2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题

2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设V和V分别是齐次方程组x€x€...€x=0和x=x=...=x的解空间，证1212n12n明V=V㊉V。12证明：因方程组x+x€...+x=0和x=x=...=x，只有零解，故V€V={o„,12n12n12从而V+V=V㊉V，且V㊉V是V的子空间，即V㊉VwV。12121212又V的维数是n-1，V的维数是112故V㊉V的维数是n维，所以V㊉V=V。1212注：任给一个V的子空间V,可以找到子空间V使得：V=V㊉V1212此式称为V的一个直和分解，V，V称为互补空间122、线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间证明：因为V非空，所以TV非空Vx,yeV,VXePx+yeV…xeVTx+Ty=T(x+y)eT*)…Tx=T(Xx)eTV)故是T(V是V勺线性子空间因为所以非空因为0eker(所以Te非空)Vx,yeker(V…,eP贝l」Tx=Ty0=,0于是T(x+y)=Tx+Ty=0故x+yekEr()T(…x)=…Tx故…xekTr()因此keiT；是的线性子空间。例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=ndim(ker(T))=s只需证明dim(T(V))=n-s即可取ker(T)的一组基讥,x2,...,xs再添加n-s个向量将这组向量扩充为V的一组基X],X2,…,x,y+],y+2，・・・,y+2,12s€1€2€2对Vx„Vnnx…九ixi+九x+…+九sxs+,s+++i・.+,y则〃…九]Tx]+九Tx朴..+XsTxs+,s+Tys++1・.+,Tynnnn…,s+Tys+1+...+，Jy.T(V)—Span{Tys+1,Tys+1,...,Tys+1}现在只需证明Ty+},Ty+2,…,Ty线性无关。+1+2n设kTy+kTy+...+kTy…0+1+1+2+2nn贝山T(k+1y+1+k+2y+2+...+ky)=o+1+1+2+2nn故k+1Ty+1+k+2Ty+2+...+knTyn„ker(T)+1+1+2+2nn于是I+]ys+]+ks+2ys+2+…+kJn可由x1,x2,…,xs线性表示

即ky+ky+...+ky…lx+lx+...+lx

s+1s+1s+2s+2nn1122ss故有lx+lx+...+lx—ky—ky—...—ky—01122sss+1s+1s+2s+2nn因x1,x2,…,xs,ys+严.,yn是v的一组基，所以11…12………ks+1………kn—0因此TVs+1,TVs+2,…,Ty线性无关3、过渡矩阵线性变换在给定基下的矩阵例题：已知€3中的线性变换T在基g=(-1,1,1》,g=G,0,-1》,g=(0,1,1》123ri01]下的矩阵是i10-121<求T在基e…(1,0,0)t,e…(0,1,0)t,e…(0,0,1)t下的矩阵。123解：设基g,g,g到e,e,e的过度矩阵为Q123123则(e,e,e)=(g,g,g)Q123123r100、r—110、即：010=101Q<001丿1一11l丄丄丄丿r—11O'—1r—1i-q所以Q=101=01—1i1—11丿l101丿

所以T在基e,e,e下的矩阵B为1r12031,B=01110„„Q【-121〔-110,r10忏11一,1=101„„11:0一1„„111一1一12丿、110„1〔-11一2,=220„„1302丿4、定理:内积空间中必存在标准正交基（施密特正交化）例：设e,e,e,e,e是€5中的一组标准正交基V…Span{a,a,a}12345123其中a…e<e,a…e—e<e,a…2e<e<e11521243123求V的一组标准正交基解：设ka<ka<ka…0，即有112233(k<k<2k)e—(k—k)e<ke<ke<ke…01231232332415因为ei,e2,e3,e4,e5线性无关，故ki…k2…k3…0因此ai,a2,a3线性无关，所以ai,a2巴是V的一组基。现将其化为标准正交基，首先将其正交化取y…a…e+e,y…a111522(a取y…a…e+e,y…a111522Ey222―了21)y,y=a―了31Ey222(y,y丿i33(y,y)11111()(e-ey…\e一e<e()(e-ey…\e一e<e丿一”__乂21244i5e<e丿'+e,e<e丿15=(e-e<e丿一+(e<e)=ie一e<e一+e124215212425()(2e+e+e,e+e)(丿(2e+ey=\2e+e+e丿一i23i5e+e丿一(i丿3123(e+e,e+e丿15(1e一e+e一ie,1e一e+e一ie丿i5i52i24252i2425=(2e+e+e)—今(e+e丿123215=e+e+e一e1235再将其单位化11223354—e)11223354—e)5、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定例1:设a是n维欧氏空间V中的单位向量，定义V中的变换T为Tx„x—2(a,x)a。证明T为正交变换证明：Vx,ygV,VXg€T(x+y)„(…:—a(…xay)„(x+y)—2[Xx+(ya)]„[x—2a(x,a)+]y—[a2(ya,„)T]+xTyT(Xx)„Xx—2a(X,xa)„Xx—2X(a,xa)„Xx[—a2(xa,„)X]Tx故t是v的线性变换VxgVTx2„(Tx,Tx)„x(—a2(xa,x)—,ax2a(,))„(x莎—(x,a(xa)—a(x2ax,+)axa(2ax,a),2(,))„(x,x)—2a(x,x)a(—,a)x2a(x,+)(a,x)2a4a(,)(,)„(x,x)—2a(x,2—)a2x(2+,a)x42(,)„(x,x)„x2故Tx2„x2，所以T是正交变换例2证明：n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何xg€n都有Ax„x证明：”<"(必要性)注：酉矩阵AhA„AAh„E若A是酉矩阵，则对Vxg€n有Ax2„(Ax,Ax)„(Ax)H(Ax)Ax2„(xHAH)Ax„xH(AHA)x„xHEx„xHx„(x,x)„x则Ax„x

"€"（充分性）取€n中的一组标准正交基e二(1,0,...,0)t,e二(0,1,...,0)te二(0,0,...,1)t,TOC\o"1-5"\h\z12n则存在唯一的线性变换T,使得T在基e,e，…,e下的矩阵是A12n即：T(e,e，…,e)二(e,e，…,e)A(证明t是正交变换)12n12n,xe€n,x=(x,x，…，x)t12nT(e,e,...,e)x=(e,e,...,e)Ax12n12n„Tx=Ax又Ax=x,故Tx=x因此T是正交变换，从而A是酉矩阵。6、矩阵A的约当标准形（初等因子和不变因子）<1例题：求矩阵A=<1<例题：求矩阵A=1不变因子、初等因子。解：不变因子、初等因子。(X-2111(1-1X-21XE-A=-2X+12—3<>3>-2X+12……、1-1X-2丿、X-211…丿J"(入2)r1>(1-1X-21「10010X-12X-(1-1X-21「10010X-12X-2—Jc1，c3(X2)c1>0X-12X-2、0X-1-X2+4X-3丿、0X-1-X2+4X-3丿(10<000、九-100(九—1)2丿故A的不变因子是1，九一1，（九一1）2初等因子是九-1，（X-1》因X-1对应的约当块（1）21）2对应的约当块（1;]…100、…110、故A的约当标准形为J=011或J=010„001丿„001丿求约当标准形的步骤：写出A的特征矩阵九E-A求出九E-A的全部初等因子写出每个初等因子对应的约当块写出约当标准形7、凯莱-哈密顿定理…1—1,例题：设A二，证明：B二2A4+2A3+19A2-29A+36E„25丿为可逆矩阵并将B-1表示为A的多项式。尢11证明：A的特征多项式为f(X)=—A=2九5=沁—6九+7由凯莱-哈密顿定理得：f(A)=A2—6A+7E=0。{f(九)=|九E—A，贝f(A)=0}因2九4—12九3+19九2—29九+36=(2九2+5)《2—6九+7)+(九+1<…2„2故B=…2„2故B=2A4-12A3+19A2-29A+36E=(2A2+5)f(A<+(A+E<=A+E=因为|B=14丰0,所以B可逆。将A=B—E代入f(A<=A2—6A+7E=0中得：(B—E)2—6(B—E)+7E=B2—8B+14E=0・•・B2—8B=—14E—+B(B—8E)=E14故B-1=—十(B—8E)=—十(A—7E)14148、线性空间的范数没有例子就把定义搬上了定义：设V是数域P上的线性空间，如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应，记为x且满足下列的性质1>正定性：当x丰0时，x>02>齐次性：对VieP,九x=Xx3>三角不等式：€x,yeV,x,y<x,y称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间其他重要例题例题1:设x,xx是数域P上的线性空间V的一组向量，则由他们的所有线性组合构12n成的集合S={九x,九x,...,九xI九eP,i=1,2,...,n}是V的子空间。1122nni证明：显然S非空，九ePVa=kx汁kx,...+kxeS1122nnV?=11x1,ix，…+ixneSa+卩=(k1+11)xi+(k2+12)x2+...+(kn+I)xn丘S((k+QeP)九a=(九k1)x1+(九k2)x2+...+(九kn)xneS故S是V的子空间称S为由x],x2,・.・,xn生成的子空间记作S=Span{x1,x2,...,xn}S=Span{x1,x2,...,xn}x1,x2，...,xn的一个最大线性无关组就是Span{x1,x2,...,xn}的一组基Span{x1,x2,…,xn}的维数=秩(x1,x2，...,xn)例题2:在n维的向量空间€n中，对向量x=点,g,...,g)t,y=(<,<,...,<)t12n12n定义(x,y)=g<+g<+...+g<=yHx其中yH表示y的共轭转置1122nn则(x,y)为€n中的内积y=1<2'(—、<1<2yH=(<1,匚…,£—n“匚n验证：、n丿眾）=卩,+卩,+...+卩,

①1122口,+丁,+...+工,=（x,y）

1122nnnn②（九x<卩y