得极大值,同时也是最大值,(e),当,,当,,作出函数的图象如图,设,由图象知,当或,方程有一个根,当或时,方程有2个根,当时,方程有3个根,则,等价为,当时,,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,则,即(1)解得:,故答案为:【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数,研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)①单调递增区间,,单调递减区间;②详见解析;(2).【解析】
(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.【详解】解:,由可得或,由可得,故函数的单调递增区间,,单调递减区间;,或,若,因为,故,,由知在上单调递增,,若由可得x1,因为,所以,由在上单调递增,综上.时,,在上单调递减,不妨设由(1)在上单调递减,由,可得,所以,令,,可得单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值.【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.18.(Ⅰ)曲线是焦点在轴上的椭圆;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)由题易知,直线的参数方程为,(为参数),;曲线的直角坐标方程为,椭圆;(2)将直线代入椭圆得到,所以,解得.试题解析:(Ⅰ)直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为,即,所以曲线是焦点在轴上的椭圆.(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得,,得,,19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由已知线面垂直得,结合菱形对角线垂直,可证得线面垂直;(2)由已知知两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,由已知线面垂直知与平面所成角为,这样可计算出的长,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角可得二面角.【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为四边形是菱形,所以.又因为,平面,平面,所以平面.解:(2)据题设知,两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以又,所以,所以所以设平面的一个法向量,则令,则.因为平面,所以为平面的一个法向量,且所以,.所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角,这样可减少思维量,把问题转化为计算.20.(1);(2).【解析】
(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范
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