2020年高考物理专题精准突破 中心天体质量密度的计算问题(解析版)

2020年高考物理专题精准突破专题中心天体质量密度的计算问题【专题诠释】中心天体质量和密度常用的估算方法质量的计算使用方法已知量利用公式表达式备注利用运行天体r、T_Mm4n2=mr~T2.一4n2r3M—GT2只能得到中心天体的质量r、vMmv2G—mr2rrv2M—Gv、TMmv2G—mr2r_Mm4n2—mr~T2V3TM—2nG密度的计算利用天体表面重力加速度g、RGMmmg—R2“gR2M—G一利用运行天体r、T、R4n2G~T2'—mr~TiM—p^|nR33nr3P—GT2R3当r—R时3nP—GT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、RGMmmg—R2M—p^3nR33gp—4nGR——【高考领航】【2019•新课标全国I卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）

M与N的密度相等B.Q的质量是P的3倍C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍【答案】AC【解析】A、由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg-kx二makk变形式为：a—g—x，该图象的斜率为-，纵轴截距为重力加速度g。根据图象的纵轴截距可知，两mmTOC\o"1-5"\h\zg3a3星球表面的重力加速度之比为：*二0二1；又因为在某星球表面上的物体,所受重力和万有引力相等，ga1N0Mm'.gR24冗R33g即：G二m'g，即该星球的质量M=丄。又因为：M=p竺空，联立得。故两星球的R2G34冗RG密度之比为：如=沧•务二1:1，故A正确；B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间,pgRNNMkx其所受弹力和重力二力平衡，mg二kx，即：m=-；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平故物体P和物体Q的质量之比为:mxg故物体P和物体Q的质量之比为:mxg1P=—P・N=mxg6QQM衡位置时，弹簧的压缩量之比为：丁=2T=2Q0故B错误；C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据v2二2ax1结合a-图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足v2二2--3a0-x0二3a0x0，物体Q的最大速度满足：vQ=2a满足：vQ=2a0xo则两物体的最大动能之比：E—kQ-EkP1mv22QQ1mv22PPmv2=—Q・一Q=4mv2PPC正确；D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为xo和2xo，即物体P所在弹簧最大压缩量为2x，物体Q所在弹簧最大压缩量为4x，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P00物体最大压缩量的2倍，D错误；故本题选AC。【2019浙江选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直

线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间At内速度的改变为Av,和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v,在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（）FAv则宇宙飞船和星球的质量分别是（）FAvv2RFAvv3TFAtv2RA.-，B.-，C.-，AtGAt2nGAvGFAtv3TD°"AT，2nG【答案】D【解析】直线推进时，根据动量定理可得FAt=mAv，解得飞船的质量为m弋，绕孤立星球运动时'Mm4兀2Mmv2v3T根据公式==m右r，又=咋，解得M=五，D正确。【2018•新课标全国II卷】2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67x10-11N-m2/kg2o以周期T稳定自转的星体的密度最小值约（）A.5A.5x109kg/m3B.5x1012kg/m3C.5x1015kg/m3D.5x1018kg/m3MM2p=——=MM2p=——=-；R，天体的密度公式V4nR3，结合3这两个公式求解。设脉冲星值量为M，密度为P,根据天体运动规律知:GMm(2n'>m——R2IT)2R，答案】CGMm（2n、【解析】在天体中万有引力提供向心力，即育=m&]MMP==V4nR3，代入可得：p«5x1015kg/m3，故C正确；故选C。3【技巧方法】应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”

（1）天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．（2）自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．【最新考向解码】【例1】（2019・辽宁辽阳高三上学期期末）2018年7月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号甲运载火箭，成功发射北斗卫星导航系统的第32颗卫星。作为北斗二号卫星的“替补”星，这名北斗“队员”将驰骋天疆，全力维护北斗卫星导航系统的连续稳定运行。若这颗卫星在轨运行的周期为厂，轨道半径为尸，地球的半径为人，则地球表面的重力加速度为（）4n2r34n2r34n2r34n2r3B.C.D厂T2R2T2RT2rT2r2【答案】AMm4n2〜4n2r3MmGM4n2r3【解析】根据万有引力提供向心力，=m〒2r,得M=~GT2，根据GR2=mg,得g=~R^=TR7，A正确，B、C、D错误。【例2】（2019・福建三明高三上学期期末）2019年1月3日上午，嫦娥四号顺利着陆月球背面，成为人类首Rg颗成功软着陆月球背面的探测器（如图所示）。地球和月球的半径之比为疋=a,表面重力加速度之比为g=b,R0g0则地球和月球的密度之比为（则地球和月球的密度之比为（）D.的是D.的是ba答案】GMm43gpgRb【解析】根据詈=mg以及M=p-3nR3,联立解得，可得P=g•节=》，B正确。微专题精练】1•为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星.卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为V，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍.万有引力常量为G，则下列计算不正确()

彗星的半径为2nB.彗星的质量为4寻C.彗星的密度为务D.卫星B的运行角速度为佥【答案】ACD【解析】由题意可知，卫星A绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：人=密，故A正确；根Mmv2v3TMM3nMm据GR2=mR，解得M=2nG，故B错误；彗星的密度为p=V==GT2,故C正确；根据G吃=me2r，GM2m=mR4Tn2,r=nR，则卫星B的运行角速度为盏，故D正确.2•假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g；地球自转的周期为T,引力常量为G.则地球的密度为地球自转的周期为T,引力常量为G.则地球的密度为()A.3n(g0—g)GT2g0C.3ngt2D.答案】B【解析】在地球两极引力等于重力，则有：GR=mg0,由此可得地球质量：必=呼，在赤道处，引力与gRMm4n2MGV4n支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，则有：G^Rm-mg=m4T-R,那么地球的密度为:p=M=GT2（g0-g），故BV4n3•利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（）地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离【答案】D【解析】在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有GMmgR2二mg，可得M=丄,A能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向R2G心力，GMmmv2R2R心力，GMmmv2R2RvT=2nRv3tGMm2n、解得M=；由月二m()2r解得2nGr2月T月gmm“2入M（y）2日会消去两边的m；故bc能求出地球质量，d不能求出。日日4.gmm“2入M（y）2日会消去两边的m；故bc能求出地球质量，d不能求出。日日4.（2019・甘肃省武威一中高三（上）期末）木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v0时,上升的最大高度可达〃。已知艾奥的半径为人，引力常量为G,忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力。则艾奥表面的重力加速度大小g=；艾奥的质量M=；艾奥的第一宇宙速度v=答案】解析】岩块做竖直上抛运动，有O—v0=—2gh，解得g=2h;忽略艾奥的自转，有GR^=〃g,解得M=參，某质量为加'的卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时有m'g=m'-R，解得v=v0\]R5.我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为L的单摆做小振幅振动的周期为几将月球视为密度均匀、半径为尸的球体，则月球的密度为（）nLA'3GrT2C16nLC-3GrT23nLD16GrTz【答案】B【解析】据题意，已知月球上单摆的周期为T据单摆周期公式有T=2n：J|,可以求出月球表面重力加速度为g=4n2L"TT根据月球表面物体重力等于月球对它万有引力，有GMm~Ri=mg,月球平均密度设为p，M=pV43nL=3nr3p，联立以上关系可以求得p=GTT；，故选项B正确.6据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的64倍，半径约为地球半径的2倍．那么，一个在地球表面能举起64kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为（地球表面重力加速度g取10m/s2）（）A.40kgB.50kg60kgD.30kg【答案】AGMmGM【解析】在地球表面，万有引力近似等于重力冒=mg，得g七，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，

其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是m64不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为加二托二讦kg=40kg,故A正确.

公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间/,收到激光传回的信号，测得相则（）a.木星的质量M=2nGc.则（）a.木星的质量M=2nGc.木星的质量M=4n^c^木星的质量M=根据题目所给条件，可以求出木星的密度【答案】ADyTvTct4n2r3v3T【解析】航天器的轨道半径r=yT，木星的半径R=yT-Ct，木星的质量m=4Tt=2G；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度.故A、D正确，B、C错误.（2019・山东济南模拟）热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示.根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为（）月球半径R0月球表面处的重力加速度20地球和月球的半径之比RR。—4地球表面和月球表面的重力加速度之比2=620A.3:2B.2：34：1D.6：1【答案】A【解析】在星球表面附近，万有引力等于重力，即GR解得星球质量加=誉.地球和月球的质量之比狰=2•rR22=9t，由密度公式p=M，体积公式宀4如联立解得地球和月球的密度之比地=护鲁=2,选项A正确.“健身弹跳球”是最近在少年儿童中特别流行的一项健身益智器材，少年儿童在玩弹跳球时（如图所示）要双脚站在弹跳球的水平跳板上，用力向下压弹跳球，形变的弹跳球能和人一起跳离地面.该过程简化为：一、形变弹跳球向上恢复原状；二、人和弹跳球竖直上升.假设小孩质量为m,人和球一起以速度大小v0离开地面还能竖直上升h高度（上升过程小孩只受重力作用），地球半径为R,引力常量为G,求地球的质量.答案】解得M=V02答案】解得M=V02R22Gh10.如图所示，在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最高y02人22Gh【解析】人和球以速度V0上升，有v02=2ghv2解得g=2物体在地球表面：GR,=mg求星球表面重力加速度；求该星球的密度；如图所示，在该星球表面上，某小球以大小为v0