2020届高三调研考试卷理科数学(一)(解析附后)

6.设6.设5口是两平面,a,b是两直线.下列说法正确的是（）2020届高三调研考试卷理科数学（一）（解析附后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z1.已知集合M={x|x2+x-2<0},N={—1,0,1,2},则M门N的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16.已知复数z=2+i,则在复平面上对应的点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.在等差数列{an}中，若a3=5,S4=24，则a§=（）A.-5B.-7C.-9D.-11.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A.f（x）=x3xB.f（x）=3x-1一一1一.、.।C.f（x）=--D.f（x）=log3xx5,中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A.A.①若a//b,a//c,则b//c②若a_L%b_Lct,则a//b③若a_L%a_LP,则a//P

④若a_LP,o(P|P=b,aua,a_Lb,则a_LPA.①③B.②③④C.①②④D.①②③④7.卜图是程序框图,若输入的.1…，，，…A=—,则输出的值为（2丁否A.9c1212297.卜图是程序框图,若输入的.1…，，，…A=—,则输出的值为（2丁否A.9c12122929608.函数f(x)=Asin(，x+q：)（其中Aa0,。＞0,|中|＜三）的图象如图所示，为了得到y2f(x)的图象，只需把g(x)=13—sin©图象，只需把g(x)=13—sin©x--cos^x的图象上所有点（ji.向左平移一个单位长度3兀A.向左平移一个单位长度6丸C.丸C.向右平移一个单位长度6ji.向右平移一个单位长度39.(l+2x—2)8的展开式中29.(l+2x—2)8的展开式中22项的系数是（A.420-420C.1680D.-168010.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为「r22、(x+y<4A=«(x,y)|<x?+(y+1。圭1或x?+(y-1)2W1},设点(x,y)wA,则z=x+2y的取值范围是()x<0A.[-2—痣,2洞B.[―2而2洞C.[-2痣,2+的D.[-4,2+^]2211.已知双曲线C:与=1(a>0,b>0)的右焦点为F,A,B是双曲线的一条渐近线上关于原点ab对称的两点,AurBur=0且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为(对称的两点,A.历B.石C.2D.后.已知函数f(x)=(e-a)ex—ma+x,(m,a为实数)，若存在实数a,使得f(x)W0对任意xWRTOC\o"1-5"\h\z恒成立，则实数m的取值范围是().11—.1A.[—，F)b.[-e,^)C.[-,e]D.[-e,—]eee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分..平面内不共线的三点O,A,B,满足|OA|=1,|OB|=2,点C为线段AB的中点，若~33|OC|=—，则—AOB=.2.已知数列｛an｝中，a1=1,且an++2an+3=0,n=N*,数列｛an｝的前n项和为Sn,则S6=.2x.已知直线l经过抛物线C:y=一的焦点F,与抛物线交于A,B,且xa+xb=8,点D是弧AOB4(O为原点)上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为..已知正三棱柱ABC-ABQi的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时，异面直线ACi与B1C所成角的余弦值等于.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1.(12分)在zXABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanB=—,2tan(C-A)=2.(1)求A;(2)当a=2应时，求z\ABC的面积..(12分)如图，正三棱柱ABC-ABiCi的所有棱长都是2,D,E分别是AC,CCi的中点.(1)求证：平面AEB_L平面ABD；(2)求二面角D-BE-A的余弦值.x2V222219.(12分)已知F1，F2是椭圆c:f+当=1(a>b>0)的左、右焦点，圆O:x+y=cab(IF1F2=2c)与椭圆有且仅有两个交点，点(等,坐)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A,B,若PA=AB，求直线।的方程•（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所杼视机串A｛周整后）肥M3500.tan5ooo<上M应他於韩部球藐阜坡毂布丹电拈把斯馅料机车（K）不走比1500汇部分31jfJtit3000七部分32至环归丸的胃分io2理式4000£至120Mt的《分IU3Mi1454)0元£9000和崎刘3照一|加时t电25flOO比前林仔20»■I■44■naI-'J某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收人dm，而）W)［706札中网）[IW,13飒1[LW।15Oi)人我304010flT5（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少？⑵现从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的收入在［3000,5000）元的人数，y表示抽到作为宣讲员的收入在［5000,7000）元的人数，设随机变量X=|x-y,求X的分布列与数学期望.(12分)已知函数f(x)=x2—alnx_1,(awR).(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数g(x)=ex+x2-ex—f(x)-1之0对xw[1,y)恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数，e=2.718281”)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】8kX=T"P在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是11k2(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴丫3(Jk)/-1k2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为Pcos(0+1)=3^/2.4(1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围.(10分)【选修4-5:不等式选讲】设函数f(x)=|2x—1+|2x—a,xwR.(1)当a=4时，求不等式f(x)>9的解集;(2)对任意x亡R,恒有f(x)-5—a,求实数a的取值范围.2020届高三调研考试卷理科数学（一）解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合M={x|x2+x-2<0},N={—1,0,1,2},则M。N的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】••集合M={x|x2+x—2£0}={x|—2ExEl},N={—1,0,1,2},MpN={—1,0,1},则其子集的个数为23=8个.TOC\o"1-5"\h\z.已知复数z=2+i,则不三在复平面上对应的点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】DZ2-i1313【解析】:z=2+i,：3i,在复平面对应的点的坐标为（,，-3）,所在象限是第1i1i2222四象限..在等差数列{%}中，若a3=5,S4=24，则a§=（）A.-5B.-7C.-9D.-11【答案】B【解析】{an}为等差数列，设首项为a1,公差为d,由S4=4a〔+6d=24,a3=a〔+2d=5,解得a1=9,d=-2,所以an=11—2n,a9=—7..下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）3_xA.f（x）=x+xB.f（x）=3-1

一1..、.IC.f(x)=——D.f(x)=log3xx【答案】A【解析】B中函数非奇非偶，D中函数是偶函数，C中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A中函数符合题意.5,中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A.【答案】D【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2一-一一2种，共C5=10种，而相生的有5种,则抽到的两种物质不相生的概率P则抽到的两种物质不相生的概率P=1106.设巴口是两平面，a,b是两直线.下列说法正确的是（）①若a//b,a//c,则b//c②若a_L%b_L口，则a//b③若a_Lcc,a_LP,则a//P④若a_LP,o(P|P=b,aua,a_Lb,则a_LPA.①③B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①对,由线面垂直的性质定理知②对,由线面垂直及面面平行定理知③对,由面面垂直性质定理知④对..下图是一程序框图，若输入的1，，人，…，A=—,则输出的值为（2)A.12【答案】C12D292960由面面垂直性质定理知④对..下图是一程序框图，若输入的1，，人，…，A=—,则输出的值为（2)A.12【答案】C12D2929602512【解析】运行程序框图，A=f,k=2；A=*,k=3；A=12,k=4A3,51229，….12输出A—29.函数f(x)=Asin(0x+*)(其中Aa0,coa0,|中ji|<-）的图象如图所示，为了得到yf(x)的图象，只需把g（x）口13—sin切x—-cos^x的图象上所有点（JinA.向左平移个单位长度B.向左平移3个单位长度C.向右平移!■个单位长度D.向右平移々个单位长度【答案】BTOC\o"1-5"\h\z【解析】由题意知A=1,由于T=巴—土=土，故T=生=冗，41234■所以=2,f(x)=sin(2x),由f(三)=sin(—+中)=0,求得中=三,333故f(x)=sin(2x—)=sin[2(x--)],36g(x)二-sinxcosx二sin[2(x--)],226IT故需将g(x)图像上所有点向左平移二个单位长度得到f(x).39.(1+2x-2)8的展开式中x2y2项的系数是()2A.420B.-420C.1680D.-1680【答案】AC【解析】展开式中xy项的系数是C82C6(—)=420.210.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为卜2+y2<4A=«(x,y)|《x2+(y+1)2，或x2+(y-1)2<1设点(x,y)wA,则z=x+2y的取值范围是()x<0A.[-2—褥,2狗B.[―2褥2的C.[-2,5,2.5]D.[-4,2.5]【答案】C【解析】如图，作直线x+2y=0,【解析】如图，作直线x+2y=0,当直线上移与圆x2十（y-1）2=1相切时，z=x+2y取最大值,此时，圆心（0,1）到直线z=x+2y的距离等于1,即22当下移与圆x+y=4相切时，x+2y取最小值,同理单=211.已知双曲线C:\-Z=1（a>0,bA0）的右焦点为F,A,B是双曲线的一条渐近线上关于原点211.已知双曲线C:\-Z=1（a>0,bA0）的右焦点为F,A,B是双曲线的一条渐近线上关于原点abAFBF=0且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A,拒B.石C.2D.亚【答案】C、5所以zW[—2而2+强.对称的两点,

对称的两点,【解析】如图，由题知AF_LBF,则OA=OB=OF,点M是线段AF的中点，则OM_LAF,b一一一故/AOM=/MOF=60、则一=tan60中=杂，所以e=^1+(73)-右存在实数a,-右存在实数a,使得—1—ma+ln<0成立，a-e12.已知函数f(x)=(e-a)ex—ma+x,(m,a为实数)，若存在实数a,使得f(x)E0对任意xwRTOC\o"1-5"\h\z恒成立，则实数m的取值范围是()一.1一1__.1一A.[-一，二)B.[—e,二)C.[-,e]D.[-e,--]eee【答案】A【解析】f(x)=(e-a)ex-ma+x,则f'(x)=(e-a)ex+1,若e—a20,可得f(x)>0,函数f(x)为增函数，当xt+®时，f(x)Tf不满足f(x)M0对任意x三R恒成立；若e—a<0,由f'(x)=0,得ex=-1-,则x=ln,a-ea-eTOC\o"1-5"\h\z11ln1—1a-e-maln—a-e:当xW(-«,ln——)时，f(x)〉0,当xw(ln——，")时，ln1—1a-e-maln—a-e-1-maln.1-1-maln.f(x)max=f(ln)^(e-a)ea-e1...右f(x)WO对任息x=R怛成立，则一1一ma+lnW0(a>e)怛成立,a-e

则ma_-1lnln(a-e)(a>e),人_则ma_-1lnln(a-e)(a>e),人_1令F(a)=——aln(a-e)….1则F(a)=—aaln(a-e)a—e=(a-e)ln(a-e)-ea12a2(a-e):当a<2e时,F'(a)<0,当a>2e时，F'(a)>0,则F(a)min=F(2e)=-1.eTOC\o"1-5"\h\z11:m.则实数m的取值范围是［―,+^),ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.平面内不共线的三点O,A,B,满足|OA|=1,|OB|=2,点C为线段AB的中点，若33|OC|=匚，则NAOB=.2，一2二【答案】120口或J3—一【解析】二.点C为线段AB的中点，：OC=—(OA+OB),r1r—2——1OC(OAOB2OAOB)(14212cosAOB),44前n项和为Sn,则S6=.【答案】_48【解析】因为an+=—2an—3,所以an#+1=—20+1),因为为+1=2¥0,所以数列｛an+1｝是以2为首项，以—2为公比的等比数列，所以an+1=2M(—2)n］，即an=2父(—2)n1—1,226Sn=—(1-(-2))—n,所以S6=-(1—2)—6=H8.33x2.已知直线l经过抛物线C:y=—的焦点F,与抛物线交于A,B,且Xa+Xb=8,点D是弧AOB4(O为原点)上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为.【答案】(x-4)2(y-4)2=5【解析】kAB二yA_yB=丛6=2,F(0,1),lAB:y=2x+1,Xa-Xb4点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y'=x=2,解得X=4,即D(4,4)到直线l距离最大，此时d=J5,2所以所求圆的标准方程为(x-4)2+(y—4)2=5..已知正三棱柱ABC-ABCi的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时，异面直线ACi与BC所成角的余弦值等于.-5【答案】—14【解析】设正三棱柱的底面边长为a,高为h,球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,底面外接圆半径r=——=a-，sin-33由球的截面圆性质知R,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanB=—,tan(C—A),B,C所对的边分别为a,b,c,若tanB=—,tan(C—A)=2.(1)求A;(2)当a=2拒时，求z\ABC的面积.【答案】(1)A=45°;(2)12当且仅当a=，3h时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知AC"DB1，2即/DBiC为异面直线ACi与BiC所成角或补角，BC=DBi=Ja2+h2,DC=岳，所以cos/DB1c=_22422(ah)-3a52(a2h2)14三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分)在ZXABC中，角A1【斛析】•'tanB=tan(C-A)sinBcos(C-A)=-cos(C-A)cosB=sin(C-A)sinBcosBsin(C-A)=cos(C—A+B)=0,即cos(1806-2A)=0.•.cos2A=0,0S<A<180%2A=90，则A=45,TOC\o"1-5"\h\z1_2._1⑵・tanB=—,:cosB=-7=,sinB=r=,255•••tan(C_453=tanC~1=2,••tanC=—3=sinC1tanC_12..10,、-a2\2_12..10由正弦定理一一=窄=4,可得b=；,csinA.252所以S」bcsinA」a12立」22,51025（12分）如图，正三棱柱ABC-ABiCi的所有棱长都是2,D,E分别是AC,CC1的中点.（1）求证：平面AEB_L平面ABD；（2）求二面角D-BE-A的余弦值.……、-一，一1【答案】（1）证明见解析；（2）—.4【解析】（1）;AB=BC=CA,D是AC的中点，：BD_LAC,:AA_L平面ABC,••・平面AAPQ_L平面ABC,：BD_L平面AACiC，:BD1AE.又•••在正方形AACiC中，D,E分别是AC,CCi的中点，易证得：^AAD-AACE，:/ADA=NAEC,・•/AEC+/CAE=90©,：/AiDA+/CAE=90)即A〔D_LAE.又AiD。BD=D,：AE_L平面ABD,AEc平面AEB,所以平面AEB_L平面AiBD.(2)取ACi中点F,以DF,DA,DB为x,y,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),E(i,-i,0),B(0,0,、,3),A(2,i,0),DB-(0,0,.3),DE=(i,-i,0),£=(2,i,—.3),£=(i,2,0),rT.…一一一一，口，，、iDBm=0、、3z=0设平面DBE的一个法向量为m(x,y,z),则｛T=«)DEm=0x-y-0令x=i,则m=(i,i,0),设平面BAiE的一个法向量为n=(a,b,c),BAn=0

则一BAn=0

则一=EA1n=02ab-.3c=0a2b=0令b=1,则n=(N,1,—73),设二面角D-BE-A的平面角为e,观察可知e为锐角,m,n1cos<m,n>==一Im||n|41故二面角D-BE-A的余弦值为1.422(李李在椭圆上.(12分)已知E,F2是椭圆c:与+4=1(a>bA0)的左、右焦点,ab(李李在椭圆上.圆O:x所以椭圆的标准方程为土+y2=1.2(2)由题意知直线l的斜率存在，设l所以椭圆的标准方程为土+y2=1.2(2)由题意知直线l的斜率存在，设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l方程为y=kx+m,(1)求椭圆的标准方程；(2)过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A,B,若PA=AB，求直线l的方程•【答案】(1)C+y2=1;(2)y=±亚x+还.222【解析】(1)依题意，得c=b,所以a=Jb2+c2=J2b，所以椭圆C为工+《=1,将点也四代入,解得b=1,则a=6,2b2b233设A（xi,y1），B（x2,y2）,设A（xi,y1），B（x2,y2）,直线l与圆O相切，则,m,=1，即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程，消元得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0,A:>0=k¥0,x1+x2=4km2m2-22k22,xix2=2-=2，12k12k12k因为PA=AB,所以x2=2为，即x1=4km2-，3(12k2)2x1k212k2143.2=±,m=,所以16m2=1,解得k2=7,即k9(12k)2所求直线方程为y=*x•3^2.22（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：小人爵仔植值串表（今一翻3500二tUit5(IU0?t全月度的赳前学顶坡毂上月足曲穗所年皿机率（%}嘉耀比1500即导31i2102邓过MOO无112（100七的非疗JO3壮迷/皿七毛划笛£朝•多介2(1J<2>nM亡的坏字20■41■I*aav■4a某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（郭储，1Wk[9峪11000)[ei(kh>[l,W5人孰4010fl7（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少？⑵现从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的收入在［3000,5000）元的人数，y表示抽到作为宣讲员的收入在［5000,7000）元的人数，设随机变量X=|x-y,求X的分布列与数学期望.【答案】（1）220;（2）见解析.【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：1500M3%+2500M10%=295元，调整后应纳税：2500父3%=75元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元，即个人的实际收入增加了220元.（2）由题意，知［3000,5000）组抽取3人，［5000,7000）组抽取4人，当x=y=2时，X=0,当x=1,y=3或x=3,y=1时，X=2,当x=0,y=4时，X=4,所以X的所有取值为：0,2,4,C2CP(X=0)C2CP(X=0)=畀C-18一,P(X=2)=35c41635C0C435，P(X=4)C735，所求分布列为

XQ■4p1835163513518161361816136E(X)=0—2—4—=—353535352(12分)已知函数f(x)=x—alnx—1,(a=R).(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(e是自然(2)若函数g(x)=ex+x2-ex-f(x)-1之0对x运[1,〜)恒成立，求实数(e是自然对数的底数，e=2.71828|||)【答案】(1)(㈤。U{2};(2)[0,y),2【解析】(1)f(x)=x2—alnx-1,f'(x)=2x一9=—x——a.xx①当a£0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，因为f(1)=0,所以f(x)有唯一零点，即aM0符合题意;②当a>0时，令f(x)=0,解得x=A，列表如下：0捺日42—o眼上恒产由表可知，f(x)min=f(Ja)，函数f(x)在(0,J|)上递减，在(^,收)上递增.(i)当Ja=1,即a=2时，f(x)min=f(1)=0,所以a=2符合题意;(ii)当巧<1,即0<a<2时，f(^a)<f(1)=0,

因为f(ea)=ea+1—1=ea>0，e下<1，因为故存在x1w(e；,后,使得f(x)=f(1)=0,所以0<a<2不符题意；(iii)当舌>1,即a>2时，f(J|)<f(1)=0,因为f(a-1)=(a-1)2-aln(a-1)-1=a(a-2-ln(a-1)),1设a—1=t>1,a—2—ln(a—1)=t—1—lnt=h(t),则h(t)=1—；>0,所以h(t)单调递增，即h(t)>h(1)=0,所以f(a-1)>0,所以a—1>ja，故存在x2亡(Ja，a-1),使得f(x2)=f(1)=。，所以a>2不符题意；综上，a的取值范围为(㈤,0]U{2}.aag(x)=alnx+e—ex,则g(x)=—+e—e,g(x)=e--,x=[1,依).xx①当a20时，g(x)之0恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)岂g(1)