动量动量定理动量守恒定律

关于动量动量定理动量守恒定律第一页，共三十九页，2022年，8月28日对于N个质点组成的质点系：直角坐标系中的分量式：质心的位矢：第二页，共三十九页，2022年，8月28日对于质量连续分布的物体分量式：面分布体分布线分布质心的位矢：质心与重心（centerofgravity）是两个不同的概念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心的位置不一定重合。第三页，共三十九页，2022年，8月28日例3-8求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。取宽度为dx的面积元，设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量为解：取坐标轴如图，根据对称性分析可知第四页，共三十九页，2022年，8月28日二、质心运动定理由质心位矢公式：质心的速度为质心的加速度为第五页，共三十九页，2022年，8月28日由牛顿第二定律得对于系统内成对的内力第六页，共三十九页，2022年，8月28日质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。质心运动定理：第七页，共三十九页，2022年，8月28日一、动量定理由牛顿运动定律：表示力对时间的累积量，叫做冲量（impulseofforce)。其中，§3-3动量定理动量守恒定律第八页，共三十九页，2022年，8月28日(1)冲量的方向是所有元冲量的合矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。说明逆风行舟的分析：动量定理（theoremofmomentum）：第九页，共三十九页，2022年，8月28日(2)

动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理，或以分量形式进行计算：第十页，共三十九页，2022年，8月28日(3)

在

冲击、

碰撞问题中估算平均冲力（implusiveforce）。(4)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于惯性系。F(t)Ft(5)动量定理在处理变质量问题时很方便。第十一页，共三十九页，2022年，8月28日研究锤对工件的作用过程，在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。例3-9质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s，(2)=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。以重锤为研究对象，分析受力，作受力图。解：解法一：第十二页，共三十九页，2022年，8月28日解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程，其动量变化为零。重力作用时间为支持力的作用时间为由动量定理：第十三页，共三十九页，2022年，8月28日例3-10

一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及m'的物体A和B，m'大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。作绳拉紧时的受力图。绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为解：经过短暂的冲击过程，两物体速率相等，对两物体分别应用动量定理（取向上为正）：第十四页，共三十九页，2022年，8月28日考虑到绳不可伸长，有：平均冲力FT1、FT2>>重力，因而忽略重力。绳子拉紧后，A、B系统的加速度为即为绳子刚被拉紧时两物体的速度。速度为零时，物体B达到最大高度H：第十五页，共三十九页，2022年，8月28日*二、变质量物体的运动方程设t时刻，某物体质量为m，速度为(<<c)，另有一质元dm，速度为。t+dt时刻合并后的共同速度为。把物体与质元作为系统，由动量定理略去二阶小量，变质量物体运动方程注意：dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小。第十六页，共三十九页，2022年，8月28日例3-11

质量为m的均质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面的高度为h。然后放手让它自由下落到地上。求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小。解：用变质量物体运动方程求解。落在地面上链段ml速度为零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面给它的冲力。取向下为正：即第十七页，共三十九页，2022年，8月28日自由下落：地面所受链条作用力为（已落地部分链条的重力）第十八页，共三十九页，2022年，8月28日例3-12

矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水平成15°角，其速度v2=2m/s。如传送带的运送量恒定，设为k=20kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力。解：设在某极短的时间t内落在传送带上矿砂的质量为m，即m=kt，这些矿砂动量的增量为第十九页，共三十九页，2022年，8月28日其大小为设这些矿砂在时间t内所受的平均作用力为，由动量定理方向由近似竖直向上第二十页，共三十九页，2022年，8月28日=常矢量=常矢量根据质心运动定律：若三、动量守恒定律即如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。则第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日(2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等）(1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。说明(3)

分量式(4)定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日*四、火箭飞行设t时刻，火箭质量为m，速度为v(向上)，在

dt内，喷出气体dm(<0)，喷气相对火箭的速度(称喷气速度)为u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不计重力和其他外力，由动量守恒定律可得

略去二阶小量，第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日设u是一常量，设火箭开始飞行的速度为零，质量为m0，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为m，此时火箭能达到的速度是火箭的质量比第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日多级火箭：第i级火箭喷气速率第i级火箭质量比最终速度：第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日例3-13

如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为m'

和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度v'。炮车与地面间的摩擦力不计。解：选取炮车和炮弹组成系统内、外力分析。炮车与地面间的摩擦力不计，系统水平方向动量守恒。第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日得炮车的反冲速度为思考：竖直方向动量守恒吗？系统水平方向动量守恒：第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。例3-14

一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。解：第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日即和及都成，且三者都在同一平面内第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日

例3-15质量为m1和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向动量守恒。任取两个小孩连线上一点为原点，向右为x轴为正向。解：设开始时小孩的坐标分别为x10、x20，在任意时刻的速度分别v1为v2，坐标为x1和x2。由运动学关系：第三十页，共三十九页，2022年，8月28日相遇时：x1=x2由动量守恒：（1）代入式（1）得第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。相遇时有第三十二页，共三十九页，2022年，8月28日作业：3.9、3.17、3.23第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日如果两个或几个物体在相遇中，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞（collision）。如：撞击、打桩、锻铁等，以及微观粒子间的非接触相互作用过程即散射（scattering）等。讨论两球的对心碰撞或称正碰撞（directimpact）：即碰撞前后两球的速度在两球的中心连线上。1.碰撞过程系统动量守恒：碰撞问题第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日2.牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)，与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料性质决定。即恢复系数（coefficientofrestitution）：完全非弹性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非弹性碰撞（inelasticcollision）：0<e<1

完全弹性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

第三十五页，共三十九页，2022年，8月28日完全弹性碰撞：机械能损失：完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。第三十六页，共三十九页，2022年，8月28日1.当m1=m2时，则质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，则质量