相似图形提高讲义

图形相似线段的比、黄金分割及形状相同的图形知识要点♦要点1线段的比（1）线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。, _. , , ac（2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即了=-,bdab那么这四条线段成比例线段，当b=c时，有7=-,称b为a与d的比例中项。bd（3）比例尺：比例尺=图上距离：实际距离（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点2比例的性质比例的基本性质：a=—oad=bc（a、b、c、d中0）a=—^b2=ac（a、b、c、d中0）bd bc要点3黄金分割概念：若点C把线段AB概念：若点C把线段AB分成两条线段AC、BC（AOBC）,若ACBCABAC'我们称线段AB被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比说明：（1）一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；（2）一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB=1,则AC二"‘BC二"相似多边形相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形要点1各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。说明：（1）相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；（2）判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。

相似三角形要点2三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明：（1）相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；（2）两个三角形的相似比为1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；（3）AABC与△A/B心/相似和^ABCs^A/B心/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。要点3三角形相似的判别方法方法1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似方法2：两角对应相等的两个三角形相似:方法3：三边对应成比例的两个三角形相似:方法4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。・引申直角三角形除了具有以上3种判别方法，还有以下方法：①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。★说明：（1）相似三角形判定的三种判别方法中，“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；（2）要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小知识要点♦要点1测量旗杆高度的三种方法：（1）方法1：利用阳光下的影子（如图1）（还可利用结论:同一时刻:某物体的实际高度—它的影长~~被测物体的实际高度

被测物体的影长（还可利用结论:同一时刻:某物体的实际高度—它的影长~~被测物体的实际高度

被测物体的影长（2）方法2：利用标杆；（如图2,本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）（3）方法3：利用镜子反射（如图3,本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）★说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。♦要点2相似三角形与相似多边形的性质相似三角形的性质：(1)相似三角形对应高的比等于相似比；(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形对应中线的比等于相似比；(4)相似三角形周长的比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。★说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。♦要点3位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似图形的性质：(1)对应边的比等于位似比；(2)周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方；(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。★说明：(1)位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形:(2)判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点;(3)将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。例题精讲:例题精讲:m则一n变形1：已知变形1：已知a_b_c

3—4—5的值。例2已知］：y：z=1：3：5,求%+3-一Z的值。］一3y+zTOC\o"1-5"\h\z变形1：若4]=7y+5z,2%+y=z，那么]：y：z=( )\o"CurrentDocument"A.2： 1： (-3) B. 2： 1：3C,2： (—1)： 3D,3： 2： 1变形2：若一--=―=——，且]+y+z=18,求],y,z。2 3 4例3若点C是线段AB的分割点（AC>BC）,AB=16,则AC=,BC=；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD=。变形：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA,PB.当PA2=PB-AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（） । । ,A.6.18B,0.382C.0.618D.3.82例4、如图，D,E分别为4ABC的边AB,AC上一点，且△ADE^^ABC,F为AD上一点，且△AEFs^ACD,（1）AD2=AF•AB吗？请说明理由。（2）若AF=4,AB=9,求AD。变形：如图所示，已知梯形ABCD,AD〃BC,若EF〃BC,且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD=4,BC=9,求EF的长。例5、如图XS—11所示，在4ABC中，ADXBC于D,DELAB于E,DFXAC于F,试证AE•AB=AF•AC。ACABEC，AC5ACABEC，AC53,D为AB上一点，若^BDE变形1：如图XS—11-1,AABC中，——BEABsABAC,则——= 。BD 变形2：如图XS—11-2,AAOBsACOD,NA=NC,下列各式正确的有()个ABCDBOCO:②ABCDAOOD;③OBADAOBOA.1B.2C.3OCODCOODD.4XS—11ABCDBOCO:②ABCDAOOD;③OBADAOBOA.1B.2C.3OCODCOODD.4XS—11XS—11-1XS—11-2例6、如图ZJ—例6、如图ZJ—26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m,一级台阶高为0.3m,如图所示，为4.4m,则树高为(A.11.5mB.11.75m若此时落在地面上的影长)C.11.8mD.12.25mZJ—26一、选择题1.梯形两底分别为为 m+n一、选择题1.梯形两底分别为为 m+n mn过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长2mn m+nmn m+n (m+n 2mn5题.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,AB上，且= ,AE=BE,则TOC\o"1-5"\h\z.^A^^ 3有 ( )(A)AAEDs\BED (B)AAED^ACBD(C)AAED^AABD (D)ABAD^ABCD.P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有 ( )(A)1条 (B)2条 (C)3条(D)4条.如图，/ABD=NACD，图中相似三角形的对数是 ( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出AABP与△ECP相似的是 ( )(A)ZAPB=ZEPC(D)相似的是 ( )(A)ZAPB=ZEPC(D)BP:BC=2:3△ABC中，AD±BC于D,且有下列条件:,(B)ZAPE=90°(C)P是BC的中点6.如图(1)ZB+ZDAC=90°；(2)ZB=ZDAC；CDAdACABCDAdACABAB2=BD•BCTOC\o"1-5"\h\z其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有 ( )(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个7.如图，将以DE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABR连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是 ()(A)AE±AF (B)EF:AF='<2：1(C)AF2=FH•FE (D)FB:FC=HB:EC8.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有 ( )(A)^ABE的周长+△CDE的周长=△BCE的周长(B)^ABE的面积+△CDE的面积=△BCE的面积(©)△ABEs^DEC(□)△ABEs^EBC11题10题11题10题9.如图，直线a//b9.如图，直线a//b,AF:FB=3：5,BC：CD=3：1,则UAE：EC为().(A(A)5:12 (B)9:5 (C)12:5(D)3：210.如图1在AABC中，M是AC边中点，E是AB10.如图1在AABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=4AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D此时BC:CD为 ((A)2：1 (B)3：2 (C)3：1)(D)5：211.如图矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3DE的长和折痕EF的长分别为……(A)4cm、v10cm(C)4cm、2<3cmcm,-(将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后）(B)5cm、n'10cm(D)5cm、2V3cm、填空题12.已知线段a12.已知线段a=6cm,b—2cm则a、b、a+b的第四比例项是cm,a+b与a—b的比例中项是cm.a+b13.若 13.c15题14题如图，在△15题14题如图，在△ABC中，AB—AC=2714.D在AC上，且BD=BC=18,DE//BC交AB于E，贝UDE1.如图，口ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF——FD,EF交AC于G,则AG:AC=16题 17题 18题.如图，已知△ABC,P是AB上一点，连结CP,要使△ACP^^ABC,只需添加条件（只要写出一种合适的条件）..如图，AD是^ABC的角平分线，DE//AC,EF//BC,AB=15,AF=4,则DE的长等于.如图，△ABC中，AB=AC,AD±BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,则△ABC的面积是.

、证明题1、如图，在^ABC中，AB=AC,延长BC至D,使得CD=BC,CE±BD交AD于E,连结BE交AC于F,求证