相似三角形讲义及精品练习

相似三角形一、比例线段1、定义：对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 ，即 _,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。a c a b 一一2、比例线段的基本性质：--=O—- =>adbcb d c dabbc合比性质：acbd二^Ab2ac其中匕为比例中项abcdb d等比性质：a।bdemacemacafnbdfnbdb3、黄金分割：一条线段3、黄金分割：一条线段AB,点P是线段AB上的一个点，如果满足：--而，那么称线段AB被APABP点黄金分割，点P为线段AB的黄金分割点，AP与AB的比值约为0.618这个比值称为黄金比。例1、判断下列线段是否是成比例线段:(1)a=2cm,b=12cm,c=8cm,d=3cm;(1)a=7,b=3,c=21,d=9.例2、若a:3=b则U7(a+3b:2b=.例3、已知三条线段a=1cm,b=2cm,c=甚线段d与a、b、c成比例，请求出线段d的长度。例4、已知a: f 3，且b 2d3e0,求a 2c3f的值。b d e 5 b 2d3e例5、等腰三角形ABC例5、等腰三角形ABC中，AB=ACABC72,线段AC的黄金分割点，若AB=8cm，求AD的长。ABC的角平分线BD交AC于0,且0是二、相似图形的性质1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。三、相似三角形1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符号〃s〃表示，读作〃相似于〃。3、相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。5、判定三角形相似的思路：①、有平行截线 周判定定理中的基本定理②、有一对等角，找a、另一对等角，b、夹边成比例③、有两边对应成比例，找a、夹角相等，上第三边也对应成比例，。、有一对直角。④、直角三角形，找a、一对锐角相等，b、斜边、直角边对应成比例⑤、等腰三角形，找a、顶角相等，b、一对底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：SAS：两边对应成比例且两对应边的夹角相等。SSS：三条边对应成比例。(3)ASA：两角对应相等。7、对于直角三角形相似的判定法则：一条直角边与对应斜边成比例。8、对于全等三角形的判定法则：对应边相等。9、直角三角形相似定理：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。10、相似三角形性质定理：⑴相似三角形的对应角相等。⑵相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方⑺若a/b二b/c，即b2=ac，'5叫做^。的比例中项(8)c/d=a/b等同于ad=bc.定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。11、中位线：(1)定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(2)定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。(3)重心定理：三角形三条边上的中线交与一点，这个角就是三角形的重心，重心与一边中1点的连线长是对应中线的2。3(4)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。ADEA例1、已知：如图，院BA的延长线上的一点，F是BC的中点，连接EF交户D。求证：力而例2、如图所示，在AABC中，BA=BC=20CM,AC=30CM,点P从A点出发，沿着AB以每秒4CM的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿（^以每秒3CM的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当*为何值时，PQ//BC?S 1 S（2）当三4 求1PL的值；S 3 SABC ABC（3）AAPQ能否与ACQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。例3、如图，某同学想测旗杆高度AB,他在某一时刻得1米的竹竿直立时影长为1.5米，在同一时刻,测得旗杆影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长AC为21米，留在墙上的影高CD为2米，求旗杆AB的高？例4、如图，在AABC中，AD是/BAC的平分线，求证：AB:AC=BD:DC。例5、如图所示，在AABC中，AM是BC边上的中线，AE平分/BAC,BD±AE的延长线于0,且交AM延长线于F,求证：EF//ABO练习:1、gx3y5z0,x2y3z0,且*丫20,求x:y:z的值。2、x已知百3y_z572x3y4z求-一/——的值。5x3yz3、已知a、b、c为AABC的三边，60cm,a:b:c3:4:5,求^ABC的面积。4、已知x:y:z2:3:4,xyz50,yax5,求a的值。5、bc已知——

am,求m的值，并判断直线ymxm经过哪些象限？6、若a、b、C是非零实数,并满足「(ab)bc)Ccbca)，求x的值。7、设P、Q是线段AB上的黄金分割点，且PQ=a求AB的长。的值。8、如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且人。2BDAB,求—AC的值。A• • • *6CD1AF一9、如图，AABC中，D是BC边上的中点，E在AD上，且皿6AD，求市的值。10、如图，在4BC中,10、如图，在4BC中,AF:FC1:2,G是BF的中点，AG的延长线交BC于E,求BE:EC。U、如图，DE〃BC,Sdoe：Sc°b4:9，求AD：BD。12、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到0处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部£恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.AEB CD

EB CD相似三角形巩固练习题一、填空题1.在AABC中，/B=25°,AD是BC边上的高，并且402二BDDC，则/BCA的度数为的外角平分线，DE//AB交AC的延长2.已知：如图，RABC中，AB=15m，AC=12m，AD是/BAC线于点E,那么CE=m.3.如图，已知RtAABC中，AC=3,BC=4,过直角顶点C作CA1±AB,垂足为A＞再过A1作A1cl，BC,垂足为C〉过C/、C1A2，AB,垂足为人2，再过A22.已知：如图，RABC中，AB=15m，AC=12m，AD是/BAC线于点E,那么CE=m.C血二

w4.如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AC,BD交于点O,SAAOD：SACOB=1：9贝USADOC：SABOC中，C血二

w4.如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AC,BD交于点O,SAAOD：SACOB=1：9贝USADOC：SABOC中，E是边BC上的点，AE交BD于点F,如果瞿鹫,那么黑二bl-3rLJ5.如图，在平行四边形ABCD（5题）（6题）aer）（7题）.如图，在AABD中,/ADB=90°,C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，ADEF的面积为3.5则AABC的面积为.在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH二3DC.若AB=10,BC=12，则图中阴影部分的面积为..如图，在ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O,SADOE=12cm2,则Saaob等于 …2cm2.9.如图，在AABC中，EFIIBC,AE=2BE，则AAEF与梯形BCFE的面积比10.如图，在10.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=8,CB=6,在斜边AB上取一点M,使乂8二CB交AC于N,则MN=,过M作MN±AB.如图，在RtAABC中，/ACB=90°,CD±AB于D,若AD=1,BD=4，则CD二.如图，在AABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O,那么△MON与AAOC面积的比是 ..如图，AD=DF=FB,DE//FGIBC,则USjSn：Sffl=j14.如图，已知点14.如图，已知点D是AB边的中点，AFIBC,CG:GA=31,BC=8，则AF二1010二、解答题.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC//AB,以0为原点建立平面直角坐标系，A,B,C三点的坐标分别为A(8,0)，B(8，10)，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒.(1)求直线BC的解析式；9(2)若动点P在线段OA上移动，当=为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的］;(3)动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设AOPD的面