【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥精

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFLBD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)求证：EG=CG;(2)将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图①中ABEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)第24题图③第24题图③TOC\o"1-5"\h\z解：(1)证明：在RtAFCD中，;G为DF的中点，，CG=FD.1分同理，在Rt^DEF中，EG=FD.2分CG=EG.3分(1)中结论仍然成立，即EG=CG.4分证法一：连接AG,过G点作MNXAD于M,与EF的延长线交于N点.在△DAG与△DCG中，•••AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,△DAGDCG.AG=CG.5分在△DMG与^FNG中，:/DGM=/FGN,FG=DG,/MDG=/NFG,△DMGFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.6分在RtAAMG与Rt^ENG中，「AM=EN,MG=NG,AAMG^AENG.AG=EG.EG=CG.8分证法二：延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,4分在△DCG与^FMG中，•••FG=DG,/MGF=/CGD,MG=CG,・.△DCGFMG.MF=CD,/FMG=/DCG.MF//CD//AB.5分，在Rt^MFE与Rt^CBE中，•••MF=CB,EF=BE,..△MFECBE.ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°.△MEC为直角三角形MG=CG，.=EG=MC.8分(1)中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有:EG±CG.……10分1

【012］如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线yax2bxc与y轴交于点分别与圆O相切于点A和点C.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明理由.【012］解：(1)圆心O在坐标原点，圆O的半径为1,D,与直线yx交于点M、N,且MA、NC点A、B、C、D,与直线yx交于点M、N,且MA、NC丫抛物线与直线yx交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C,M(1,1)、N(1,1).丫点D、M、N在抛物线上，将D(01)、M(1,1)、N(1,1)的坐标代入c12yaxbxc,得：1abc解之，得:又DE1,DB2,FD4_55EFFDDE抛物线的解析式为：yx2(2),.,y又DE1,DB2,FD4_55EFFDDE抛物线的解析式为：yx2(2),.,yx2x1x1抛物线的对称轴为x-,2连结BF,BFD90°,人-lc人-DE△BFDs^EOD,——DB4.5.53.55210(3)点P在抛物线上.设过D、C点的直线为：ykxb,

将点C(1,0)D(01)的坐标代入ykxb,得：k1,b1,10分直线DC为：10分过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y1,将y1代入yx1,得：x2.P点的坐标为(2,1),当x2时，y2_2_x2x122211,所以，P点的坐标为(2,1),当x2时，y2_2_x2x122211,所以，P点在抛物线yx2x1上.12分【013］如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0)C(0,2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与4OAC相似？若存在，请求出符合条件的点若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,

使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.【013］解：(1)该抛物线过点C(0,2),可设该抛物线的解析式为yax2bx2.P的坐标;(第26题图)将A(4,0),B(1,0)代入,16a4b20,ab20.解得125.2125一此抛物线的解析式为y-x125一此抛物线的解析式为y-x—x2.22(3分)(2)存在.(4分)如图，设P点的横坐标为m,1o5则P点的纵坐标为一m—m2,22当1m4时，125一AM4m,PM-m-m2.22又：COAPMA90,①当AMPM①当AMPMAOOC△APMs/XACO,解得②当解得m21m2

2mi2,m2AMOCPMOAmi4,m2当1m4时,类似地可求出当m1m2（舍去），P（21）.（6分）125-时，AAPMs^CAO,即2（4m）-m—m2.225（均不合题意，舍去）P（2,1）.（7分）4解得②当解得m21m2

2mi2,m2AMOCPMOAmi4,m2当1m4时,类似地可求出当m1m2（舍去），P（21）.（6分）125-时，AAPMs^CAO,即2（4m）-m—m2.225（均不合题意，舍去）P（2,1）.（7分）4时，P（5,2）.（8分）当m1时，P（3,14）.综上所述，符合条件的点P为（2,1）或（5,2）或（3,14）.（9分）12（3）如图，设D点的横坐标为t（0t4）,则D点的纵坐标为一t22过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y5-t2.2-x2.2（10分）E点的坐标为1o52.DE-t2-t2221t221t222t.,（11分）Sa一°ADAC-22t4t24t（t2）2当t2时,△DAC面积最大.D（2,1）.（13分）【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点OA旋转了45°.A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中,AB边交直线yx于点M,BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论【014］（1）解：:A点第一次落在直线yx上时停止旋转，，

_.45_.452•••OA在旋转过程中所才3过的面积为45一—-.4分(2)解：.MN//AC,..BMNBAC45,BNMBCA45.•••BMNBNM.BMBN.又「BABC，•-AMCN.又.OAOC,OAMOCN,•.OAMOCN...AOMCON.1AOM-(9045.，旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为2458分(3)答：p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则AOE45°AOM,CON90°45°AOM45°AOM,：.AOECON.又「OAOC9AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；OAE180°90°90°OCN.「.OAEOCN.，OE9AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标;⑶在抛物线上是否存在点Q,使^QAB与4ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由.

【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k;顶点C的横坐标为4,且过点(0,1J3)927_•.y=a(x-4)+k一片16ak①9又•.•对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6A(1,0),B(7,0)--0=9a+k②由①②解得a=E3,k=—g二.二次函数的解析式为：y=213(x-4)2-<3⑵•・•点A、B关于直线x=4对称PA=PB「.PA+PD=PB+PDDB「.当点P在线段DB上时PA+PDX得最小值TOC\o"1-5"\h\zDB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M.PM//OD/BPMWBDO又/PBMhDBO33——BPM^ABDOfMBMPM9三3..点P的坐标为(4,I3)DOBO733⑶由⑴知点C(4,„3),又.「AM=3在RtAAMO^,cotZACM=1,・./ACM=60,AC=BC/ACB=120①当点Q在x轴上方时，过Q作QNLx轴于N如果AB=BQ由△AB6△ABQWBQ=6/ABQ=120,则/QBN=60，QN=3；3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,373),如果AB=AQ由对称性知Q(-2,33)②当点Q在x轴下方时，△QAB^是△ACB此时点Q的坐标是(4,v3),经检验，点(10,3寸3)与(-2,3、3)都在抛物线上°AX4XB综上所述，存在这样的点Q°AX4XB综上所述，存在这样的点Q1使^QAB^△ABC点Q的坐标为(10,3有)或(-2,3<3)或(4,73).【016］如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,NTy*A(3,3).,7OZ3/c6、xm"/\求m的值和这个一次函数的解析式;(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点巳使四边形OECD的面积§与四边形OABD的面积S满足：S1-S3?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.【016】解：(1)设正比例函数的解析式为yk1x(k10),因为yk1x的图象过点A(3,3),所以33kl,解得k11.TOC\o"1-5"\h\z这个正比例函数的解析式为yx.(1分)设反比例函数的解析式为y坛(k20).因为yk2■的图象过点A(3,3),所以xx_k2.一._9.3解得k29.这个反比例函数的解析式为y1.(2分)9933-⑵因为点B(6,m)在y—的图象上，所以m——,则点B6,—.(3分)x622设一次函数解析式为yk3xb(k30).因为yk3xb的图象是由yx平移得到的,3所以k31,即yxb.又因为yxb的图象过点B6,一,所以2TOC\o"1-5"\h\z3一..一.99—6b,解得b—,一次函数的解析式为yx—.(4分)222一一、，99(3)因为yx—的图象交y轴于点D,所以D的坐标为0,一.22设二次函数的解析式为yax2bxc(a0).39因为yax2bxc的图象过点A(3,3)、B6,一、和D0,一1a2解得1a2解得b4,9c2（6分）9a3bc3,3-所以36a6bc—,（5分）29c.2TOC\o"1-5"\h\z129这个二次函数的解析式为y-x24x9.22一一9一9(4)-yx一父x轴于点C,点C的坐标是一，0,22

如图所示，451881一.4假设存在点1522cEd,y0)，使S1-S81427「四边形CDOE如图所示，451881一.4假设存在点1522cEd,y0)，使S1-S81427「四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，y00,S1SaocdSaoce19919-----"y。22222819819273一-y0——,y0-.vE(xo,y。)在二次函数的图象上,842212.93,一_.一-x04x0——.解得X02或X。6.222,3,当x06时，点E6,-与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x026舍去,—3-点E的坐标为2,--(8分)【017］如图，已知抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(0,2)两点，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)将4OAB绕点A顺时针旋转90。后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式；(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上，且满足4NBB1的面积是4NDD1面积的2倍,(第26题)求点N的坐标.【017］解：(1)已知抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(0,2),解得所求抛物线的解析式为yx23x2.⑵.「A(1,0),B(0,2),⑵.「A(1,0),B(0,2),OA1,OB2可得旋转后C点的坐标为(31)当x3时，由yx23x2得y2,可知抛物线yx23x2过点(3,2)将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.(3)丁点N在y其对称轴为xy(3)丁点N在y其对称轴为xy图②10分TOC\o"1-5"\h\z2_.平移后的抛物线解析式为：yx3x12_....2_.、x3x1上，可设N点坐标为(x°,xo3xo1)9_一,、一x23x1配方得y3①当0xo—时，如图①，2'SANBB12SANDD1TOC\o"1-5"\h\z1x2113x1x02212x°xo1此时x23x011N点的坐标为(1,1).…3②当x0—时，如图②2一一113同理可得11x021x03222x032.此时x03x011点N的坐标为(31).综上，点N的坐标为(1,1)或(31)【018］如图，抛物线yax2bx4a经过A(1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m,m1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;

（3）在（2）的条件下，连接BD,且DBP45°,求点P的坐标.点P为抛物线上一点,【018］解：（1）;抛物线y2axbx4a经过A(1,0),C(0,4)两点,ab4a0,

4a4.解得13.抛物线的解析式为3x⑵点D(m,m1）在抛物线上,3m3.■点D在第一象限,点D的坐标为(3,4).由(1)知OAOB,CBA45°.设点D关于直线BC的对称点为点E.■■,C(0,4),CD//AB,且CD3,ECBDCBE点在y轴上，且CECD3.OE1,E(01)即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0,1）.（3）方法一：作PF±AB于F,DE，BC于由(1)有:・••DBPOBOC4,45°,CBDOBC45°,PBA.,「C(0,4),D(3,4),CD//OB且CD3.DCECBO45°,PAF*yDxODECE3.22vOBOC4,BC4.2,BEBCCE5.22，tanPBFtanCBD设PF3t,则BFDEBEOF355t4,P(5t4,3t).：P点在抛物线上,3t(5t4)23(5t4)4,t0(舍去)或t2225'266

一，—525方法二：过点方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH±x轴于H.过Q点作QG，DH于G.PBD45°,QDDB.QDGBDH90°,又DQGQDGDQG△QDG9ADBHQGDH4,DGBH1.由(2)知D(3,4),Q(13)..•・B(4,0),直线BP的解析式为y12y解方程组y3-x3x4,

12Xiyi4,0；X2y2【019］如图所示，将矩形OABC沿AE折叠,2,56625使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH,延长延长BC至M,使CM=|CF-EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO⑴试比较EO、EC的大小，并说明理由,S四边形CFGH(2)令m,请问m是否为定值？S四边形CNMN；若是，请求出m的值；若不是，请说明理由⑶在(2)的条件下，若CO=1,CE=1,Q为AE上一点且QF=2,33抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。点P的坐标为266一,—

525【019](1)EO>EC,理由如下：由折叠知，EO=EF,点P的坐标为266一,—

525【019](1)EO>EC,理由如下：由折叠知，EO=EF,在Rt^EFC中，EF为斜边，，EF>EC,故EO>EC…2分m为定值•S四边形cfgh=CF2=EF2—EC2=EO2—EC2=(EO+EC)(EO—EC)=CO•(EO—EC)S四边形cmno=CM-CO=|CE—EO|-CO=(EO—EC)-CO.Sg边形CFGH一mSra边形cmno，、一1.2,12CO=1,CEQF—EF=EO=1——3333cos/FEC=—/FEC=60°,2

18060--FEA60OEA,EAO302一，2・•.△EFQ为等边二角形，EQ—3QF,,一1133作QILEO于I,EI=-EQIQ=—EQ—2323IO=211Q点坐标为(包1)6分3333331.,.抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1),Q(——，一)，m=133・•・可求得b3,c=1.•・抛物线解析式为yx23x12_(4)由(3),AO3EO33当x2«3时，y(243)2332431工vAB3333••.P点坐标为(至3,1)8分33.212…BP=1--AO33方法1:若^PBK与4AEF相似，而^AEF^AAEO,则分情况如下:2①bk3时,bk22,33万一一，2①bk3时,bk22,33万一一，4383八•'K点坐标为(,1)或(,1)99…223一、,43.、②BK3时，BK—，K点坐标为（1^,1）或（0,1）2.3233飞-310分故直线KP与y轴交点T的坐标为571(0,—)或(0,—)或(0,—)或(0,1)333方法2:若^BPK与^AEF相似，或30°12分由（3）得：/BPK=30。或60°,过P作PR±y轴于R,贝U/RTP=60①当/RTP=30。时，RT^3e23②当/RTP=60°时，RT^3-233