(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)11《圆的有关性质》（学生版）

99第11讲圆的有关性质知识精讲知识精讲知识点一圆的概念 圆的描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．圆的集合性概念：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．圆的表示法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．知识点二与圆有关的概念及简单计算 如图，(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦，如线段AC，AB；(2)经过圆心的弦叫做直径，如线段AB；(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A，C为端点的弧记作eq\o(\s\up8(︵),AC)”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧(如eq\o(\s\up8(︵),ABC))叫做优弧，小于半圆的弧(如eq\o(\s\up8(︵),AC)或eq\o(\s\up8(︵),BC))叫做劣弧．(4)能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．知识点三圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点四垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示：(1)定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.(2)推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了．如图1所示，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但结论不成立．(3)利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等、一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径．图1图2知识点五垂径定理的应用 在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者之间的关系．应用时，构造直角三角形，利用勾股定理求解．如图2所示，它们的关系为r2＝d2＋(eq\f(a,2))2，r＝d＋h.圆的相关性质高频考点一圆的相关性质高频考点一1.1、下列说法正确的是()A．长度相等的弧是等弧B．两个半圆是等弧C．半径相等的弧是等弧D．直径是圆中最长的弦1.2、如图所示,AC是☉O的直径,点B在☉O上.(1)写出图中☉O的弦,并指出最长的弦;(2)写出图中☉O的劣弧和优弧;(3)试判断☉O中有没有相等的线段?有相等的弧吗?1.3、如图所示:点M,G,D在半圆O上,四边形OEDF,HMNO均为矩形,EF=b,NH=c,则b与c之间的大小关系是bc(填“<”“=”“>”)1.4、如图,点A,B,C是☉O上的三点,BO平分∠ABC.求证:BA=BC.【变式训练1-1】下列说法中正确的是()A.长度相等的弧是等弧B．半圆是弧C.半圆是圆中最长的弧D.优弧一定大于劣弧【变式训练1-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为()A.10° B．15° C.20° D.25°【变式训练1-3】已知,如图,BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点.试证明点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.垂径定理及其推理高频考点二垂径定理及其推理高频考点二2.1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是()A．∠COE＝∠DOEB．CE＝DEC．OE＝BED.eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))2.2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.eq\r(,7)B．2eq\r(,7)C．6D．82.3、已知：如图，M是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4eq\r(3)cm.(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.2.4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．【变式训练2-1】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB＝2eq\r(7)，CD＝1，则BE的长是()A．5B．6C．7D．8【变式训练2-2】如图所示，某窗户由矩形ABCD和弓形AEB组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请你帮工人师傅求出eq\o(AB,\s\up8(︵))所在的⊙O的半径.【变式训练2-3】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升________cm.垂径定理的应用高频考点垂径定理的应用高频考点三3.1、如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．3.2、如图,一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB=80米,桥拱到水面的最大高度DF为20米.(1)求桥拱的半径;(2)现水面上涨后水面跨度为60米,则水面上涨的高度为米.

【变式训练3-1】某地方有座弧形的拱桥,如图,桥下的水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的船要经过这里,此船能顺利通过这座拱形桥吗?提高训练提高训练1.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．19B．16C．18D．202.如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)3.如图，坐标平面上，A，B两点分别为⊙P与x轴、y轴的交点，有一直线l经过点P且与AB垂直，C为l与y轴的交点．若点A，B，C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中a＜0，则a等于()A．－2eq\r(14)B．－2eq\r(5)C．－8D．－74.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠CAE＝63°，则∠CBE＝________°.5.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．6.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,则AB的长是.

7.平面上有☉O及一点A,点A到☉O上一点的距离最长为10cm,最短为4cm,则☉O的半径为.

8.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠AOB=50°,∠OBC=40°,求∠OAC的度数.9.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么?10.已知☉O的半径是5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB与CD的距离是多少?课堂小测课堂小测1.如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,若☉O的半径为5,AB=8,则CD的长是()A.2 B.3C.4 D.5第1题图第2题图第3题图2.如图,已知☉O的直径AB经过弦CD的中点E,连接BC,BD,则下列结论错误的是()A.AB⊥CDB.BC=BDC.∠BCD=∠BDCD.OE=BE3.如图:将半径为2厘米的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()A.厘米 B.2厘米C.3厘米 D.2厘米4.如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为()A.2 B.1C. D.4第4题图第5题图第6题图第7题图5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=10,AP∶PB=5∶1,☉O的半径是()A.6 B.5C.8 D.36.半径为5的圆中,弦AB的长不可能是()A.3 B.5 C.10 D.127.如图所示,MN为☉O的弦,∠ONM=50°,则∠MON的度数为()A.40° B．50°C.80° D.100°8.如图所示，AB，MN是⊙O中两条互相垂直的直径，点P在eq\o(AM,\s\up8(︵))上，且不与点A，